本文将基于PyTorch源码重新审视MultiheadAttention与Transformer。事实上，早在一年前博主就已经分别介绍了两者：各种注意力机制的PyTorch实现、从零开始手写一个Transformer，但当时的实现大部分是基于d2l教程的，这次将基于PyTorch源码重新实现一遍。

1. MultiheadAttention

1.1 思路

回顾多头注意力，其公式如下：

$$\begin{gathered} \text{MHA}(Q,K,V)=\text{Concat}({\text{head}}_1,\cdots ,{\text{head}}_h)W^O \\ {\text{head}}_i=\text{Attn}(Q{W}_i^Q,K{W}_i^K,V{W}_i^V) \end{gathered}$$

其中 $W_i^Q\in {\mathbb{R}}^{d_{model}\times d_k}$，$W_i^K\in {\mathbb{R}}^{d_{model}\times d_k}$，$W_i^V\in {\mathbb{R}}^{d_{model}\times d_v}$，$W^O\in {\mathbb{R}}^{h{d}_v\times d_{model}}$，且 $d_k=d_v=d_{model}/h$。

如果记 $d_{head}=d_{model}/h$，则 $W_i^Q,W_i^K,W_i^V$ 的形状均为 $(d_{model},d_{head})$，$W^O$ 的形状为 $(d_{model},d_{model})$。

先不考虑batch和mask的情形，在只有一个头的情况下（$h=1$），MHA的计算方式为

class MHA(nn.Module):
    def __init__(self, d_model):
        super().__init__()
        self.w_q = nn.Parameter(torch.empty(d_model, d_model))
        self.w_k = nn.Parameter(torch.empty(d_model, d_model))
        self.w_v = nn.Parameter(torch.empty(d_model, d_model))
        self.w_o = nn.Parameter(torch.empty(d_model, d_model))

        self._reset_parameters()

    def _reset_parameters(self):
        for p in self.parameters():
            if p.dim() > 1:
                nn.init.xavier_uniform_(p)

    def forward(self, query, key, value):
        """
        Args:
            query: (n, d_model)，n是query的个数，m是key-value的个数
            key: (m, d_model)
            value: (m, d_model)
        """
        q = query @ self.w_q
        k = key @ self.w_k
        v = value @ self.w_v

        attn_logits = q @ k.transpose(0, 1) / math.sqrt(q.size(1))  # attn_logits: (n, m)
        attn_probs = F.softmax(attn_logits, dim=-1)
        attn_output = attn_probs @ v  # attn_output: (n, d_model)
        return attn_output, attn_probs

现在考虑 $h=2$ 的情形，此时一共需要 $3\cdot 2+1=7$ 个参数矩阵

class MHA(nn.Module):
    def __init__(self, d_model):
        super().__init__()
        self.w_q_1 = nn.Parameter(torch.empty(d_model, d_model // 2))
        self.w_k_1 = nn.Parameter(torch.empty(d_model, d_model // 2))
        self.w_v_1 = nn.Parameter(torch.empty(d_model, d_model // 2))

        self.w_q_2 = nn.Parameter(torch.empty(d_model, d_model // 2))
        self.w_k_2 = nn.Parameter(torch.empty(d_model, d_model // 2))
        self.w_v_2 = nn.Parameter(torch.empty(d_model, d_model // 2))

        self.w_o = nn.Parameter(torch.empty(d_model, d_model))

        self._reset_parameters()

    def _reset_parameters(self):
        for p in self.parameters():
            if p.dim() > 1:
                nn.init.xavier_uniform_(p)

    def forward(self, query, key, value):
        """
        Args:
            query: (n, d_model)，n是query的个数，m是key-value的个数
            key: (m, d_model)
            value: (m, d_model)
        """
        q_1 = query @ self.w_q_1
        k_1 = key @ self.w_k_1
        v_1 = value @ self.w_v_1

        q_2 = query @ self.w_q_2
        k_2 = key @ self.w_k_2
        v_2 = value @ self.w_v_2

