批量规范化（batchnormalization）

µ ˆB 是小批量B的样本均值，σˆ B 是小批量B的样本标准差。应用标准化后，生成的小批量的平均
值为0和单位方差为1。由于单位方差（与其他一些魔法数）是一个主观的选择，因此我们通常包含拉伸参数（scale）γ和偏移参数（shift）β，

请注意，γ和β是需要与其他模型参数一起学习的参数。

“魔法参数”来规范化或调整模型的行为。这些参数通常不是通过数据或者明确的推断得出，而是根据经验、直觉或者试验进行调整的，因此被称为“魔法参数”。

我们在方差估计值中添加一个小的常量ϵ > 0，以确保我们永远不会尝试除以零。即使在经验方差估计值可能消失的情况下也是如此。估计值ˆ µ B 和ˆ σ B 通过使用平均值和方差的噪声（noise）估计来抵消缩放问题。乍看起来，这种噪声是一个问题，而事实上它是有益的。事实证明，这是深度学习中一个反复出现的主题。由于尚未在理论上明确的原因，

优化中的各种噪声源通常会导致更快的训练和较少的过拟合：这种变化似乎是正则化的一种形式。

噪声可以提高鲁棒性，更快训练和较少过拟合

卷积层
同样，对于卷积层，我们可以在卷积层之后和非线性激活函数之前应用批量规范化。当卷积有多个输出通道时，我们需要对这些通道的“每个”输出执行批量规范化，每个通道都有自己的拉伸（scale）和偏移（shift）参数，这两个参数都是标量。假设我们的小批量包含m个样本，并且对于每个通道，卷积的输出具有高度p和宽度q。那么对于卷积层，我们在每个输出通道的m · p · q个元素上同时执行每个批量规范化。因此，在计算平均值和方差时，我们会收集所有空间位置的值，然后在给定通道内应用相同的均值和方差，以便在每个空间位置对值进行规范化。

import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l


def batch_norm(X, gamma, beta, moving_mean, moving_var, eps, momentum):
    # 通过is_grad_enabled来判断当前模式是训练模式还是预测模式
    if not torch.is_grad_enabled():
        # 如果是在预测模式下，直接使用传入的移动平均所得的均值和方差
        X_hat = (X - moving_mean) / torch.sqrt(moving_var + eps)
    else:
        assert len(X.shape) in (2, 4)
        if len(X.shape) == 2:
            # 使用全连接层的情况，计算特征维上的均值和方差
            mean = X.mean(dim=0)
            var = ((X - mean) ** 2).mean(dim=0)
        else:
            # 使用二维卷积层的情况，计算通道维上（axis=1）的均值和方差。
            # 这里我们需要保持X的形状以便后面可以做广播运算
            mean = X.mean(dim=(0, 2, 3), keepdim=True)
            var = ((X - mean) ** 2).mean(dim=(0, 2, 3), keepdim=True)
        # 训练模式下，用当前的均值和方差做标准化
        X_hat = (X - mean) / torch.sqrt(var + eps)
        # 更新移动平均的均值和方差
        moving_mean = momentum * moving_mean + (1.0 - momentum) * mean
        moving_var = momentum * moving_var + (1.0 - momentum) * var
    Y = gamma * X_hat + beta  # 缩放和移位
    return Y, moving_mean.data, moving_var.data

对每一通道的所有数据进行归一化操作。

class BatchNorm(nn.Module):
    # num_features：完全连接层的输出数量或卷积层的输出通道数。
    # num_dims：2表示完全连接层，4表示卷积层
    def __init__(self, num_features, num_dims):
        super().__init__()
        if num_dims == 2:
            shape = (1, num_features)
        else:
            shape = (1, num_features, 1, 1)
        # 参与求梯度和迭代的拉伸和偏移参数，分别初始化成1和0
        self.gamma = nn.Parameter(torch.ones(shape))
        self.beta = nn.Parameter(torch.zeros(shape))
        # 非模型参数的变量初始化为0和1
        self.moving_mean = torch.zeros(shape)
        self.moving_var = torch.ones(shape)

    def forward(self, X):
        # 如果X不在内存上，将moving_mean和moving_var
        # 复制到X所在显存上
        if self.moving_mean.device != X.device:
            self.moving_mean = self.moving_mean.to(X.device)
            self.moving_var = self.moving_var.to(X.device)
        # 保存更新过的moving_mean和moving_var
        Y, self.moving_mean, self.moving_var = batch_norm(
            X, self.gamma, self.beta, self.moving_mean,
            self.moving_var, eps=1e-5, momentum=0.9)
        return Y

net = nn.Sequential(
    nn.Conv2d(1, 6, kernel_size=5), BatchNorm(6, num_dims=4), nn.Sigmoid(),
    nn.AvgPool2d(kernel_size=2, stride=2),
    nn.Conv2d(6, 16, kernel_size=5), BatchNorm(16, num_dims=4), nn.Sigmoid(),
    nn.AvgPool2d(kernel_size=2, stride=2), nn.Flatten(),
    nn.Linear(16*4*4, 120), BatchNorm(120, num_dims=2), nn.Sigmoid(),
    nn.Linear(120, 84), BatchNorm(84, num_dims=2), nn.Sigmoid(),
    nn.Linear(84, 10))
lr, num_epochs, batch_size = 1.0, 10, 256
train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size)
d2l.train_ch6(net, train_iter, test_iter, num_epochs, lr, d2l.try_gpu())

和以前一样，我们将在Fashion-MNIST数据集上训练网络。这个代码与我们第一次训练LeNet（ 6.6节）时几乎完全相同，主要区别在于学习率大得多

让我们来看看从第一个批量规范化层中学到的拉伸参数gamma和偏移参数beta。

net[1].gamma.reshape((-1,)), net[1].beta.reshape((-1,))
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(tensor([0.4863, 2.8573, 2.3190, 4.3188, 3.8588, 1.7942], device='cuda:0',
        grad_fn=<ReshapeAliasBackward0>),
 tensor([-0.0124,  1.4839, -1.7753,  2.3564, -3.8801, -2.1589], device='cuda:0',
        grad_fn=<ReshapeAliasBackward0>))

简明实现



net = nn.Sequential(
nn.Conv2d(1, 6, kernel_size=5), nn.BatchNorm2d(6), nn.Sigmoid(),
nn.AvgPool2d(kernel_size=2, stride=2),
nn.Conv2d(6, 16, kernel_size=5), nn.BatchNorm2d(16), nn.Sigmoid(),
nn.AvgPool2d(kernel_size=2, stride=2), nn.Flatten(),
nn.Linear(256, 120), nn.BatchNorm1d(120), nn.Sigmoid(),
nn.Linear(120, 84), nn.BatchNorm1d(84), nn.Sigmoid(),
nn.Linear(84, 10))
下面，我们使用相同超参数来训练模型。
请注意，通常高级API变体运行速度快得多，因为它的代码已编译
为C++或CUDA，而我们的自定义代码由Python实现。
d2l.train_ch6(net, train_iter, test_iter, num_epochs, lr, d2l.try_gpu())

批量规范化有许多有益的副作用，主要是正则化。另一方面，”减少内部协变量偏移“的原始动机似乎
不是一个有效的解释。

2018年，MIT一个研究小组的工作认为：正则化，而不是去ICS（internal covariate shift），才是Batch Norm有效的原因。