本篇文章介绍了符号距离函数Signed Distance Funciton(SDF)，占用场Occupancy Field，神经辐射场Neural Radiance Field（NeRF）的概念、联系与区别。

显式表示与隐式表示

三维空间的表示形式可以分为显式和隐式。

比较常用的显式表示比如体素Voxel，点云Point Cloud，三角面片Mesh等。

比较常用的隐式表示有 符号距离函数Signed Distance Funciton(SDF)，占用场Occupancy Field，神经辐射场Neural Radiance Field（NeRF） 等。

本文将对几种隐式表示进行介绍，并以我本人的理解讲一讲它们的联系和区别。

概述

首先，对这三种隐式表示进行概述，帮助大家对三种表示有一个大致的认识，这里看不懂没关系，后面有更加详细的介绍。

函数function与场field

先回顾一下函数和场的概念，我认为函数和场实际上都是代表了一种映射关系。

函数 f(x)=y 是自变量 x 的集合到因变量 y 集合的映射，也就是每个x对应一个y。

场的定义是向量到向量或数的映射，空间中的场可以认为是 “空间中点”到“点的属性”的映射，也就是每个点对应这个点的属性。以磁场为例，磁场就是空间中每个点都具有一个磁感应矢量B，也就是点到向量的映射，即空间中每个点都对应到一个特定的向量$B$。在其他情况下，点不一定对应到向量，也可以对应到标量或者其他属性，只要是空间中点到属性的映射都是空间场。（ 一般用坐标 $(x,y,z)$表示空间中的点，所以点到属性的映射实际上是$(x,y,z)$对应属性$s$，如场$F:(x,y,z)\to s$，这里的$s$可以是向量也可以是标量）

本文讲的三种隐式表示都可以看做是一种映射关系，而且我们都可以用神经网络去拟合这种映射关系，达到用神经网络去表示三维空间的目的。

Signed Distance Funciton（SDF）

Signed Distance Funciton对应的中文是“符号距离函数”，我们更常见到的是它的缩写SDF。

SDF表示一个点到一个曲面的最小距离，同时用正负来区分点在曲面内外。点在曲面内部则规定距离为负值，点在曲面外部则规定距离为正值，点在曲面上则距离为0.

SDF的映射关系如下：

这里$x$是个三维向量，代表三维空间中的点，$s$是一个值。也就是说$SDF$实际上是空间中的点到对应的值的映射，也就是每个x都对应一个值s，这里s表示一个点到一个曲面的最小距离。

相应的， $s<0$ 则表示 $x$ 在曲面内，$s>0$表示 $x$ 在曲面外，$s=0$表示 $x$ 在曲面上。我们就可以 用 $SDF(x)=0$ 来表示一个曲面。

Occupancy Field （占用场）

占用场表示一个点被曲面占用的概率（占用就是在曲面内部），用神经网络表示的占用场又叫做Neural Surface Field。

占用场$p$和$s$的对应关系如下：

这里的$p$是空间中的点，$s$表示$p$被曲面占用的概率。可以看到占用场的映射关系的维度和SDF是一致的，它和SDF的区别在于，SDF中$s$没有取值范围限制，而占用场的$s$的取值是$[0,1]$，即必须在0,1之间，所以占用场是将一个三维空间映射到$[0,1]$，即：

占用概率$s$通常以0.5为标准，即$s$大于0.5我们倾向于认为点被曲面占用，$s$小于0.5我们倾向于认为点没有被曲面占用，$s$等于0.5我们认为点在曲面上。所以我们可以用 $s$等于0.5，即 $F(p)=0.5$ ，在连续的三维占用场中表示一个曲面。

Neural Radiance Field （神经辐射场）

Neural Radiance Field 神经辐射场是这几年很火的概念，主要是由于NeRF以及后续系列工作的优异表现。

辐射场 Radiance Field 就是将“空间中的点+点发出的一条射线”映射到“点的密度值+射线的方向对应的颜色值”，映射关系如下：

$x,y,z$表示点坐标，$d$表示从这个点发出的一条射线的方向，$R,G,B$表示从这个射线的方向去看这个点的颜色值，$\sigma$表示这个点的密度值（比如烟雾的密度比较低，固体点的密度就很高）。

