卡尔曼滤波是一种有效的线性动态系统状态估计方法。它通过递归地处理测量数据，结合系统动力学模型和测量模型，来预测和估计系统的状态。卡尔曼滤波特别适用于系统状态在时间上演化，而且测量数据存在噪声的情况。以下是卡尔曼滤波对于状态预测的基本原理：
初始状态和协方差的设定：在开始时，你需要设定一个初始状态估计和初始误差协方差矩阵。这个初始状态可以是基于已知信息的预估，初始误差协方差则表示了这个预估的不确定性。预测阶段（时间更新）： ◦ 状态预测：使用系统的动力学模型，从上一时间步的状态估计，预测下一时间步的状态。这个预测考虑了系统的控制输入（如果有的话）和系统过程噪声。 ◦ 协方差预测：同样，误差协方差也会被预测到下一时间步，反映预测状态的不确定性。更新阶段（测量更新）： ◦ 卡尔曼增益的计算：根据预测的误差协方差和测量噪声，计算卡尔曼增益。这个增益系数决定了在估计更新中，应该给予实际测量多少权重相对于预测。 ◦ 状态更新：结合预测的状态和实际的测量，利用卡尔曼增益来校正状态预测，得出更准确的状态估计。 ◦ 协方差更新：最后，更新误差协方差，降低因为考虑了实际测量而减少的不确定性。递归执行：将此过程递归地应用于每个时间步骤，利用新的测量来不停地更新状态的估计。
卡尔曼滤波的核心优点是**，它能够平衡预测和测量，有效地处理系统和测量中的噪声**，从而对系统状态进行准确估计。它的成功在于它同时考虑了系统的先验知识（通过动力学模型）和观测数据，利用统计方法来最小化估计误差。
1. 预测阶段
- 状态预测：
- 协方差预测：
在这里， *是时间步长
的状态预测，
是系统状态转移矩阵，表示状态如何从一个时间点转移到下一个时间点。
是时间步长
的状态估计。
是控制输入矩阵，
是控制输入向量。
是预测协方差，即状态估计的不确定性，
是预测过程噪声协方差矩阵。
2. 更新阶段
- 卡尔曼增益计算：
- 状态更新：
- 协方差更新：
在这里，是时间步长
的卡尔曼增益，它衡量了测量值相对于预测值的权重。 $H_k$ 是观察矩阵，将状态空间映射到观测空间。
是时间
的实际测量值。
是测量噪声协方差矩阵，反映了测量中的不确定性。
是单位矩阵。
是对当前时刻状态估计的协方差预测，反映了状态预测的不确定性
卡尔曼滤波算法通过不断的迭代这两个阶段——预测阶段和更新阶段——来不断地利用新的测量信息，纠正状态的估计，从而使对系统状态的估计更加准确。
