Leetcode二十三题:合并K个升序链表【22/1000 python】

“合并K个升序链表”,这是一道中等难度的题目,经常出现在编程面试中。以下是该问题的详细描述、解题步骤、不同算法的比较、代码示例及其分析。

问题描述

给你一个链表数组,每个链表都已经按升序排列。

请你将所有链表合并到一个升序链表中,返回合并后的链表。

示例:

输入:lists = [[1,4,5],[1,3,4],[2,6]]

输出:[1,1,2,3,4,4,5,6]

解释:链表数组如下:

[
  1->4->5,
  1->3->4,
  2->6
]

将它们合并到一个有序链表中得到。

1->1->2->3->4->4->5->6

方法一:直接合并

解题步骤

  1. 初始化:
    • 如果链表数组为空,则返回None。
    • 如果链表数组中只有一个链表,则直接返回这个链表。
  2. 逐对合并链表:
    • 初始化merged_list为lists[0],即从第一个链表开始。
    • 逐个遍历余下的链表,与merged_list进行合并,每次合并后更新merged_list。
  3. 合并两个链表的函数:
    • 创建一个哑结点dummy作为合并链表的起始节点。
    • 使用两个指针分别指向两个链表的头部,比较指针所指节点的值,将较小值节点连接到结果链表上,然后移动该指针到下一个节点。
    • 如果某一链表遍历完毕,将另一链表的剩余部分直接连接到结果链表的尾部。
    • 返回哑结点的下一个节点,即合并后链表的头部。
  4. 完成合并:
    • 继续遍历并合并剩余的链表,直至所有链表均合并完成。

代码示例

class ListNode:
    def __init__(self, val=0, next=None):
        self.val = val
        self.next = next

def mergeTwoLists(l1: ListNode, l2: ListNode) -> ListNode:
    dummy = ListNode(0)
    current = dummy
    
    while l1 and l2:
        if l1.val < l2.val:
            current.next = l1
            l1 = l1.next
        else:
            current.next = l2
            l2 = l2.next
        current = current.next
    
    # Attach the remaining part of l1 or l2
    current.next = l1 if l1 is not None else l2
    return dummy.next

def mergeKLists(lists: List[Optional[ListNode]]) -> Optional[ListNode]:
    if not lists:
        return None
    if len(lists) == 1:
        return lists[0]
    
    merged_list = lists[0]
    for i in range(1, len(lists)):
        merged_list = mergeTwoLists(merged_list, lists[i])
    
    return merged_list

性能分析

时间复杂度:对于k个链表的情况,直接合并的时间复杂度是O(kN),其中N是链表中的节点总数。这是因为每次合并操作需要遍历涉及的两个链表的长度,而链表长度随着合并次数增加而增长。
空间复杂度:O(1),不计入输入和输出占用的空间,合并过程中只使用了常数额外空间。

结论

直接合并是一个简单直观的方法,适合链表数量较少或对时间复杂度要求不是非常严格的情况。然而,对于大量链表的合并,使用最小堆或分治法(如两两合并)可能会更高效。

方法二:使用最小堆

解题步骤

  1. 初始化最小堆
    • 创建一个空的最小堆(优先队列)来存储链表节点,堆中的元素按节点的值排序。
    • 遍历所有链表,将每个链表的头节点加入最小堆中。
  2. 构建结果链表
    • 创建一个哑结点(dummy node)作为结果链表的头部,这样可以方便地添加新节点。
    • 使用一个指针current跟踪结果链表的最后一个节点。
  3. 遍历并合并
    • 当最小堆不为空时,执行以下操作:
    • 从堆中弹出最小元素(当前最小节点)。
    • 将current的next指针指向这个最小节点。
    • 移动current指针到最小节点。
    • 如果这个最小节点有后继节点,则将后继节点加入最小堆中。
  4. 完成合并
    • 当最小堆为空时,所有链表的节点都已链接到结果链表中。
    • 返回哑结点的next,即合并后链表的头部。

