5.3.2 起泡排序
【问题】 起泡排序(bubble sort)的基本思想是：两两比较相邻记录，如果反序则交换，直至没有反序的记录，如图5.8所示。
【想法】下表给出了一个起泡排序的例子（方括号括起来的为无序区），具体的排
序过程如下。
(1)将整个待排序的记录序列划分成有序区和无序区，初始时有序区为空，无序区包括所有待排序的记录。
(2) 对无序区从前向后依次比较相邻记录，若反序则交换，从而使值较小的记录向前移，值较大的记录向后移（像水中的气泡，体积大的先浮上来，起泡排序因而得名）。
(3)重复执行步骤(2),直至无序区没有反序的记录。
初始键值序列 [50 13 55 97 27 38 49 65]
第一趟排序结果 [13 50 SS 27 38 49 65] 97
第二趟排序结果 [13 50 27 38 49] 55 65 97
第三趟排序结果 [13 27 38 49] 50 5S 65 97
第四趟排序结果 13 27 38 49 50 S5 65 97
【算法实现】 注意，在一趟起泡排序过程中，如果有多个记录交换到最终位置，下一趟起泡排序将不再处理这些记录；另外，在一趟起泡排序过程中，如果没有交换记录操作，则表明序列已经有序，算法将终止。
代码如下。
#include <iostream>
using namespace std;
void BubbleSort(int r[], int n) {
int j, temp, bound, exchange = n - 1;
while (exchange!= 0) {
bound = exchange;
exchange = 0;
for (j = 0; j < bound; j++)
if (r[j] > r[j + 1]) {
temp = r[j];
r[j] = r[j + 1];
r[j + 1] = temp;
exchange = j;
}
}
}
int main() {
int r[] = {5, 4, 6, 2, 1, 3};
BubbleSort(r, 6);
for (int i = 0; i < 6; i++)
cout << r[i] << " ";
return 0;
}
5.4.1 哈密顿回路问题
【问题】 著名的爱尔兰数学家哈密顿(William Hamilton)提出了周游世界问题。假设正十二面体的20个顶点代表20个城市，哈密顿回路问题(Hamilton cycle problem)要求从一个城市出发，经过每个城市恰好一次，然后回到出发城市。图5-10所示是一个正十二面体的展开图，按照图中的顶点编号所构成的回路，就是哈密顿回路的一个解。
【想法】蛮力法求解哈密顿回路的基本思想是，对于给定的无向图G=(V, E), 依
次考查图中所有顶点的全排列，满足以下两个条件的全排列(vi1,vi2 ,...Vin)构成的回路就是哈密顿回路：
(1) 相邻顶点之间存在边，即(vij, Vij+1)∈E(1<=j<=n-1)；
(2) 最后一个顶点和第一个顶点之间存在边，即(vin, vi1)∈E.
例如，对于图5-11所示无向图，表5-1给出了蛮力法求解哈密顿回路的过程。
【算法】 蛮力法求解哈密顿回路的算法用伪代码描述如下。
算法：哈密顿回路 HamiltonCycle
输入：无向图G=(V,E）
输出：如果存在哈密顿回路，则输出该回路，否则，输出无解信息
1.对顶点集合(1, 2， ..，n)的每一个全排列vi1vi2.…vin,执行下述操作：
1.1循环变量j从1至n-1重复执行下述操作：
1.1.1如果顶点vij和vij+1之间不存在边，则转步骤1考查下一个全排列；
1.1.2 否则j++；
1.2 如果vin和vi1之间存在边，则输出全排列vi1vi2.…vin，算法结束；
2.输出无解信息；
【 算法分析】 算法HmiltonCycle 在找到一条哈密顿回路后：即可结束算法M，例如表5-1试探了6个全排列后找到了一条哈密顿回路。但是，最坏情况下需要考察顶点集合的所有全排列，时间复杂度为O(n!)。
5.4.2 TSP 问题
【问题】 ISP 问题(traveling salesman problem)是指旅行家要旅行n个城市然后回到出发城市，要求各个城市经历且仅经历一次，并要求所走的路程最短。
应用实例
某工厂生产几种颜色的汽车，随着汽车颜色的转换，生产线上每台机器都需要从一种颜色切换到另一种颜色，转换开销取决于转换的两种颜色及其顺序。例如，从黄色切换到黑色需要30个单位的开销，从黑色切换到黄色需要80个单位的开销，从黄色切换到绿色需要35个单位的开销，等等。问题是找到一个最优生产调度，使得颜色转换的总开销最少。
【想法】 蛮力法求解 TSP问题的基本思想是，找出所有可能的旅行路线，即依次考查图中所有顶点的全排列，从中选取路径长度最短的哈密顿回路（也称为简单回路）。例如，对于图5-12所示无向带权图，表5-2给出了用蛮力法求解 TSP 问题的过程。
【算法】蛮力法求解TSP问题与求解哈密顿回路问题类似，不同的是将回路经过的边上的权值相加得到相应的路径长度，具体算法请读者自行设计。
【算法分析】 蛮力法求解TSP问题必须依次考查顶点集合的所有全排列，从中找出路经长度最短的简单回路，因此，时间下界是Ω(n!)。除了该问题的一些规模非常小的实例外，蛮力法几乎是不实用的。
