【C 数据结构】二叉树

文章目录

  • 【 1. 基本原理 】
    • 1.1 二叉树的性质
    • 1.2 满二叉树
    • 1.3 完全二叉树
  • 【 2. 二叉树的顺序存储结构 】
    • 2.1 完全二叉树的顺序存储
    • 2.2 普通二叉树的顺序存储
    • 2.3 完全二叉树的还原
  • 【 3. 二叉树的链式存储结构 】
  • 【 4. 二叉树的先序遍历 】
    • 4.1 递归实现
    • 4.2 非递归实现
  • 【 5. 二叉树的中序遍历 】
    • 5.1 递归实现
    • 5.2 非递归实现
  • 【 6. 二叉树的后序遍历 】
    • 6.1 递归实现
    • 6.2 非递归实现
  • 【 7. 二叉树的层次遍历 】

【 1. 基本原理 】

  • 满足以下两个条件的树就是 二叉树：
    本身是有序树；
    树中包含的各个节点的度不能超过 2，即只能是 0、1 或者 2；

例如，图 1a) 就是一棵二叉树，而图 1b) 则不是。
在这里插入图片描述

1.1 二叉树的性质

  • 二叉树中，第 i 层最多有 2 i − 1 2^{i-1} 2i−1 个结点。
  • 如果二叉树的深度为 K，那么此二叉树最多有 2 K − 1 2^K-1 2K−1 个结点。
  • 二叉树中，终端结点数（叶子结点数）为 n 0 n_0 n0​，度为 2 的结点数为 n 2 n_2 n2​，则 n 0 = n 2 + 1 n_0=n_2+1 n0​=n2​+1 。

性质 3 的计算方法为：对于一个二叉树来说，除了度为 0 的叶子结点和度为 2 的结点，剩下的就是度为 1 的结点（设为 n 1 n_1 n1​），那么总结点 n = n 0 + n 1 + n 2 n=n_0+n_1+n_2 n=n0​+n1​+n2​。
同时，对于每一个结点来说都是由其父结点分支表示的，假设树中分枝数为 B，那么总结点数 n = B + 1 n=B+1 n=B+1。而分枝数是可以通过 n1 和 n2 表示的，即 B = n 1 + 2 ∗ n 2 B=n_1+2*n_2 B=n1​+2∗n2​。所以，n 用另外一种方式表示为 n = n 1 + 2 ∗ n 2 + 1 n=n_1+2*n_2+1 n=n1​+2∗n2​+1。
两种方式得到的 n 值组成一个方程组，就可以得出 n 0 = n 2 + 1 n_0=n_2+1 n0​=n2​+1。

1.2 满二叉树

  • 如果二叉树中除了叶子结点， 每个结点的度都为 2，则此二叉树称为 满二叉树 。如下图所示：
    在这里插入图片描述
  • 满二叉树除了满足普通二叉树的性质，还具有以下性质：
    • 满二叉树中第 i 层的节点数为 2 n − 1 2^{n-1} 2n−1 个。
    • 深度为 k 的满二叉树必有 2 k − 1 2^{k-1} 2k−1 个节点 ，叶子数为 2 k − 1 2^k-1 2k−1。
    • 满二叉树中不存在度为 1 的节点，每一个分支点中都两棵深度相同的子树，且叶子节点都在最底层。
    • 具有 n 个节点的满二叉树的深度为 l o g 2 ( n + 1 ) log_2(n+1) log2​(n+1)。

1.3 完全二叉树

  • 如果二叉树中 除去最后一层节点为满二叉树，而且最后一层的结点依次从左到右分布，则此二叉树被称为 完全二叉树。
    在这里插入图片描述
  • 满二叉树也是完全二叉树。
  • 完全二叉树除了具有普通二叉树的性质，它自身也具有一些独特的性质，比如说，n 个结点的完全二叉树的深度为 [ l o g 2 n ] + 1 [log_2n]+1 [log2​n]+1， [ l o g 2 n ] [log_2n] [log2​n] 表示取小于 l o g 2 n log_2n log2​n 的最大整数。
  • 对于任意一个完全二叉树来说，如果将含有的结点按照层次从左到右依次标号，例如上图的完全二叉树。对于任意一个结点 i ，完全二叉树还有以下几个结论成立：
    • 当 i>1 时，父亲结点为结点 [i/2] 。（i=1 时，表示的是根结点，无父亲结点）
    • 如果 2 × i 2\times i 2×i>n（总结点的个数） ，则结点 i 肯定没有左孩子（为叶子结点）；否则其左孩子是结点 2 × i 2\times i 2×i。
    • 如果 2 × i 2\times i 2×i+1>n ，则结点 i 肯定没有右孩子；否则右孩子是结点 2 × i 2\times i 2×i+1 。