        attn_logits_1 = q_1 @ k_1.transpose(0, 1) / math.sqrt(q_1.size(1))
        attn_probs_1 = F.softmax(attn_logits_1, dim=-1)
        attn_output_1 = attn_probs_1 @ v_1

        attn_logits_2 = q_2 @ k_2.transpose(0, 1) / math.sqrt(q_2.size(1))
        attn_probs_2 = F.softmax(attn_logits_2, dim=-1)
        attn_output_2 = attn_probs_2 @ v_2

        attn_output = torch.cat([attn_output_1, attn_output_2], dim=-1) @ self.w_o  # attn_output: (n, d_model)
        attn_probs = torch.stack([attn_probs_1, attn_probs_2], dim=0)  # attn_probs: (2, n, m)，其中2是头数

        return attn_output, attn_probs

可以看到代码量已经增加了不少，如果扩展到 $h$ 个头的情形，则需要 $3h+1$ 个参数矩阵。手动去一个个声明显然不现实，因为 $h$ 是动态变化的，而用for循环创建又略显笨拙，有没有更简便的方法呢？

在上面的代码中，我们用小写 $q$ 来代表查询 $Q$ 经过投影后的结果（$k,v$ 同理），即

$$q_i=Q{W}_i^Q,i=1,2,\cdots ,h$$

其中 $Q$ 的形状为 $(n,d_{model})$，$q_i$ 的形状为 $(n,d_{head})$，且有

$$hea{d}_i=\text{softmax}\left(\frac{q_i{k}_i^T}{\sqrt{d_{head}}}\right)v_i$$

注意到

$$[q_1,q_2,\cdots ,q_h]=Q[W_1^Q,W_2^Q,\cdots ,W_h^Q]\text{\hspace{1em}(1)}$$

如果记 $q\triangleq [q_1,q_2,\cdots ,q_h]$，$W^Q\triangleq [W_1^Q,W_2^Q,\cdots ,W_h^Q]$，则 $W^Q$ 的形状为 $(d_{model},d_{model})$，与 $h$ 无关，$q$ 的形状为 $(n,d_{model})$。这样一来，我们就不需要一个个声明 $W_i^Q$ 了，并且可以一次性存储所有的 $q_i$。

要计算 $hea{d}_1$，我们需要能够从 $q$ 中取出 $q_1$（$k,v$ 同理），所以我们期望 $q$ 的形状是 $(h,n,d_{head})$，从而 $q[1]$ 就是 $q_1$（这里下标从 $1$ 开始）。

📝 当然也可以是 $(n,h,d_{head})$ 等形状，但必须要确保形状里含且只含这三个数字。之所以把 $h$ 放在第一个维度是为了方便索引和后续计算。

同理可知 $k,v$ 的形状均为 $(h,m,d_{head})$。我们可以视 $h$ 所在的维度为批量维，从而可以执行批量乘法 torch.bmm 来一次性算出 $h$ 个头的结果。

q = torch.randn(h, n, d_head)
k = torch.randn(h, m, d_head)
v = torch.randn(h, m, d_head)

# @和torch.bmm的效果相同，但写法更简洁
attn_logits = q @ k.transpose(1, 2) / math.sqrt(q.size(2))
attn_probs = F.softmax(attn_logits, dim=-1)
attn_output = attn_probs @ v  # attn_output: (h, n, d_head)

$h$ 个头的结果存储在形状为 $(h,n,d_{head})$ 的张量中，那我们如何把这 $h$ 个结果concat在一起呢？注意到我们实际上是将 $h$ 个形状为 $(n,d_{head})$ 的张量横向concat为一个形状为 $(n,d_{model})$ 的张量，因此只需执行如下的形状变换：

$$(h,n,d_{head})\to (n,h,d_{head})\to (n,h\cdot d_{head})=(n,d_{model})\text{\hspace{1em}(2)}$$

n = attn_output.size(1)
attn_output = attn_output.transpose(0, 1).reshape(n, -1)