代码示例

import heapq

class ListNode:
    def __init__(self, val=0, next=None):
        self.val = val
        self.next = next

def mergeKLists(lists):
    if not lists:
        return None

    # Create a heap and a dummy node to start the merged list
    heap = []
    dummy = ListNode(0)
    current = dummy

    # Initial population of the heap with the first node of each list, if available
    for i, node in enumerate(lists):
        if node:
            heapq.heappush(heap, (node.val, i, node))

    # Iterate over the heap and build the merged list
    while heap:
        val, idx, node = heapq.heappop(heap)
        current.next = node
        current = current.next
        if node.next:
            heapq.heappush(heap, (node.next.val, idx, node.next))

    return dummy.next

性能分析

时间复杂度:每个节点被处理一次,而且每次处理涉及的时间复杂度为O(log k),因此总的时间复杂度是O(Nlogk),其中是所有链表中元素的总数,是链表的数量。
空间复杂度:最小堆中最多存储个元素,因此空间复杂度是O(k)。

结论

使用最小堆的方法在合并多个链表时非常有效,尤其是当链表数量较多时。这种方法的时间复杂度相对较低,是因为它能快速地找到当前最小的节点并将其加入到结果链表中,而空间复杂度则主要由堆的大小决定。这使得最小堆方法在处理大规模数据时表现出色。

方法三:分治合并

解题步骤

  1. 递归分治函数定义
    • 创建一个函数mergeKLists,如果列表为空或长度为1,直接返回。
    • 如果列表长度大于1,将链表列表分成两半,分别对这两半递归调用mergeKLists。
  2. 合并两个链表的函数
    • 创建另一个辅助函数mergeTwoLists用于合并两个链表。这个函数将两个链表头作为输入,合并后返回新链表的头。
  3. 执行分治合并
    • 在mergeKLists中,通过递归地将链表数组拆分至只剩单个链表,然后开始合并。
    • 使用mergeTwoLists逐对合并链表,直至整个数组合并为一个链表。
  4. 返回结果
    • 递归完全执行完毕后,返回合并后的链表头部。

代码示例

class ListNode:
    def __init__(self, val=0, next=None):
        self.val = val
        self.next = next

def mergeTwoLists(l1: ListNode, l2: ListNode) -> ListNode:
    if not l1 or not l2:
        return l1 or l2
    dummy = ListNode(0)
    current = dummy
    while l1 and l2:
        if l1.val < l2.val:
            current.next = l1
            l1 = l1.next
        else:
            current.next = l2
            l2 = l2.next
        current = current.next
    current.next = l1 or l2
    return dummy.next

def mergeKLists(lists: List[ListNode]) -> ListNode:
    if not lists:
        return None
    if len(lists) == 1:
        return lists[0]
    mid = len(lists) // 2
    left = mergeKLists(lists[:mid])
    right = mergeKLists(lists[mid:])
    return mergeTwoLists(left, right)

性能分析

时间复杂度
• 每次合并操作需要线性时间,即O(n),其中n是参与合并的两个链表的总节点数。
• 通过每次递归减半链表数组的长度,整体上每层递归需要O(N)时间,其中N是所有链表中元素的总数。
• 递归的深度是O(log k),因此总的时间复杂度是O(N logk)。
空间复杂度
• 递归调用栈的深度为O(logk),因此空间复杂度为O(logk)。

结论

分治合并是解决合并多个链表的问题中非常有效的方法,尤其适合处理大量链表的情况。它的时间复杂度与使用最小堆的方法相同,但通常在实际应用中由于常数因子较小而表现更优。此外,分治法的代码结构清晰,易于理解和实现,使其成为面试和实际工程中的常用策略。

总结

在这里插入图片描述
合并 K 个升序链表可以通过多种算法实现,包括直接合并、使用最小堆和分治合并。在面试中,根据具体情况选择最适合的方法。其中,使用最小堆和分治合并的方法因其较优的时间复杂度通常更受青睐。这些方法不仅展示了数据结构的有效使用,也体现了分治策略在实际问题中的应用。

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