【 2. 二叉树的顺序存储结构 】

  • 二叉树的存储结构有两种，分别为顺序存储和链式存储。
  • 二叉树的顺序存储，指的是 使用顺序表（数组）存储二叉树。需要注意的是， 顺序存储只适用于完全二叉树。（满二叉树也可以使用顺序存储，因为满二叉树也是完全二叉树）
  • 完全二叉树的转化
    如果我们想顺序存储普通二叉树，需要提前将普通二叉树转化为完全二叉树。普通二叉树转完全二叉树的方法很简单，只需给二叉树额外添加一些节点，将其"拼凑"成完全二叉树即可。如下图所示：左侧是普通二叉树，右侧是转化后的完全（满）二叉树。
    在这里插入图片描述

2.1 完全二叉树的顺序存储

  • 完全二叉树的顺序存储，仅需从根节点开始，按照层次依次将树中节点存储到数组即可。例如，存储下图中左图所示的完全二叉树，其存储状态如下图中右图所示：
    在这里插入图片描述 在这里插入图片描述

2.2 普通二叉树的顺序存储

  • 存储由普通二叉树转化来的完全二叉树也是如此。例如，普通二叉树的数组存储状态如下图中右图所示：
    在这里插入图片描述 在这里插入图片描述

2.3 完全二叉树的还原

  • 从顺序表中还原完全二叉树也很简单。完全二叉树具有这样的性质：将树中节点按照层次并从左到右依次标号（1,2,3,…），若节点 i 有左右孩子，则其左孩子节点为 2i，右孩子节点为 2i+1，此性质可用于还原数组中存储的完全二叉树。

【 3. 二叉树的链式存储结构 】

  • 其实二叉树并不适合用数组存储，因为并不是每个二叉树都是完全二叉树，普通二叉树使用顺序表存储或多或多会存在空间浪费的现象。
    在这里插入图片描述
  • 如上图所示，此为一棵普通的二叉树，若将其采用链式存储，则只需从树的根节点开始，将各个节点及其左右孩子使用链表存储即可。因此，上图对应的链式存储结构如下图所示：
    在这里插入图片描述
  • 由上图可知，采用链式存储二叉树时，其节点结构由 3 部分构成（如下图所示）：
    • 指向左孩子节点的指针（Lchild）；
    • 节点存储的数据（data）；
    • 指向右孩子节点的指针（Rchild）；
      在这里插入图片描述
  • 表示该节点结构的 C 语言代码为：
typedef struct BiTNode{
    DataType mydata;//数据域
    struct BiTNode *lchild,*rchild;//左右孩子指针
    struct BiTNode *parent; // 父亲指针（可选）
}BiTNode,*BiTree;
  • C实现
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define TElemType int
typedef struct BiTNode{
    TElemType data;//数据域
    struct BiTNode *lchild,*rchild;//左右孩子指针
}BiTNode,*BiTree;
void CreateBiTree(BiTree *T){
    *T=(BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));
    (*T)->data=1;
    (*T)->lchild=(BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));
    (*T)->lchild->data=2;
    (*T)->rchild=(BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));
    (*T)->rchild->data=3;
    (*T)->rchild->lchild=NULL;
    (*T)->rchild->rchild=NULL;
    (*T)->lchild->lchild=(BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));
    (*T)->lchild->lchild->data=4;
    (*T)->lchild->rchild=NULL;
    (*T)->lchild->lchild->lchild=NULL;
    (*T)->lchild->lchild->rchild=NULL;
}
int main() {
    BiTree Tree;
    CreateBiTree(&Tree);
    printf("%d",Tree->lchild->lchild->data);
    return 0;
}

在这里插入图片描述

  • 在某些实际场景中，可能会做 “查找某节点的父节点” 的操作，这时可以在节点结构中再添加一个指针域，用于各个节点指向其父亲节点，这样的链表结构，通常称为 三叉链表。如下图所示：
    在这里插入图片描述