⚠️ 注意，切勿直接将 $(h,n,d_{head})$ reshape成 $(n,d_{model})$。

之前我们只讨论了 $q$ 的形状应当是 $(h,n,d_{head})$，但并没有讨论它是如何变换得来的。这是因为，$Q$ 在经过投影后得到的 $q$ 只具有 $(n,d_{model})$ 的形状，要进行形状变换，一种做法是对 $q$ 沿纵向切 $h$ 刀再堆叠起来，这样从直观上来看也比较符合公式 $(1)$

q = torch.randn(n, d_model)
q = torch.stack(torch.split(q, d_head, dim=-1), dim=0)

但由于 $W^Q$ 初始时是随机的，所以我们不需要严格按照公式 $(1)$ 那样操作，直接执行 $(2)$ 的逆变换即可

$$(n,d_{model})=(n,h\cdot d_{head})\to (n,h,d_{head})\to (h,n,d_{head})$$

现考虑有batch的情形，设批量大小为 $b$，则 $Q$ 的形状为 $(b,n,d_{model})$ 或 $(n,b,d_{model})$，具体是哪一个要看 batch_first 是否为 True。接下来均假设 batch_first = False。

在以上的假设下，$q$ 的形状也为 $(n,b,d_{model})$，我们将 $b$ 和 $h$ 看成同一维度（都是批量维），从而 $(2)$ 式改写为

$$(n,b,d_{model})\to (n,b,h,d_{head})\to (n,b\cdot h,d_{head})\to (b\cdot h,n,d_{head})$$

关于 key_padding_mask 和 attn_mask 这里不再介绍，如有需要可阅读博主之前的文章，这里主要讲解如何合并两种mask。

前者的形状为 $(b,m)$，用来mask掉key中的 [PAD]，防止query注意到它。而后者的形状可以是 $(n,m)$ 也可以是 $(b\cdot h,n,m)$。在实际合并两种mask的时候，我们均需要按照 $(b\cdot h,n,m)$ 这个形状去计算。也就是说，如果是 key_padding_mask，我们需要进行形状变换 $(b,m)\to (b,1,1,m)\to (b,h,1,m)\to (b\cdot h,1,m)$；如果是 attn_mask，我们需要进行形状变换 $(n,m)\to (1,n,m)$。

1.2 源码

本节将遵循以下记号：

记号	说明
$b$	batch size
$h$	num heads
$d$	head dim
$n$	num queries
$m$	num key-value pairs

首先实现一个MHA的基类：

class MultiheadAttentionBase_(nn.Module):
    def __init__(self, embed_dim, num_heads, dropout=0., bias=True):
        super().__init__()
        self.embed_dim = embed_dim
        self.num_heads = num_heads
        self.dropout = dropout
        self.head_dim = embed_dim // num_heads
        assert self.head_dim * num_heads == embed_dim

        self.in_proj_weight = nn.Parameter(torch.empty(3 * embed_dim, embed_dim))
        if bias:
            self.in_proj_bias = nn.Parameter(torch.empty(3 * embed_dim))
        else:
            self.register_parameter('in_proj_bias', None)
        self.out_proj = nn.Linear(embed_dim, embed_dim, bias=bias)

        self._reset_parameters()

    def _reset_parameters(self):
        nn.init.xavier_uniform_(self.in_proj_weight)
        if self.in_proj_bias is not None:
            nn.init.constant_(self.in_proj_bias, 0.)
            nn.init.constant_(self.out_proj.bias, 0.)

    def forward(
        self,
        query,
        key,
        value,
        key_padding_mask,
        attn_mask,
        need_weights=True,
    ):
        """
        Args:
            query: (n, b, h * d)
            key: (m, b, h * d)
            value: (m, b, h * d)
            key_padding_mask: (b, m), bool type
            attn_mask: (n, m) or (b * h, n, m), bool type

