我之前是做了一些探讨，但是没说清楚，现在再看这个问题。

我先提出这个问题。

以以为点列为例，先写成傅里叶级数的形式，不过这里不是三角函数形式，而是指数形式，是一样的。

对f(n)求导，就可以观察变化率了。但是我暂且不这样做，因为我先从直观感受出发。如果f(n+1)-f(n)较大说明了这个位置的像素变化快，那么在三角函数中该如何显示呢？把上图的指数函数看成是三角函数，所以差值f'(n)是跟频率有关，也跟三角级数的幅值F(k)有关。在连续函数的傅里叶级数求导中，如下图所示:

n跟频率有关，确实也说明了这一点。但是问题是在连续函数中，n是无数多个，而f'(x)的值是确定的，到底是多少个频率nk影响了f'(k)的值呢？连续的不好解决，现在看离散的级数的情况。

由于这里是有限个点，所以问题变简单了。

N个频率，只有一个频率k使得的绝对值最接近f'(n),然后其余N-1个F(k)作向量加法等于f'(n)。但是这样想无助于问题，那就利用方程组的思想吧。

已知有N个不同频率的正弦函数ck(n)和余弦函数sk(n)建立方程组

Fk*[ck(n)+i*sk(n)]=fn

这样看不方便，用指数函数代替，设为en(k)=ck(n)+i*sk(n)，即是

Fk*en,k=fn，写成矩阵形式: E*(F0,F1,...,F(N-1))'=(f0,f1,...,f(N-1))'。

Fk的下标k表示频率，fn的下标n表示位置。

情况本身是这样的，首先是取了fn的N个点，然后由于N确定了矩阵E。所以可以求出来唯一解Fk。

但是问题是若f(m+1)-f(m)较大，则可能只是存在极少数比如l个的kl，跟这个差值非常接近。

E中的（n,k）元是第n行第k列元素，代表在复平面上x轴上的单位向量逆时转旋转2kn/N个角度，

可以看出来这是个对称矩阵。我不分析了，网上有傅里叶变换的矩阵分析，是范德蒙矩阵，还是个正交矩阵，也是对称矩阵。

设En表示矩阵的行向量, n是空间域的位置。

现在计算f(n+1)-f(n)=[E(n+1)-E(n)]*F

En看不出来是什么，但是矩阵E具有对称性，所以En(k)=E(k,n), 设Ek=E(k,n)，实际上Ek代表的是在空间域上频率为k的一位置n为定义域的正弦函数和余弦函数对。

所以f(n+1)-f(n)=[E(n+1)-E(n)]*F表示: 当f(n)分解为三角函数的时候，变化率为两个相邻的正弦函数和余弦函数对的差值和F的内积。而三角函数早就已经固定了。

反正正弦函数与余弦函数都是在一个周期内，等分成了N个点。

f(n+1)-f(n)=[E(n+1)-E(n)]*E^(-1)*f', 由于E是对称矩阵，且是正定矩阵，则E^(-1)=E。

所以f(n+1)-f(n)=f(n+1)-f(n)。这只能说明我没有推到错误。但是k呢？我希望看到的是关于k的函数。由于对称性En已可以理解为在频率为n的时候，不同位置的三角函数值，Fk的k也可以理解为位置上的权重。所以也可以理解为不同频率上的差值的向量的内积。

所以到底是理解为在位置n和n+1处的两个相同频率的三角函数的差值，还是理解为在频率为n+1和n处的两个相同位置的三角函数的差值。为了不累加频率，那只能理解为Fk是关于位置的权重。但是依然没用。我需要的是在频率为n的时候，减少该频率的F(n)的值或者F(n)附近的值，就能改变位置n的或者附近的变化率。(利用数学工具都无法说明，那我只能从算法看了。)