【 4. 二叉树的先序遍历 】

  • 二叉树先序遍历的实现思想是：
    1.访问根节点；
    2.访问当前节点的左子树；
    3.若当前节点无左子树，则访问当前节点的右子树；否则重复步骤2。
  • 例如下图中二叉树采用先序遍历得到的序列为：1 2 4 5 3 6 7
    在这里插入图片描述
  • 以上图为例，采用先序遍历的思想遍历该二叉树的过程为：
    访问该二叉树的根节点，找到 1；
    访问节点 1 的左子树，找到节点 2；
    访问节点 2 的左子树，找到节点 4；
    由于访问节点 4 的左子树失败（因为节点4没有左子树），且其也没有右子树，因此以节点 4 为根节点的子树遍历完成。但节点 2 还没有遍历其右子树，因此现在开始遍历，即访问节点 5；
    由于节点 5 无左右子树，因此节点 5 遍历完成，并且由此以节点 2 为根节点的子树也遍历完成。现在回到节点 1 ，并开始遍历该节点的右子树，即访问节点 3；
    访问节点 3 左子树，找到节点 6；
    由于节点 6 无左右子树，因此节点 6 遍历完成，回到节点 3 并遍历其右子树，找到节点 7；
    节点 7 无左右子树，因此以节点 3 为根节点的子树遍历完成，同时回归节点 1。由于节点 1 的左右子树全部遍历完成，因此整个二叉树遍历完成；

4.1 递归实现

  • 二叉树的先序遍历采用的是递归的思想，因此可以递归实现，其 C 实现为：
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <malloc.h>

//构造结点的结构体
typedef struct BiTNode 
{
    int data; //数据域
    struct BiTNode* lchild, * rchild;//左右孩子指针
}BiTNode, * BiTree;

//模拟操作结点元素的函数，输出结点本身的数值
void displayElem(BiTNode* elem) {
    printf("%d ", elem->data);
}
//先序遍历
void PreOrderTraverse(BiTree T)
{
    if (T) 
    {
        displayElem(T);//调用操作结点数据的函数方法
        PreOrderTraverse(T->lchild);//访问该结点的左孩子
        PreOrderTraverse(T->rchild);//访问该结点的右孩子
    }
    //如果结点为空，返回上一层
    return;
}
void CreateBiTree(BiTree* T);

int main() 
{
    BiTree Tree;
    CreateBiTree(&Tree);
    printf("先序遍历: \n");
    PreOrderTraverse(Tree);
}

//初始化树的函数
void CreateBiTree(BiTree* T) {
    *T = (BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));
    (*T)->data = 1;
    (*T)->lchild = (BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));
    (*T)->rchild = (BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));

    (*T)->lchild->data = 2;
    (*T)->lchild->lchild = (BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));
    (*T)->lchild->rchild = (BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));
    (*T)->lchild->rchild->data = 5;
    (*T)->lchild->rchild->lchild = NULL;
    (*T)->lchild->rchild->rchild = NULL;
    (*T)->rchild->data = 3;
    (*T)->rchild->lchild = (BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));
    (*T)->rchild->lchild->data = 6;
    (*T)->rchild->lchild->lchild = NULL;
    (*T)->rchild->lchild->rchild = NULL;
    (*T)->rchild->rchild = (BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));
    (*T)->rchild->rchild->data = 7;
    (*T)->rchild->rchild->lchild = NULL;
    (*T)->rchild->rchild->rchild = NULL;
    (*T)->lchild->lchild->data = 4;
    (*T)->lchild->lchild->lchild = NULL;
    (*T)->lchild->lchild->rchild = NULL;
}

v

4.2 非递归实现

  • 递归的底层实现依靠的是栈存储结构，因此，二叉树的先序遍历既可以直接采用递归思想实现，也可以使用栈的存储结构模拟递归的思想实现，其 C 实现为：
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <malloc.h>
int top = -1;//top变量时刻表示栈顶元素所在位置

//构造结点的结构体
typedef struct BiTNode 
{
    int data;//数据域
    struct BiTNode* lchild, * rchild;//左右孩子指针
}BiTNode, * BiTree;

