2022天梯赛 L3_2 关于深度优先搜索和逆序对的题应该不会很难吧这件事【树上逆序对计数】

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思路

观察发现，逆序对可以分成两类：

节点 $u$ 和 $v$ 有明确的父子关系（不一定是直属的直连边，可能是儿子往上跳很多条边才到达父亲），假设 $u$ 是 $v$ 的父亲，那么不管怎么遍历， $u$ 一定会比 $v$ 更早遍历到，因为 $v$ 在 $u$ 的子树里；那么这种情况下，如果 $u > v$ 的话，就会产生一个逆序对
节点 $u$ 和 $v$ 没有明确的父子关系，那么假设它们的 $L C A$ 为 $L$ ， $u$ 和 $v$ 的出现次序取决于 $L$ 的遍历顺序，因此这一部分的逆序对数量显然和 $L$ 的直属儿子数的 全排列 有关

对于第一部分的答案，我们很容易就可以统计，进入一个点 $u$ 时，我们在 $u$ 这个位置打上标记，那么之后所有在 $u$ 的子树中的点 $v$ ，都会被这个标记影响，对于当前点 $v$ ，要统计其有多少个父亲的点权大于它（产生逆序对），只需要使用树状数组查询 $[v + 1, n]$ 的和即可；离开 $u$ 时，我们删除这个标记即可

假设我们求出来第一部分产生的逆序对为 $c n t$ 个，不管 $df s$ 序如果变化，这第一部分产生的逆序对是恒定不变的
一共有 $\prod son_i !$ 个 $df s$ 序（ $son_i$ 表示节点 $i$ 的直属儿子数量）， $son_i > 0$
所以第一部分的答案是： $cnt \times \prod son_i !$

对于第二部分的答案，我们对于当前节点 $u$ ，假设 $sz [v]$ 为点 $v$ 的子树中的节点数量，那么子树 $u$ 中，以 $u$ 为 $L C A$ 的点对两两配对的方案数有： $sz[v_1] \times sz[v_2] + sz[v_1] \times sz[v_3] +... + sz[v_{k-1}] \times sz[v_k]（假设 u 有 k 个儿子）$ ，就是将 $u$ 的所有儿子的子树大小两两相乘，从而算出不在同一颗子树的点对数量；
对于某个点对 $(x, y)$ ， $x, y$ 满足某种大小关系，假设 $x < y$ ，那么当 $x$ 位于的子树比 $y$ 位于的子树后遍历到时，这个点对会产生一个逆序对，
而对于 $u$ 的直属儿子的全排列，从期望或者概率的角度出发，一定是恰好有一半的情况使得 $x$ 在 $y$ 前面，而剩下一半的情况 $x$ 在 $y$ 的后面，所以我们只需要将 $\div 2$ 就是产生逆序对的情况数（ $k$ 是 $u$ 的直属儿子数量）
但是，除了当前 $u$ 的直属儿子遍历顺序会变，其他节点的遍历顺序也会变，全部累乘起来的话，其实和第一部分的 $\prod son_i$ 是一样的
因此对于当前节点 $u$ ，其不同子树内贡献的逆序对数量为： $\dfrac {\prod son_i}{2} \times sum$ ， $s u m$ 代表 $u$ 中不同子树内的点对数量，对于不同的 $u$ ，可以将 $\dfrac {\prod son_i}{2}$ 提公因子出来，只累加 $s u m$ 到最后算即可
关于 $u$ 的来自不同子树内的点对数量，可以简单地使用类似前缀和来解决，详情看代码 $df s 0$ 的部分

#include<bits/stdc++.h>
#define fore(i,l,r)	for(int i=(int)(l);i<(int)(r);++i)
#define fi first
#define se second
#define endl '\n'
#define ull unsigned long long
#define ALL(v) v.begin(), v.end()
#define Debug(x, ed) std::cerr << #x << " = " << x << ed;
#define lowbit(x) ((x) & -(x))

const int INF=0x3f3f3f3f;
const long long INFLL=1e18;

typedef long long ll;

template<class T>
constexpr T power(T a, ll b){
    T res = 1;
    while(b){
        if(b&1) res = res * a;
        a = a * a;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

constexpr ll mul(ll a,ll b,ll mod){ //快速乘，避免两个long long相乘取模溢出
    ll res = a * b - ll(1.L * a * b / mod) * mod;
    res %= mod;
    if(res < 0) res += mod; //误差
    return res;
}

template<ll P>
struct MLL{
    ll x;
    constexpr MLL() = default;
    constexpr MLL(ll x) : x(norm(x % getMod())) {}

    static ll Mod;
    constexpr static ll getMod(){
       if(P > 0) return P;
       return Mod;
    }

