代码随想录算法训练营第四十九天| LeetCode121. 买卖股票的最佳时机、122.买卖股票的最佳时机II

一、LeetCode121. 买卖股票的最佳时机

题目链接/文章讲解/视频讲解：https://programmercarl.com/0121.%E4%B9%B0%E5%8D%96%E8%82%A1%E7%A5%A8%E7%9A%84%E6%9C%80%E4%BD%B3%E6%97%B6%E6%9C%BA.html

状态：已解决

1.思路

学了双指针的同学可能会下意识用双指针来做，转化成求最优间距的问题，但是这种方法太暴力了，拿去跑很容易超时。不妨再想想，我们知道某一天是否买入/卖出/啥也不干是跟前面几天的状态有关（比如前面买了股票后面才能卖出），因此可以往动规方向想。

（1）确定dp数组以及下标含义：

dp数组的维度跟所需要记录的状态维数相同。将总问题拆分成子问题，也就是先求每一天的最大收益，那么天数肯定要占据一个维度；再来看第二个维度：我们知道某一天的股票动作有：买入/卖出/啥也不做三种，那我们是不是就需要定义一个三个元素的数组呢？漏！这里我们看的是对股票的动作，实际上股票只有两种状态：第 i 天持有股票（包括第i天刚好购入），第 i 天不持有股票（包括第i天刚好售出）。因此，第二维就只用两个元素。即dp为一个二维数组，第一个维度为天数，第二个维度为是否持有股票。

（注：做动规题一定要记住我们看的是状态不是动作，不要管上一天的动作，是否买卖，而只是看上一天的状态）

即：dp[i][1]：第 i 天持有股票得到的最大利润，dp[i][0]：第 i 天不持有股票得到的最大利润。

（2）确定递推公式：

① 如果第i天持有股票即dp[i][1]，那么可以由两个状态推出来

第i-1天就持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天持有股票的所得现金即：dp[i - 1][1]
第i天买入股票，所得现金就是买入今天的股票后所得现金即：-prices[i]（因为只购入售出一次，因此如果第i天才购入那么前面肯定没有购入，故前面第i-1的所有所得现金都为0，减去第i天购入花的钱就为负数了）

那么dp[i][1]应该选所得现金最大的，所以dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], -prices[i]);

② 如果第i天不持有股票即dp[i][0]，也可以由两个状态推出来

第i-1天就不持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金即：dp[i - 1][0]
第i天卖出股票，所得现金就是按照今天股票价格卖出后所得现金即：prices[i] + dp[i - 1][1]

同样dp[i][0]取最大的，dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], prices[i] + dp[i - 1][1]);

（3）初始化dp数组：

根据递推公式，我们知道当前天数的两个值需要前面一天的状态值推出，因此需要初始化dp[0][0]和dp[0][1]。

dp[0][0]代表第0天不持有股票，那么得到的最大利润为0；

dp[0][1]代表第0天持有股票，那么得到的最大利润为-prince[0]。

其余下标总会被覆盖，统一赋成0即可。

（4）确定遍历顺序：

根据递推公式可以知道需要从前往后推导dp数组，所以遍历顺序就是从前往后。

（5）举例推导dp数组：

以示例1，输入：[7,1,5,3,6,4]为例，dp数组状态如下：

dp[5][0]就是最后的结果（因为最后一天卖出一定比不卖出赚的多）。

2.代码实现

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        vector<vector<int>> dp(prices.size(),vector<int>(2,0));
        dp[0][0] = 0;
        dp[0][1] = -prices[0];
        for(int i=1;i<prices.size();i++){
            dp[i][0] = max(dp[i-1][0],dp[i-1][1]+prices[i]);
            dp[i][1] = max(dp[i-1][1],-prices[i]);
        }
        return dp[prices.size()-1][0];
    }
};

时间复杂度：O(n)

空间复杂度：O(n)

二、122.买卖股票的最佳时机II

题目链接/文章讲解/视频讲解：https://programmercarl.com/0122.%E4%B9%B0%E5%8D%96%E8%82%A1%E7%A5%A8%E7%9A%84%E6%9C%80%E4%BD%B3%E6%97%B6%E6%9C%BAII%EF%BC%88%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92%EF%BC%89.html

状态：已解决

1.思路

这题对比上面121题的不同就在于 “同一股票可交易多次” 的条件。在上题的分析中，只有在第i天持有股票的情况下我们使用了相应的条件。

上题中，我们说因为一个股票只能交易一次，因此在dp[i][1]的第二种来源：第i天刚好购入时，前面由于没有购入过股票，故dp[i-1][0]得到的总金额为0，减去第i天买股票的钱能得到的总金额为负数0-price[i]；

而此题中，由于同一支股票可以反复交易，那么在第i天刚好购入时，前面可能经历了很多次购入售出了，故dp[i-1][0]是有可能有金额累积的，因此第i天买股票能得到的总金额为：dp[i-1][0]-price[i]。

两道题只有这个递推式稍微不同，其余都一致。

2.代码实现

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        vector<vector<int>> dp(prices.size(),vector<int>(2,0));
        dp[0][0] = 0;
        dp[0][1] = -prices[0];
        for(int i=1;i<prices.size();i++){
            dp[i][0] = max(dp[i-1][0],dp[i-1][1]+prices[i]);
            dp[i][1] = max(dp[i-1][1],dp[i-1][0]-prices[i]);//注意不同
        }
        return dp[prices.size()-1][0];
    }
};