//前序遍历使用的进栈函数
void push(BiTNode** a, BiTNode* elem) {
    a[++top] = elem;
}
//弹栈函数
void pop() {
    if (top == -1) {
        return;
    }
    top--;
}
//模拟操作结点元素的函数，输出结点本身的数值
void displayElem(BiTNode* elem) {
    printf("%d ", elem->data);
}
//拿到栈顶元素
BiTNode* getTop(BiTNode** a) {
    return a[top];
}
//先序遍历非递归算法
void PreOrderTraverse(BiTree Tree) {
    BiTNode* a[20];//定义一个顺序栈
    BiTNode* p;//临时指针
    push(a, Tree);//根结点进栈
    while (top != -1) {
        p = getTop(a);//取栈顶元素
        pop();//弹栈
        while (p) {
            displayElem(p);//调用结点的操作函数
            //如果该结点有右孩子，右孩子进栈
            if (p->rchild) {
                push(a, p->rchild);
            }
            p = p->lchild;//一直指向根结点最后一个左孩子
        }
    }
}

void CreateBiTree(BiTree* T);
int main() 
{
    BiTree Tree;
    CreateBiTree(&Tree);
    printf("先序遍历: \n");
    PreOrderTraverse(Tree);
}

//初始化树的函数
void CreateBiTree(BiTree* T) {
    *T = (BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));
    (*T)->data = 1;
    (*T)->lchild = (BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));
    (*T)->rchild = (BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));
    (*T)->lchild->data = 2;
    (*T)->lchild->lchild = (BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));
    (*T)->lchild->rchild = (BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));
    (*T)->lchild->rchild->data = 5;
    (*T)->lchild->rchild->lchild = NULL;
    (*T)->lchild->rchild->rchild = NULL;
    (*T)->rchild->data = 3;
    (*T)->rchild->lchild = (BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));
    (*T)->rchild->lchild->data = 6;
    (*T)->rchild->lchild->lchild = NULL;
    (*T)->rchild->lchild->rchild = NULL;
    (*T)->rchild->rchild = (BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));
    (*T)->rchild->rchild->data = 7;
    (*T)->rchild->rchild->lchild = NULL;
    (*T)->rchild->rchild->rchild = NULL;
    (*T)->lchild->lchild->data = 4;
    (*T)->lchild->lchild->lchild = NULL;
    (*T)->lchild->lchild->rchild = NULL;
}

在这里插入图片描述

【 5. 二叉树的中序遍历 】

  • 二叉树中序遍历的实现思想是：
    1.访问当前节点的左子树；
    2.访问根节点；
    3.访问当前节点的右子树；
    在这里插入图片描述
  • 上图中二叉树采用中序遍历得到的序列为：4 2 5 1 6 3 7
  • 以上图为例，采用中序遍历的思想遍历该二叉树的过程为：
    访问该二叉树的根节点，找到 1；
    遍历节点 1 的左子树，找到节点 2；
    遍历节点 2 的左子树，找到节点 4；
    由于节点 4 无左孩子，因此找到节点 4，并遍历节点 4 的右子树；
    由于节点 4 无右子树，因此节点 2 的左子树遍历完成，访问节点 2；
    遍历节点 2 的右子树，找到节点 5；
    由于节点 5 无左子树，因此访问节点 5 ，又因为节点 5 没有右子树，因此节点 1 的左子树遍历完成，访问节点 1 ，并遍历节点 1 的右子树，找到节点 3；
    遍历节点 3 的左子树，找到节点 6；
    由于节点 6 无左子树，因此访问节点 6，又因为该节点无右子树，因此节点 3 的左子树遍历完成，开始访问节点 3 ，并遍历节点 3 的右子树，找到节点 7；
    由于节点 7 无左子树，因此访问节点 7，又因为该节点无右子树，因此节点 1 的右子树遍历完成，即整棵树遍历完成；

5.1 递归实现

  • 二叉树的中序遍历采用的是递归的思想，因此可以递归实现，其 C 实现为：
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <malloc.h>

//构造结点的结构体
typedef struct BiTNode {
    int data;//数据域
    struct BiTNode* lchild, * rchild;//左右孩子指针
}BiTNode, * BiTree;

