离散时间的ESKF 运动方程

名义状态变量的离散时间运动方程可以写为：（不用考虑噪声，噪声在误差状态中）

误差状态变量的离散时间运动方程为：

式中右侧部分省略了括号里的（t）以简化公式
噪声项并不参与递推，需要把它们单独归入噪声部分。连续时间的噪声项可以视为随机过程的能量谱密度，而离散时间下的噪声 变量就是我们日常看到的随机变量。这些噪声随机变量的标准差可以列写为：

其中前两式的 delta t 是由于积分关系导致的，后两式则和 离散时间下的 零偏游走的标准差公式 一致

至此，完成了在ESKF中进行IMU递推的过程，对应卡尔曼滤波器中的状态方程。为了让滤波器收敛，需要外部的观测对卡尔曼滤波器进行修正，也是所谓的组合导航。当然组合导航的方法很多，从传统的EKF，到本节介绍的ESKF，以及预积分和图优化都可以用于组合导航中。

下面以融合GNSS观测为离，梳理如何在ESKF中融合这些观测数据，形成一个收敛的卡尔曼滤波器。

ESKF的运动过程

下面写出ESKF的运动过程。根据误差状态变量 离散时间运动方程，可以整体的记为：

其中w为噪声，按照前面的定义，Q应该为

两侧的零，是由于第一个和最后一个方程本身没有噪声导致的

为了保持与EKF的符号统一，计算运动方程的线性化形式

其中，F为线性化后的雅克比矩阵。由于 误差状态变量的离散时间运动方程 已经线性化，所以F矩阵就是把它们线性系数拿出来（注意变量定义的顺序）

在此基础上，执行ESKF的预测过程。预测过程包括对名义状态的预测（IMU积分）及对误差状态的预测

由于ESKF的误差状态在每次更新以后会被重置为零，即

因此，运动方程的均值部分，即

没有太大意义

协方差部分则描述了整个误差估计的分布情况。

从直观意义上来看，运动方程的噪声协方差中增加了Q项，可以看作增大的过程。