        Returns:
            attn_output: (n, b, h * d)
            attn_weights: (b, h, n, m)
        """
        w_q, w_k, w_v = self.in_proj_weight.chunk(3)
        if self.in_proj_bias is not None:
            b_q, b_k, b_v = self.in_proj_bias.chunk(3)
        else:
            b_q = b_k = b_v = None

        q = F.linear(query, w_q, b_q)
        k = F.linear(key, w_k, b_k)
        v = F.linear(value, w_v, b_v)

        b, h, d = q.size(1), self.num_heads, self.head_dim
        q, k, v = map(lambda x: x.reshape(-1, b, h, d), [q, k, v])

        attn_mask = self.merge_masks(key_padding_mask, attn_mask, q)

        attn_output, attn_weights = self.attention(q, k, v, attn_mask, out_proj=self.out_proj, dropout=self.dropout, training=self.training)

        if not need_weights:
            attn_weights = None

        return attn_output, attn_weights

    def merge_masks(self, key_padding_mask, attn_mask, q):
        """
        Args:
            key_padding_mask: (b, m), bool type
            attn_mask: (n, m) or (b * h, n, m), bool type
            q: only used to confirm the dtype of attn_mask

        Returns:
            attn_mask: (b * h, n, m), float type
        """
        assert key_padding_mask is not None and key_padding_mask.dtype == torch.bool
        b, m = key_padding_mask.size()
        key_padding_mask = key_padding_mask.view(b, 1, 1, m).expand(-1, self.num_heads, -1, -1).reshape(b * self.num_heads, 1, m)

        if attn_mask is not None:
            assert attn_mask.dtype == torch.bool
            if attn_mask.dim() == 2:
                attn_mask = attn_mask.unsqueeze(0)
            attn_mask = attn_mask.logical_or(key_padding_mask)
        else:
            attn_mask = key_padding_mask

        attn_mask = torch.zeros_like(attn_mask, dtype=q.dtype).masked_fill_(attn_mask, -1e28)

        return attn_mask

    def attention(self, q, k, v, attn_mask, out_proj, dropout, training):
        """
        Args:
            q: (n, b, h, d)
            k: (m, b, h, d)
            v: (m, b, h, d)
            attn_mask: (b * h, n, m), float type
            out_proj: nn.Linear(h * d, h * d)

        Returns:
            attn_output: (n, b, h * d), is the result of concating h heads.
            attn_weights: (b, h, n, m)
        """
        raise NotImplementedError

接下来，只需要重写 attention 方法就可以实现普通版的MHA了

class MultiheadAttention(MultiheadAttentionBase_):
    def attention(self, q, k, v, attn_mask, out_proj, dropout, training):
        if not training:
            dropout = 0
        n, b, h, d = q.size()
        q, k, v = map(lambda x: x.reshape(-1, b * h, d).transpose(0, 1), [q, k, v])
        attn_logits = q @ k.transpose(-2, -1) / math.sqrt(d) + attn_mask
        attn_probs = F.softmax(attn_logits, dim=-1)
        attn_weights = F.dropout(attn_probs, p=dropout)
        attn_output = attn_weights @ v
        attn_output = attn_output.transpose(0, 1).reshape(n, b, h * d)
        attn_output = out_proj(attn_output)
        return attn_output, attn_weights

1.3 极简版MHA（面试用）

不少面试会让现场手写MHA，这里提供了一份模版，略去了很多细节。

相比原版，极简版做了如下改动：

• 略去了参数初始化。
• 去掉了mask

class MultiheadAttention(nn.Module):
    def __init__(self, embed_dim, num_heads, dropout=0., bias=True):
        super().__init__()
        self.embed_dim = embed_dim
        self.num_heads = num_heads
        self.dropout = nn.Dropout(dropout)
        self.head_dim = embed_dim // num_heads
        assert self.head_dim * num_heads == embed_dim

        self.in_proj_weight = nn.Parameter(torch.empty(3 * embed_dim, embed_dim))
        if bias:
            self.in_proj_bias = nn.Parameter(torch.empty(3 * embed_dim))
        else:
            self.register_parameter('in_proj_bias', None)
        self.out_proj = nn.Linear(embed_dim, embed_dim, bias=bias)