而神经辐射场，就是用神经网络去拟合辐射场的映射关系。

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下面将详细介绍每个隐式表示：

Signed Distance Funciton（SDF）

SDF在2D和3D中都有应用，我们可以先看一下SDF在2D中的形式，了解其在2D上的应用会对理解其在3D中的表示有帮助。

Signed Distance Funciton表示带符号的距离函数，其实还有不带符号的距离函数，也就是Unsigned Distance Funciton，2D中的Unsigned Distance Funciton可以直观表示如下：

这里黑色的就是表示的形状，在Unsigned Distance Funciton下，形状内部的点的距离会被定义为0，而形状外部的点的值代表了这个点到形状的最短距离。

相对于Unsigned Distance Funciton，Signed Distance Funciton增加了正和负的概念，内部和外部的点的绝对值都代表了点到形状的距离，这时内部的点不再都是0，而是用负值表示，外部的点的值用正值表示。下图就是它的直观表示：

这张图红色的表示在形状外部的点，绿色代表在形状内部的点，黑色代表边界，可以看到黑色两侧的点的值的正负发生了变化，也就是说$SDF=0$表示的曲线可以代表形状的边界。

理解了二维的SDF，就可以类推到三维的SDF，可以想象一个空间，空间中有正值和负值的点，而正负点的交界处就可以认为是空间曲面。

这里展示一张《DeepSDF: Learning Continuous Signed Distance Functions for Shape Representation》 (CVPR2019) 中直观表示SDF的图像，是那个大家熟悉的兔子：

可以看到有一部分点（蓝色）的SDF值小于0，另一部分点（红色）的SDF值大于0，而大于0和小于0的点之间的边界，也就是我们需要表示的曲面，也就是说，曲面可以用函数$SDF=0$表示。

对于一些我们熟悉的曲面，也可以用SDF的形式来表示，比如球体和“甜甜圈”：

这两个物体的隐式表示函数是相对简单的。而通常需要我们用隐式函数表示的物体的隐式函数会复杂的多，但都是一个三维空间到SDF值的映射，即每一个三维空间点$x$对应一个SDF值$s$，这里 $s$表示点到曲面的最小距离。可以写成：

在使用深度学习表示隐式函数的方法中，我们用神经网络拟合SDF函数，就可以利用神经网络表示一个三维模型。

Occupancy field (占用场）

之前讲到，场实际上就是“空间中的点”到“点的属性”的映射，而占用场就是 “空间中的点”到“点是否被曲面占用的概率”的映射， 占用场给空间中每个点都赋一个是否被曲面占用的概率，相当于表示了一个点在曲面内部的概率，即：

这里$p$表示空间中的点，$s$表示占用概率。$F$在这里我们叫做占用概率函数，它表示了占用场中$p$和$s$的关系。

对于占用场所表示的映射关系，也就很容易理解了。对于三维空间中的点$p$，有：

$s$表示$p$被曲面占用的概率，它的取值范围是$[0,1]$，所以占用场就可以看做是三维空间到$[0,1]$的映射:

这里$s=0$表示点非常不可能被曲面占用，$s=1$表示点极大可能被曲面占用，那么$s=0.5$也就是很难判断这个点都否被曲面占用。我们说过被曲面占用就是在曲面内部，那么什么时候我们很难判断一个点是在曲面内部还是外部呢？你肯定已经想到了，那就是当这个点很接近曲面表面的时候，我们就很难判断它去曲面内部或者外部了。所以 $F(p)=0.5$ 代表了这个点在曲面的表面。

于是 $F(p)=0.5$ 也就可以表示一个连续的3D占用场中的一个曲面。与$SDF$类似，占用概率函数 $F$ 可以用神经网络拟合，这样我们就可以用神经网络表示曲面。