//模拟操作结点元素的函数，输出结点本身的数值
void displayElem(BiTNode* elem) {
    printf("%d ", elem->data);
}
//中序遍历
void INOrderTraverse(BiTree T) 
{
    if (T) 
    {
        INOrderTraverse(T->lchild);//遍历左孩子
        displayElem(T);//调用操作结点数据的函数方法
        INOrderTraverse(T->rchild);//遍历右孩子
    }
    //如果结点为空，返回上一层
    return;
}

void CreateBiTree(BiTree* T);
int main() {
    BiTree Tree;
    CreateBiTree(&Tree);
    printf("中序遍历算法: \n");
    INOrderTraverse(Tree);
}

//初始化树的函数
void CreateBiTree(BiTree* T) {
    *T = (BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));
    (*T)->data = 1;
    (*T)->lchild = (BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));
    (*T)->rchild = (BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));

    (*T)->lchild->data = 2;
    (*T)->lchild->lchild = (BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));
    (*T)->lchild->rchild = (BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));
    (*T)->lchild->rchild->data = 5;
    (*T)->lchild->rchild->lchild = NULL;
    (*T)->lchild->rchild->rchild = NULL;
    (*T)->rchild->data = 3;
    (*T)->rchild->lchild = (BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));
    (*T)->rchild->lchild->data = 6;
    (*T)->rchild->lchild->lchild = NULL;
    (*T)->rchild->lchild->rchild = NULL;
    (*T)->rchild->rchild = (BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));
    (*T)->rchild->rchild->data = 7;
    (*T)->rchild->rchild->lchild = NULL;
    (*T)->rchild->rchild->rchild = NULL;
    (*T)->lchild->lchild->data = 4;
    (*T)->lchild->lchild->lchild = NULL;
    (*T)->lchild->lchild->rchild = NULL;
}

在这里插入图片描述

5.2 非递归实现

  • 递归的底层实现依靠的是栈存储结构，因此，二叉树的先序遍历既可以直接采用递归思想实现，也可以使用栈的存储结构模拟递归的思想实现。
  • 中序遍历的非递归方式实现思想是：从根结点开始，遍历左孩子同时压栈，当遍历结束，说明当前遍历的结点没有左孩子，从栈中取出来调用操作函数，然后访问该结点的右孩子，继续以上重复性的操作。
  • 除此之外，还有另一种实现思想：中序遍历过程中，只需将每个结点的左子树压栈即可，右子树不需要压栈。当结点的左子树遍历完成后，只需要以栈顶结点的右孩子为根结点，继续循环遍历即可。
  • C 实现：
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define TElemType int
int top=-1;//top变量时刻表示栈顶元素所在位置
//构造结点的结构体
typedef struct BiTNode{
    TElemType data;//数据域
    struct BiTNode *lchild,*rchild;//左右孩子指针
}BiTNode,*BiTree;
//初始化树的函数
void CreateBiTree(BiTree *T){
    *T=(BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));
    (*T)->data=1;
    (*T)->lchild=(BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));
    (*T)->rchild=(BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));
    (*T)->lchild->data=2;
    (*T)->lchild->lchild=(BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));
    (*T)->lchild->rchild=(BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));
    (*T)->lchild->rchild->data=5;
    (*T)->lchild->rchild->lchild=NULL;
    (*T)->lchild->rchild->rchild=NULL;
    (*T)->rchild->data=3;
    (*T)->rchild->lchild=(BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));
    (*T)->rchild->lchild->data=6;
    (*T)->rchild->lchild->lchild=NULL;
    (*T)->rchild->lchild->rchild=NULL;
    (*T)->rchild->rchild=(BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));
    (*T)->rchild->rchild->data=7;
    (*T)->rchild->rchild->lchild=NULL;
    (*T)->rchild->rchild->rchild=NULL;
    (*T)->lchild->lchild->data=4;
    (*T)->lchild->lchild->lchild=NULL;
    (*T)->lchild->lchild->rchild=NULL;
}
//前序和中序遍历使用的进栈函数
void push(BiTNode** a,BiTNode* elem){
    a[++top]=elem;
}
//弹栈函数
void pop( ){
    if (top==-1) {
        return ;
    }
    top--;
}
//模拟操作结点元素的函数，输出结点本身的数值
void displayElem(BiTNode* elem){
    printf("%d ",elem->data);
}
//拿到栈顶元素
BiTNode* getTop(BiTNode**a){
    return a[top];
}
//中序遍历非递归算法
void InOrderTraverse1(BiTree Tree){
    BiTNode* a[20];//定义一个顺序栈
    BiTNode * p;//临时指针
    push(a, Tree);//根结点进栈
    while (top!=-1) {//top!=-1说明栈内不为空，程序继续运行
        while ((p=getTop(a)) &&p){//取栈顶元素，且不能为NULL
            push(a, p->lchild);//将该结点的左孩子进栈，如果没有左孩子，NULL进栈
        }
        pop();//跳出循环，栈顶元素肯定为NULL，将NULL弹栈
        if (top!=-1) {
            p=getTop(a);//取栈顶元素
            pop();//栈顶元素弹栈
            displayElem(p);
            push(a, p->rchild);//将p指向的结点的右孩子进栈
        }
    }
}
//中序遍历实现的另一种方法
void InOrderTraverse2(BiTree Tree){
    BiTNode* a[20];//定义一个顺序栈
    BiTNode * p;//临时指针
    p=Tree;
    //当p为NULL或者栈为空时，表明树遍历完成
    while (p || top!=-1) {
        //如果p不为NULL，将其压栈并遍历其左子树
        if (p) {
            push(a, p);
            p=p->lchild;
        }
        //如果p==NULL，表明左子树遍历完成，需要遍历上一层结点的右子树
        else{
            p=getTop(a);
            pop();
            displayElem(p);
            p=p->rchild;
        }
    }
}
int main(){
    BiTree Tree;
    CreateBiTree(&Tree);
    printf("中序遍历算法1: \n");
    InOrderTraverse1(Tree);
    printf("\n中序遍历算法2: \n");
    InOrderTraverse2(Tree);
}