    def forward(self, query, key, value):
        """
        Args:
            query: (n, b, h * d)
            key: (m, b, h * d)
            value: (m, b, h * d)
        """
        w_q, w_k, w_v = self.in_proj_weight.chunk(3)
        if self.in_proj_bias is not None:
            b_q, b_k, b_v = self.in_proj_bias.chunk(3)
        else:
            b_q = b_k = b_v = None

        q, k, v = F.linear(query, w_q, b_q), F.linear(key, w_k, b_k), F.linear(value, w_v, b_v)

        b, h, d = q.size(1), self.num_heads, self.head_dim
        q, k, v = map(lambda x: x.reshape(-1, b * h, d).transpose(0, 1), [q, k, v])

        attn_logits = q @ k.transpose(-2, -1) / math.sqrt(d)
        attn_probs = F.softmax(attn_logits, dim=-1)
        attn_weights = self.dropout(attn_probs)

        attn_output = attn_weights @ v
        attn_output = attn_output.transpose(0, 1).reshape(-1, b, h * d)
        attn_output = self.out_proj(attn_output)

        return attn_output, attn_weights

注意，如果尝试直接输出的话，会得到一堆 nan，这是因为没有xavier初始化，需要 _reset_parameters() 一下。

具体需要哪种mask可根据面试官的要求去实现。

2. Transformer

接下来基于PyTorch官方的MHA来实现Transformer。

首先需要实现一个基础函数，它可以用来复制一个 Module N次。

def _get_clones(module, n):
    return nn.ModuleList([copy.deepcopy(module) for _ in range(n)])

EncoderLayer的实现

class TransformerEncoderLayer(nn.Module):
    def __init__(
        self,
        d_model,
        n_head,
        d_ffn,
        dropout=0.1,
        activation=F.relu,
        norm_first=False,
    ):
    	super().__init__()
        self.self_attn = nn.MultiheadAttention(embed_dim=d_model, num_heads=n_head, dropout=dropout)
        self.dropout1 = nn.Dropout(dropout)

        self.linear1 = nn.Linear(d_model, d_ffn)
        self.activation = activation
        self.dropout2 = nn.Dropout(dropout)
        self.linear2 = nn.Linear(d_ffn, d_model)
        self.dropout3 = nn.Dropout(dropout)

        self.norm1 = nn.LayerNorm(d_model)
        self.norm2 = nn.LayerNorm(d_model)
        self.norm_first = norm_first

    def forward(self, src, src_mask, src_key_padding_mask):
        x = src
        if self.norm_first:
            x = x + self._sa_block(self.norm1(x), src_mask, src_key_padding_mask)
            x = x + self._ff_block(self.norm2(x))
        else:
            x = self.norm1(x + self._sa_block(x, src_mask, src_key_padding_mask))
            x = self.norm2(x + self._ff_block(x))
        return x

    def _sa_block(self, x, attn_mask, key_padding_mask):
        x = self.self_attn(x, x, x, attn_mask=attn_mask, key_padding_mask=key_padding_mask, need_weights=False)[0]
        return self.dropout1(x)

    def _ff_block(self, x):
        x = self.linear2(self.dropout2(self.activation(self.linear1(x))))
        return self.dropout3(x)

这里的 norm_first 用来决定是Pre-LN还是Post-LN，如下图所示

DecoderLayer的实现

class TransformerDecoderLayer(nn.Module):
    def __init__(
        self,
        d_model,
        n_head,
        d_ffn,
        dropout=0.1,
        activation=F.relu,
        norm_first=False,
    ):
    	super().__init__()
        self.self_attn = nn.MultiheadAttention(embed_dim=d_model, num_heads=n_head, dropout=dropout)
        self.dropout1 = nn.Dropout(dropout)

        self.cross_attn = nn.MultiheadAttention(embed_dim=d_model, num_heads=n_head, dropout=dropout)
        self.dropout2 = nn.Dropout(dropout)

        self.linear1 = nn.Linear(d_model, d_ffn)
        self.activation = activation
        self.dropout3 = nn.Dropout(dropout)
        self.linear2 = nn.Linear(d_ffn, d_model)
        self.dropout4 = nn.Dropout(dropout)