现在$F(p)=0.5$只能表示一个特定的曲面，而在实际的重建任务中，我们希望自己的网络根据不同的文字/图像或者其他条件信息来构建该条件对应的曲面，于是我们需要引入 “条件变量$c$” 作为占用场的输入，即：

这样占用场所表示的映射也就变形成了：

这里的$c$表示了一个条件变量，比如图像特征，$c$相当于编码了一个特定曲面的形状，我们可以训练你占用场神经网络 $F$ 还原出$c$编码的形状。

占用场除了可以表示曲面，还可以表示点的颜色值。在单目三维人体重建《PIFu: Pixel-Aligned Implicit Function for High-Resolution Clothed Human Digitization》(ICCV 2019) 文章中，除了利用占用场表示曲面外，还利用占用场来表示点的颜色值。也就是将 $F(p,c)=s$中的占用概率$s$，替换为颜色值$(R,G,B)$，即：

这样通过预测每个点的颜色值，也就得到了曲面的纹理。于是可以通过占用场即得到模型的几何信息，又得到模型的纹理信息。

我们可以将它进一步进行变换，因为在实际使用中，我们会用空间中的点 $p$ 的坐标 $x,y,z$ 来表示 $p$ ，于是我们将$p$替换为$x,y,z$，同时将其写为映射关系，即：

不知道看到这里，你有没有觉得有点眼熟呢，它和下面这个映射关系是不是有些相似？

上面两个映射关系是不是还有点像？至少左右两边有很多重复的量。你这时肯定已经注意到，第二个式子实际上就是辐射场 Radiance Field 的映射关系。

Neural Radiance Field (神经辐射场)

我们之前说过，神经辐射场，其实就是用神经网络去拟合辐射场的映射关系。所以理解神经辐射场主要需要理解辐射场这个概念。（当然NeRF还涉及到体渲染的概念，我这里只提及辐射场相关的）

现在我们知道场实际上就是一种映射关系，辐射场也是如此的，它是将“空间中的点+点发出的一条射线”映射到“点的密度值+射线的方向对应的颜色值”。

我们可以从辐射场的用途理解它建立这种映射关系的意义。我们需要表示一个三维空间，使得从任何角度去观察，我们都可以得到该视角的观察结果（对于每个视角来说，观察结果其实就是一副RGB图像）。

于是对于一个点来说，这个点只需要保证，在每个角度，都能呈现出一定的颜色，就可以让任何观察视角对这个点都有观察结果了。

也就是说，从这个点发出的每一个角度的射线，都应该能呈现出一种特定的颜色（你可以想象一个长满五颜六色的刺的海胆）。

现在将这个特定的点推广到空间中的每一个点，于是空间中每一个点的每一个角度，都需要一个对应的颜色值，也就是：

这里$(x,y,z)$用三维空间中的位置表示点，$d$表示射线的角度，$(R,G,B)$表示颜色值。

在实际中，不同的点的颜色透明度会不同，比如烟雾或者彩色的玻璃，虽然它们有颜色，但是我们也可以透过它们看到之后的物体，于是我们还需要给点增加一个新的属性，透明度$\sigma$，最后得到完整的辐射场的映射关系：

也就是空间中每一个点的每一个角度，都对应的一个颜色值和一个透明度，这其实也就是辐射场的表示内容。而神经辐射场，就是用神经网络去拟合辐射场的映射关系。

总结

我们可以看出来，三种3D隐式表示虽然表示的内容不同，但具有其相似性与关联。比如SDF和占用场都是三维映射到一维，甚至SDF值可以直接线性映射到占用概率。再比如文章中特地比较的“用来表示颜色值的占用场”和“辐射场”二者的映射关系，可以直观的看出辐射场相对于占用场多了一个视角射线$d$作为输入，也就是由于增加了一个视角射线$d$，使得辐射场在渲染层面获得了独特的优势。而在渲染方面的广泛应用，使得NeRF成为了近几年炽手可热的明星技术。