在这里插入图片描述

【 6. 二叉树的后序遍历 】

  • 二叉树后序遍历的实现思想是：从根节点出发，依次遍历各节点的左右子树，直到当前节点左右子树遍历完成后，才访问该节点元素。
    在这里插入图片描述
  • 上图中二叉树进行后序遍历的结果为：4 5 2 6 7 3 1
  • 如上图中，对此二叉树进行后序遍历的操作过程为：
    从根节点 1 开始，遍历该节点的左子树（以节点 2 为根节点）；
    遍历节点 2 的左子树（以节点 4 为根节点）；
    由于节点 4 既没有左子树，也没有右子树，此时访问该节点中的元素 4，并回退到节点 2 ，遍历节点 2 的右子树（以 5 为根节点）；
    由于节点 5 无左右子树，因此可以访问节点 5 ，并且此时节点 2 的左右子树也遍历完成，因此也可以访问节点 2；
    此时回退到节点 1 ，开始遍历节点 1 的右子树（以节点 3 为根节点）；
    遍历节点 3 的左子树（以节点 6 为根节点）；
    由于节点 6 无左右子树，因此访问节点 6，并回退到节点 3，开始遍历节点 3 的右子树（以节点 7 为根节点）；
    由于节点 7 无左右子树，因此访问节点 7，并且节点 3 的左右子树也遍历完成，可以访问节点 3；节点 1 的左右子树也遍历完成，可以访问节点 1；
    到此，整棵树的遍历结束。

6.1 递归实现

  • 后序遍历的递归实现C代码为：
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <malloc.h>
//构造结点的结构体
typedef struct BiTNode {
    int data;//数据域
    struct BiTNode* lchild, * rchild;//左右孩子指针
}BiTNode, * BiTree;

//模拟操作结点元素的函数，输出结点本身的数值
void displayElem(BiTNode* elem) {
    printf("%d ", elem->data);
}
//后序遍历
void PostOrderTraverse(BiTree T) {
    if (T) {
        PostOrderTraverse(T->lchild);//遍历左孩子
        PostOrderTraverse(T->rchild);//遍历右孩子
        displayElem(T);//调用操作结点数据的函数方法
    }
    //如果结点为空，返回上一层
    return;
}

void CreateBiTree(BiTree* T);
int main() {
    BiTree Tree;
    CreateBiTree(&Tree);
    printf("后序遍历: \n");
    PostOrderTraverse(Tree);
}
//初始化树的函数
void CreateBiTree(BiTree* T) {
    *T = (BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));
    (*T)->data = 1;
    (*T)->lchild = (BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));
    (*T)->rchild = (BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));