        self.norm1 = nn.LayerNorm(d_model)
        self.norm2 = nn.LayerNorm(d_model)
        self.norm3 = nn.LayerNorm(d_model)
        self.norm_first = norm_first

    def forward(self, tgt, memory, tgt_mask, memory_mask, tgt_key_padding_mask, memory_key_padding_mask):
        x = tgt
        if self.norm_first:
            x = x + self._sa_block(self.norm1(x), tgt_mask, tgt_key_padding_mask)
            x = x + self._ca_block(self.norm2(x), memory, memory_mask, memory_key_padding_mask)
            x = x + self._ff_block(self.norm3(x))
        else:
            x = self.norm1(x + self._sa_block(x, tgt_mask, tgt_key_padding_mask))
            x = self.norm2(x + self._ca_block(x, memory, memory_mask, memory_key_padding_mask))
            x = self.norm3(x + self._ff_block(x))
        return x

    def _sa_block(self, x, attn_mask, key_padding_mask):
        x = self.self_attn(x, x, x, attn_mask=attn_mask, key_padding_mask=key_padding_mask, need_weights=False)[0]
        return self.dropout1(x)

    def _ca_block(self, x, mem, attn_mask, key_padding_mask):
        x = self.cross_attn(x, mem, mem, attn_mask=attn_mask, key_padding_mask=key_padding_mask, need_weights=False)[0]
        return self.dropout2(x)

    def _ff_block(self, x):
        x = self.linear2(self.dropout3(self.activation(self.linear1(x))))
        return self.dropout4(x)

根据EncoderLayer搭建Encoder。需要注意的是，PyTorch源码中还提供了 encoder_norm 这一参数，即决定是否在Encoder最后放一个LN。

class TransformerEncoder(nn.Module):
    def __init__(self, encoder_layer, num_layers, encoder_norm=None):
    	super().__init__()
        self.layers = _get_clones(encoder_layer, num_layers)
        self.num_layers = num_layers
        self.encoder_norm = encoder_norm

    def forward(self, src, src_mask, src_key_padding_mask):
        output = src
        for mod in self.layers:
            output = mod(output, src_mask, src_key_padding_mask)
        if self.encoder_norm is not None:
            output = self.encoder_norm(output)
        return output

DecoderLayer同理

class TransformerDecoder(nn.Module):
    def __init__(self, decoder_layer, num_layers, decoder_norm=None):
    	super().__init__()
        self.layers = _get_clones(decoder_layer, num_layers)
        self.num_layers = num_layers
        self.decoder_norm = decoder_norm

    def forward(self, tgt, memory, tgt_mask, memory_mask, tgt_key_padding_mask, memory_key_padding_mask):
        output = tgt
        for mod in self.layers:
            output = mod(output, memory, tgt_mask, memory_mask, tgt_key_padding_mask, memory_key_padding_mask)
        if self.decoder_norm is not None:
            output = self.decoder_norm(output)
        return output

PyTorch官方的Transformer默认添加 encoder_norm 和 decoder_norm，然而这对于Post-LN的情形，无疑是多余的，所以这里我们做个简单修改，即如果是Post-LN情形，就不在最后添加LN了。

class Transformer(nn.Module):
    def __init__(
        self,
        d_model=512,
        n_head=8,
        num_encoder_layers=6,
        num_decoder_layers=6,
        d_ffn=2048,
        dropout=0.1,
        activation=F.relu,
        norm_first=False,
    ):
        super().__init__()
        if norm_first:
            encoder_norm, decoder_norm = nn.LayerNorm(d_model), nn.LayerNorm(d_model)
        else:
            encoder_norm = decoder_norm = None

        encoder_layer = TransformerEncoderLayer(d_model, n_head, d_ffn, dropout, activation, norm_first)
        self.encoder = TransformerEncoder(encoder_layer, num_encoder_layers, encoder_norm)

        decoder_layer = TransformerDecoderLayer(d_model, n_head, d_ffn, dropout, activation, norm_first)
        self.decoder = TransformerDecoder(decoder_layer, num_decoder_layers, decoder_norm)

        self._reset_parameters()

