Transformer中的位置编码详解

什么是位置编码

位置编码概述位置编码的目的是为了补充序列的位置信息，这是因为自注意力机制本身不包含位置的概念（例如顺序信息）。位置编码的具体作用是，对于不同的输入序列成分，赋予其不同的位置标识，确保序列信息在不同的上下文中仍然，即使是相同的文本序列也因位置不同而有不同的含义。

Transformers 使用的位置编码方法，其中每个位置/词素都被分配一个编号。到此，位置编码的输出是一个矩阵，其中每行的每一行代表序列中的一个特定词素与其位置信息相结合。下图演示了一个较小的位置编码矩阵示例的构成方式。

位置编码矩阵

位置编码矩阵示例 - 序列 ‘I am a robot’

三角函数

三角函数三角函数是数学中的基本概念，不仅可以表达周期性的现象，还能描述波动的基本特性。这些函数的图像通常在[-1, 1]的区间内。三角函数的一般形式包括正弦和余弦两种，它们的周期性是函数的重要特性。以下表格列出了几种常见的三角函数形式及其特性：

位置编码公式

位置编码的数学公式用于为每一个位置（即序列中的词素）分配一个独特的编码，以使其能够在不同的上下文中区别对待。位置编码使用下述公式来生成位置编码矩阵：

$\begin{aligned}&P(k,2i)=\sin\left(\frac k{n^{2i/d}}\right)\text{(1)}\\&P(k,2i+1)=\cos\left(\frac k{n^{2i/d}}\right)\text{(2)}\end{aligned}$

其中：

k：词素（即序列中的某个元素）的索引位置的值，0≤k<L/2
d：编码矩阵的维度
P(k,j)：位置编码，用于给定词素 k 的频率编码的 (k, j) 处的值
n：用户定义的常数（例如，"Attention Is All You Need" 论文中的常数为 10,000）
i：用于确定频率的位置，0≤i<d/2，相当于确定位置编码矩阵中的行

位置编码示例

通过具体例子理解位置编码。以序列 “I am a robot” 为例，设定 n = 100, d = 4。在这个例子中，我们计算了 n = 100 和 d = 4 的序列的位置编码，位置编码的计算结果如下表：

位置编码矩阵示例 - 序列 ‘I am a robot’

Python实现位置编码

使用 NumPy 库进行矩阵和数学运算以及 Matplotlib 库进行图形绘制，下面是 Python 代码示例以及其输出结果。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def getPositionEncoding(seq_len, d, n=10000):
    P = np.zeros((seq_len, d))
    for k in range(seq_len):
        for i in np.arange(int(d/2)):
            denominator = np.power(n, 2*i/d)
            P[k, 2*i] = np.sin(k/denominator)
            P[k, 2*i+1] = np.cos(k/denominator)
    return P

P = getPositionEncoding(seq_len=4, d=4, n=100)
print(P)

单个序列的可视化

使用 Matplotlib 库绘制不同位置的三角函数图，下面是 Python 代码示例以及其生成的图形。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def getPositionEncoding(seq_len, d, n=10000):
    P = np.zeros((seq_len, d))
    for k in range(seq_len):
        for i in np.arange(int(d/2)):
            denominator = np.power(n, 2*i/d)
            P[k, 2*i] = np.sin(k/denominator)
            P[k, 2*i+1] = np.cos(k/denominator)
    return P

def plotSinusoid(k, d, n):
    x = np.arange(0, 100, 1)
    denominator = np.power(n, 2*k/d)
    y = np.sin(x/denominator)
    plt.plot(x, y)
    plt.title('k = ' + str(k))

# 使用长序列和较大维度的参数
seq_len = 100
d = 512
n = 10000
P = getPositionEncoding(seq_len, d, n)
# 正弦波绘图
fig = plt.figure(figsize=(15, 4))
for i in range(4):
    plt.subplot(1, 4, i + 1)
    plotSinusoid(i*4, d, n)  # 确保传入函数的参数和生成P矩阵时的参数一致
plt.show()

下图是四个不同 k 值的正弦波形图。可以看到，随着 k 值的增大，波形周期发生了变化。

可视化结果：四个不同 k 值的正弦波形图，分别对应 k=0, k=4, k=8, 和 k=12 的情况。随着 k 值的增大，波形周期发生变化，显示了不同频率和波长的正弦波。

热图可视化编码矩阵

使用 Python 的 Matplotlib 库的 matshow() 函数，可以将位置编码矩阵以热图的形式可视化。热图可以直观地展示不同位置编码的值的大小。下面是 Python 代码示例以及热图的输出结果。

# 热图绘图
fig2 = plt.figure(figsize=(15, 4))
cax = plt.matshow(P, aspect='auto')  # aspect='auto'保证热图在x轴和y轴方向拉伸以填满画布
plt.colorbar(cax)
plt.show()

热图结果：展示了一个长为 100，宽为 512 的位置编码矩阵的热图。热图中的颜色变化表示不同位置编码值的大小，可以看到随着位置的变化，颜色也呈现出周期性的变化模式。

位置编码的整体流程

Transformer模型的位置编码过程包括将词汇转换为向量，然后与位置编码相加，以保持位置信息。以下是该过程的详细描述：

输入序列（Input sequence）: I, am, a, Robot
词向量嵌入（Word embedding）: 将每个输入词转换为一个嵌入向量（embedding vector）。
- v0 是 "I" 的嵌入向量
- v1 是 "am" 的嵌入向量
- v2 是 "a" 的嵌入向量
- v3 是 "Robot" 的嵌入向量
位置编码矩阵（Positional Encoding Matrix）: 计算序列中每个词的位置编码向量。
- P0 是 "I" 的位置编码向量
- P1 是 "am" 的位置编码向量
- P2 是 "a" 的位置编码向量
- P3 是 "Robot" 的位置编码向量
位置编码层的输出（Output of positional encoding layer）: 词向量和位置编码向量相加，得到最终的编码向量。
- y0 是 "I" 的位置编码
- y1 是 "am" 的位置编码
- y2 是 "a" 的位置编码
- y3 是 "Robot" 的位置编码