    (*T)->lchild->data = 2;
    (*T)->lchild->lchild = (BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));
    (*T)->lchild->rchild = (BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));
    (*T)->lchild->rchild->data = 5;
    (*T)->lchild->rchild->lchild = NULL;
    (*T)->lchild->rchild->rchild = NULL;
    (*T)->rchild->data = 3;
    (*T)->rchild->lchild = (BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));
    (*T)->rchild->lchild->data = 6;
    (*T)->rchild->lchild->lchild = NULL;
    (*T)->rchild->lchild->rchild = NULL;
    (*T)->rchild->rchild = (BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));
    (*T)->rchild->rchild->data = 7;
    (*T)->rchild->rchild->lchild = NULL;
    (*T)->rchild->rchild->rchild = NULL;
    (*T)->lchild->lchild->data = 4;
    (*T)->lchild->lchild->lchild = NULL;
    (*T)->lchild->lchild->rchild = NULL;
}

在这里插入图片描述

6.2 非递归实现

  • 递归算法底层的实现使用的是栈存储结构，所以可以直接使用栈写出相应的非递归算法。
  • 后序遍历是在遍历完当前结点的左右孩子之后，才调用操作函数，所以需要在操作结点进栈时，为每个结点配备一个标志位。当遍历该结点的左孩子时，设置当前结点的标志位为 0，进栈；当要遍历该结点的右孩子时，设置当前结点的标志位为 1，进栈。
    这样，当遍历完成，该结点弹栈时，查看该结点的标志位的值：如果是 0，表示该结点的右孩子还没有遍历；反之如果是 1，说明该结点的左右孩子都遍历完成，可以调用操作函数。
  • C 实现
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <malloc.h>
int top = -1;//top变量时刻表示栈顶元素所在位置
//构造结点的结构体
typedef struct BiTNode {
    int data;//数据域
    struct BiTNode* lchild, * rchild;//左右孩子指针
}BiTNode, * BiTree;

//弹栈函数
void pop() {
    if (top == -1) {
        return;
    }
    top--;
}
//模拟操作结点元素的函数，输出结点本身的数值
void displayElem(BiTNode* elem) {
    printf("%d ", elem->data);
}
//后序遍历非递归算法
typedef struct SNode {
    BiTree p;
    int tag;
}SNode;
//后序遍历使用的进栈函数
void postpush(SNode* a, SNode sdata) {
    a[++top] = sdata;
}
//后序遍历函数
void PostOrderTraverse(BiTree Tree) {
    SNode a[20];//定义一个顺序栈
    BiTNode* p;//临时指针
    int tag;
    SNode sdata;
    p = Tree;
    while (p || top != -1) {
        while (p) {
            //为该结点入栈做准备
            sdata.p = p;
            sdata.tag = 0;//由于遍历是左孩子，设置标志位为0
            postpush(a, sdata);//压栈
            p = p->lchild;//以该结点为根结点，遍历左孩子
        }
        sdata = a[top];//取栈顶元素
        pop();//栈顶元素弹栈
        p = sdata.p;
        tag = sdata.tag;
        //如果tag==0，说明该结点还没有遍历它的右孩子
        if (tag == 0) {
            sdata.p = p;
            sdata.tag = 1;
            postpush(a, sdata);//更改该结点的标志位，重新压栈
            p = p->rchild;//以该结点的右孩子为根结点，重复循环
        }
        //如果取出来的栈顶元素的tag==1，说明此结点左右子树都遍历完了，可以调用操作函数了
        else {
            displayElem(p);
            p = NULL;
        }
    }
}
void CreateBiTree(BiTree* T);
int main() {
    BiTree Tree;
    CreateBiTree(&Tree);
    printf("后序遍历: \n");
    PostOrderTraverse(Tree);
}