    def _reset_parameters(self):
        for p in self.parameters():
            if p.dim() > 1:
                nn.init.xavier_uniform_(p)

    def forward(
        self,
        src,
        tgt,
        src_mask=None,
        tgt_mask=None,
        memory_mask=None,
        src_key_padding_mask=None,
        tgt_key_padding_mask=None,
        memory_key_padding_mask=None,
    ):
        memory = self.encoder(src, src_mask, src_key_padding_mask)
        output = self.decoder(tgt, memory, tgt_mask, memory_mask, tgt_key_padding_mask, memory_key_padding_mask)

        return output

截止到目前，我们实现的Transfomer并不是完整的，还缺少embedding层和Decoder后面的Linear层，这里只介绍前者，因为后者仅仅是简单的 nn.Linear(d_model, tgt_vocab_size)。

Transformer的embedding层分为token embedding和Positional Encoding，前者是可学习的 nn.Embedding，后者是固定的Sinusoidal编码。

PE的公式为

$$\begin{gathered} P[i,2j]=\sin \left(\frac{i}{10000^{2j/d_{model}}}\right) \\ P[i,2j+1]=\cos \left(\frac{i}{10000^{2j/d_{model}}}\right) \\ 0\le i<max\_len,0\le j<d_{model} \end{gathered}$$

class PositionalEncoding(nn.Module):
    def __init__(self, d_model, dropout=0.1, max_len=5000):
        super().__init__()
        self.dropout = nn.Dropout(dropout)

        position = torch.arange(max_len).unsqueeze(1)
        div_term = torch.exp(torch.arange(0, d_model, 2) * (-math.log(10000.0) / d_model))
        pe = torch.zeros(max_len, 1, d_model)  # 1是batch size维度
        pe[:, 0, 0::2] = torch.sin(position * div_term)
        pe[:, 0, 1::2] = torch.cos(position * div_term)

        self.register_buffer('pe', pe)

    def forward(self, x):
        x = x + self.pe[:x.size(0)]
        return self.dropout(x)

3. Q&A

1. MHA的参数量？FLOPs？时间复杂度？

只考虑自注意力情形。为简便起见，令 $h\triangleq d_{model}$。

MHA模块一共包含四个参数矩阵：$W^Q,W^K,W^V,W^O$，形状均为 $(h,h)$，因此weight部分的参数量是 $4\cdot h^2$。每个参数矩阵都会带有一个长度为 $h$ 的bias，因此总共的参数量为 $4h^2+4h$。

📝 注意FLOPs和FLOPS的含义不同。前者是floating point operations，指浮点运算数，可以理解为计算量，用来衡量模型/算法的复杂度；后者是floating point operations per second，指每秒浮点运算次数，可以理解为计算速度，用来衡量衡量硬件的性能。

在计算形状为 $(m,n)$ 和 $(n,k)$ 矩阵的乘积时，每计算一次内积都要执行 $n$ 次乘法和 $n$ 次加法，而最终输出矩阵的形状为 $(m,k)$，所以总共的浮点运算次数为 $(n+n)\cdot m\cdot k=2mnk$。

回到MHA，只考虑矩阵乘法：

• 首先会对形状为 $(l,b,h)$ 的embedding进行投影，执行的矩阵乘法为 $(l,b,h)\times (h,h)\to (l,b,h)$，这一步的计算量为 $2lb{h}^2$。由于会分别投影到 $Q,K,V$ 三个矩阵，因此这一步的总计算量为 $6lb{h}^2$。
• 接下来是 $Q{K}^T$ 相乘，执行的矩阵乘法为 $(b\cdot nh,l,hd)\times (b\cdot nh,hd,l)\to (b\cdot nh,l,l)$，其中 $nh$ 代表 num_heads，$hd$ 代表 head_dim。计算量为 $2l^{2}bh$。
• 然后是对 $V$ 进行加权，执行的矩阵乘法为 $(b\cdot nh,l,l)\times (b\cdot nh,l,hd)\to (b\cdot nh,l,hd)$，计算量为 $2l^{2}bh$。
• 最后的投影中，执行的矩阵乘法为 $(l,b,h)\times (h,h)\to (l,b,h)$，计算量为 $2lb{h}^2$。