    constexpr static void setMod(int _Mod){
       Mod = _Mod;
    }
    constexpr ll norm(ll x) const{
       if(x < 0){
           x += getMod();
       }
       if(x >= getMod()){
           x -= getMod();
       }
       return x;
    }
    constexpr ll val() const{
       return x;
    }
    explicit constexpr operator ll() const{ 
       return x; //将结构体显示转换为ll类型： ll res = static_cast<ll>(OBJ)
    }
    constexpr MLL operator -() const{ //负号，等价于加上Mod
       MLL res;
       res.x = norm(getMod() - x);
       return res;
    }
    constexpr MLL inv() const{
       assert(x != 0);
       return power(*this, getMod() - 2); //用费马小定理求逆
    }
    constexpr MLL& operator *= (MLL rhs) & { //& 表示“this”指针不能指向一个临时对象或const对象
       x = mul(x, rhs.x, getMod()); //该函数只能被一个左值调用
       return *this;
    }
    constexpr MLL& operator += (MLL rhs) & {
       x = norm(x + rhs.x);
       return *this;
    }
    constexpr MLL& operator -= (MLL rhs) & {
       x = norm(x - rhs.x);
       return *this;
    }
    constexpr MLL& operator /= (MLL rhs) & {
       return *this *= rhs.inv();
    }
    friend constexpr MLL operator * (MLL lhs, MLL rhs){
       MLL res = lhs;
       res *= rhs;
       return res;
    }
    friend constexpr MLL operator + (MLL lhs, MLL rhs){
       MLL res = lhs;
       res += rhs;
       return res;
    }
    friend constexpr MLL operator - (MLL lhs, MLL rhs){
       MLL res = lhs;
       res -= rhs;
       return res;
    }
    friend constexpr MLL operator / (MLL lhs, MLL rhs){
       MLL res = lhs;
       res /= rhs;
       return res;
    }
    friend constexpr std::istream& operator >> (std::istream& is, MLL& a){
       ll v;
       is >> v;
       a = MLL(v);
       return is;
    }
    friend constexpr std::ostream& operator << (std::ostream& os, MLL& a){
       return os << a.val();
    }
    friend constexpr bool operator == (MLL lhs, MLL rhs){
       return lhs.val() == rhs.val();
    }
    friend constexpr bool operator != (MLL lhs, MLL rhs){
       return lhs.val() != rhs.val();
    }
};

const ll mod = 1e9 + 7;
using Z = MLL<mod>;

struct Comb {
	int n;
	std::vector<Z> _fac;
	std::vector<Z> _invfac;
	std::vector<Z> _inv;

	Comb() : n{0}, _fac{1}, _invfac{1}, _inv{0} {}
	Comb(int n) : Comb() {
		init(n);
	}

	void init(int m) {
		m = std::min(1ll * m, Z::getMod() - 1);
		if (m <= n) return; //已经处理完了需要的长度
		_fac.resize(m + 1);
		_invfac.resize(m + 1);
		_inv.resize(m + 1);

		for (int i = n + 1; i <= m; i++) {
			_fac[i] = _fac[i - 1] * i;
		}
		_invfac[m] = _fac[m].inv();
		for (int i = m; i > n; i--) { //线性递推逆元和阶乘逆元
			_invfac[i - 1] = _invfac[i] * i;
			_inv[i] = _invfac[i] * _fac[i - 1];
		}
		n = m; //新的长度
	}

	Z fac(int m) {
		if (m > n) init(2 * m);
		return _fac[m];
	}
	Z invfac(int m) {
		if (m > n) init(2 * m);
		return _invfac[m];
	}
	Z inv(int m) {
		if (m > n) init(2 * m);
		return _inv[m];
	}
	Z binom(int n, int m) { //二项式系数
		if (n < m || m < 0) return 0;
		return fac(n) * invfac(m) * invfac(n - m);
	}
} comb;

const int N = 300050;

int fen[N]; //树状数组
std::vector<int> g[N];
Z k = 1; //dfs序数量
Z cnt = 0;
Z sum = 0;
int n, root;
int sz[N]; //子树大小

int query(int p){
    int res = 0;
    while(p > 0){
        res += fen[p];
        p -= lowbit(p);
    }
    return res;
}

void update(int p, int d){
   while(p <= n){
      fen[p] += d;
      p += lowbit(p);
   }
}
void dfs0(int u, int fa){
	cnt += query(n) - query(u);
	update(u, 1); //进入这个点，加上影响
	int num = (g[u].size() - 1); //儿子数，减去父亲那条边
	if(u == root) ++num; //根节点没有父亲
	if(num > 0) k *= comb.fac(num); //排除叶子节点
	sz[u] = 1;
	Z s = 0; //子树大小前缀和
	for(auto v : g[u])
		if(v ^ fa){
			dfs0(v, u);
			sz[u] += sz[v];
			sum += sz[v] * s;
			s += sz[v];
		}
	update(u, -1); //离开这个点，删去影响
}

int main(){
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    std::cin.tie(nullptr);
    std::cout.tie(nullptr);
    std::cin >> n >> root;
    fore(i, 1, n){
        int u, v;
        std::cin >> u >> v;
        g[u].push_back(v);
        g[v].push_back(u);
    }
    dfs0(root, 0);
	Z ans = k * cnt + k * sum / 2;
	std::cout << ans;
    return 0;
}