图像处理|关于二维傅里叶变换的学习笔记（实用版）

因为图像至少是2D的，所以在数字图像处理中使用的都是2D-傅里叶变换。

1.什么是傅里叶变换(DFT)？傅里叶变换是将图像从空间域转换到频域，其逆变换是将图像从频域转到空间域。

物理意义是：

2.频谱图怎么看？傅里叶频谱图实际上就是图像的梯度分布图。频谱图上看到的明暗不一的亮点，实际上是图像上某一点与邻域点的差异的强弱，即梯度的大小，即该点的频域大小。如果频域图里暗的点数更多，说明实际图像是比较柔和的；反之，如果频谱图中亮的点数多，则实际图像是比较尖锐的，边界分明且边界两边像素差异较大。

3.傅里叶变换定理

设 $f(x,y)$ 和 $F(u,v)$ 构成一对变换，即, $F(x,y)\Leftrightarrow F(u,v)$ ,则有以下一些定理成立：

（1）平移定理：将 $f(x,y)$ 在空间平移相当于将其变换在频域与一个指数项相乘；将 $f(x,y)$ 在空间与一个指数项相乘相当于将其变换在频域平移。另外，对 $f(x,y)$ 的平移不影响其傅里叶变换的幅值。

（2）旋转定理：对 $f(x,y)$ 旋转 $\theta _{0}$ 对应于将其傅里叶变换 $F(u,v)$ 也旋转 $\theta _{0}$ 。类似的，对 $F(u,v)$ 旋转 $\theta _{0}$ 也对应于将其傅里叶反变换 $f(x,y)$ 旋转 $\theta _{0}$ 。将图像在图像空间旋转一定的角度，其傅里叶变换在频谱空间旋转相应的角度。

（3）尺度定理：也称相似定理，给出了傅里叶变化在尺度（放缩）变化时的性质。对 $f(x,y)$ 在幅度方面的尺度变化导致对其傅里叶变换 $F(u,v)$ 在幅度方面的对应尺度变化，而对 $f(x,y)$ 在空间尺度方面的缩放则导致对其傅里叶变换 $F(u,v)$ 在频域尺度方面的相反缩放。对 $f(x,y)$ 的尺度收缩（对应a＞1，b＞1）不仅导致 $F(u,v)$ 膨胀，而且会使 $F(u,v)$ 的幅度减小。

（4）剪切定理：因为沿水平方向的纯剪切仅使像素的水平坐标发生与像素的垂直坐标数值相关的平移变化，沿垂直方向的纯剪切仅使像素的垂直坐标发生与像素的水平坐标数值相关的平移变化。所以，对 $f(x,y)$ 的纯剪切会导致 $F(u,v)$ 在正交方向上的纯剪切。需要注意，一般将两个方向的剪切依次结合会产生不同的结果。换句话说，先进性水平剪切，后进行垂直剪切，与先进行垂直剪切，后进行水平剪切得到的效果是不同的。

（5）卷积定理：两个函数在空间的卷积与它们的傅里叶变换在频域的乘积构成一对变换，而两个函数在空间的乘积与它们的傅里叶变换在频域的卷积构成一对变换。

什么是快速傅里叶变换（FFT）?FFT是一种分而治之的算法，对于一幅 $n*n$ 的图像，它递归计算DFT的速度快得多（时间复杂度为 $O(Nlog_{2}N)$ ）,而离散傅里叶变换计算的速度慢得多（时间复杂度为 $O(N^{2})$ ）。在Python中，numpy和scipy库都提供了使用FFT算法计算2D DFT/IDFT的函数。