//初始化树的函数
void CreateBiTree(BiTree* T) {
    *T = (BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));
    (*T)->data = 1;
    (*T)->lchild = (BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));
    (*T)->rchild = (BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));
    (*T)->lchild->data = 2;
    (*T)->lchild->lchild = (BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));
    (*T)->lchild->rchild = (BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));
    (*T)->lchild->rchild->data = 5;
    (*T)->lchild->rchild->lchild = NULL;
    (*T)->lchild->rchild->rchild = NULL;
    (*T)->rchild->data = 3;
    (*T)->rchild->lchild = (BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));
    (*T)->rchild->lchild->data = 6;
    (*T)->rchild->lchild->lchild = NULL;
    (*T)->rchild->lchild->rchild = NULL;
    (*T)->rchild->rchild = (BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));
    (*T)->rchild->rchild->data = 7;
    (*T)->rchild->rchild->lchild = NULL;
    (*T)->rchild->rchild->rchild = NULL;
    (*T)->lchild->lchild->data = 4;
    (*T)->lchild->lchild->lchild = NULL;
    (*T)->lchild->lchild->rchild = NULL;
}

在这里插入图片描述

【 7. 二叉树的层次遍历 】

  • 层次遍历：按照二叉树中的层次从左到右依次遍历每层中的结点。
  • 具体的实现思路是：通过使用队列的数据结构，从树的根结点开始，依次将其左孩子和右孩子入队。而后每次队列中一个结点出队，都将其左孩子和右孩子入队，直到树中所有结点都出队，出队结点的先后顺序就是层次遍历的最终结果。
    在这里插入图片描述
  • 例如，层次遍历上图中的二叉树：
    首先，根结点 1 入队→[1]；
    根结点 1 出队→[]，出队的同时，将左孩子 2 和右孩子 3 分别入队→[2 3]；
    队头结点 2 出队→[3]，出队的同时，将结点 2 的左孩子 4 和右孩子 5 依次入队→[3 4 5]；
    队头结点 3 出队→[4 5]，出队的同时，将结点 3 的左孩子 6 和右孩子 7 依次入队→[4 5 6 7]；
    不断地循环，直至队列内为空。
    出队次序依次为：1 2 3 4 5 6 7
  • C实现
#include <stdio.h>
#include <malloc.h>
//初始化队头和队尾指针开始时都为0
int front = 0, rear = 0;
typedef struct BiTNode {
    int data;//数据域
    struct BiTNode* lchild, * rchild;//左右孩子指针
}BiTNode, * BiTree;

//入队函数
void EnQueue(BiTree* a, BiTree node) {
    a[rear++] = node;
}

//出队函数
BiTNode* DeQueue(BiTNode** a) {
    return a[front++];
}

//输出函数
void displayNode(BiTree node) {
    printf("%d ", node->data);
}
void CreateBiTree(BiTree* T);
int main() 
{
    BiTree tree;
    //初始化二叉树
    CreateBiTree(&tree);
    BiTNode* p;
    //采用顺序队列，初始化创建队列数组
    BiTree a[20];
    //根结点入队
    EnQueue(a, tree);
    //当队头和队尾相等时，表示队列为空
    while (front < rear) {
        //队头结点出队
        p = DeQueue(a);
        displayNode(p);
        //将队头结点的左右孩子依次入队
        if (p->lchild != NULL) {
            EnQueue(a, p->lchild);
        }
        if (p->rchild != NULL) {
            EnQueue(a, p->rchild);
        }
    }
    return 0;
}
void CreateBiTree(BiTree* T) {
    *T = (BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));
    (*T)->data = 1;
    (*T)->lchild = (BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));
    (*T)->rchild = (BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));

    (*T)->lchild->data = 2;
    (*T)->lchild->lchild = (BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));
    (*T)->lchild->rchild = (BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));
    (*T)->lchild->rchild->data = 5;
    (*T)->lchild->rchild->lchild = NULL;
    (*T)->lchild->rchild->rchild = NULL;

    (*T)->rchild->data = 3;
    (*T)->rchild->lchild = (BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));
    (*T)->rchild->lchild->data = 6;
    (*T)->rchild->lchild->lchild = NULL;
    (*T)->rchild->lchild->rchild = NULL;

    (*T)->rchild->rchild = (BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));
    (*T)->rchild->rchild->data = 7;
    (*T)->rchild->rchild->lchild = NULL;
    (*T)->rchild->rchild->rchild = NULL;

    (*T)->lchild->lchild->data = 4;
    (*T)->lchild->lchild->lchild = NULL;
    (*T)->lchild->lchild->rchild = NULL;
}

在这里插入图片描述

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