由上述步骤可知，MHA的FLOPs约为 $6lb{h}^2+2l^{2}bh+2l^{2}bh+2lb{h}^2=4lbh(2h+l)$。

再来看MHA的复杂度，依然只考虑矩阵乘法。在计算形状为 $(m,n)$ 和 $(n,k)$ 矩阵的乘积时，计算内积的时间复杂度为 $O(n)$，而输出矩阵的形状为 $(m,k)$，填满这个矩阵所需要的时间为 $O(mk)$，所以总时间复杂度为 $O(mnk)$。

可以发现一个不严谨的等式（仅针对矩阵乘法场景）：

$$时间复杂度=O\left(\frac{\text{FLOPs}}{2}\right)$$

由此可得到MHA的时间复杂度为 $O(2lbh(2h+l))=O(lb{h}^2+l^{2}bh)$。特别地，当 $b=1$ 时，MHA的时间复杂度退化为 $O(l{h}^2+l^{2}h)$。

注意，MHA和SA（Self-Attention）的时间复杂度不同，SA的复杂度为 $O(l^{2}h)$。对于Restricted SA，注意力矩阵的每一行仅有 $r$ 个元素需要计算，因此总共需要 $rl$ 个元素需要计算，而计算每个元素的时间为 $O(h)$，所以总时间为 $O(rlh)$。

2. Transformer的总参数量？模型占用显存？

此前已经计算出MHA部分的参数量为 $4h^2+4h$，接下来看FFN部分。FFN有两个参数矩阵，形状分别为 $(h,4h)$ 和 $(4h,h)$，伴随它们的是两个bias，分别为 $(4h,)$ 和 $(h,)$，因此FFN部分的总参数量为 $8h^2+5h$。

事实上，LayerNorm模块也有参数量，LN含有两个参数 $\gamma$ 和 $\beta$，这两个参数均以形状为 $(h,)$ 的张量进行存储，所以LN总共的参数为 $2h$。

截至目前，我们可以做一个小总结：

模块	参数量
MHA	$4h^2+4h$
FFN	$8h^2+5h$
LN	$2h$

下面假设 num_encoder_layers 和 num_decoder_layers 均为 $n$。

一个EncoderLayer包含一个MHA，一个FFN和两个LN，所以一个EncoderLayer的参数量为 $4h^2+4h+8h^2+5h+2h\cdot 2=12h^2+13h$，整个Encoder的参数量为 $n(12h^2+13h)$。

一个DecoderLayer包含两个MHA，一个FFN和三个LN，所以一个DecoderLayer的参数量为 $8h^2+8h+8h^2+5h+6h=16h^2+19h$，整个Decoder的参数量为 $n(16h^2+19h)$。

由于PyTorch官方实现的Transformer还会默认增加 encoder_norm 和 decoder_norm，所以算上这两个LN，我们可以得到Transformer核心架构的参数量为 $n(12h^2+13h)+n(16h^2+19h)+2h\cdot 2=n(28h^2+32h)+4h$。将 $n=6,h=512$ 代入可得 $6(28\cdot 512^2+32\cdot 512)+512\cdot 4=44140544$，该结果与下述代码的输出相同，这也验证了我们计算的正确性。

model = torch.nn.Transformer()
print(sum([p.numel() for p in model.parameters()]))

需要注意，上面提到了核心架构四个字，这是因为截至目前我们并没有计算出完整的Transformer的参数量。完整的Transformer除了核心架构外还应当包含Token Embedding和Decoder最后的线性层（即应当包含所有可学习的参数）。

假设Encoder和Decoder共用一个词表，且词表大小为 $V$，那么完整的Transformer的总参数量应当为

$$\underset{核心架构}{\underbrace{n(28h^2+32h)+4h}}+\underset{词嵌入矩阵}{\underbrace{V\cdot h}}+\underset{输出层}{\underbrace{h\cdot V}}=n(28h^2+32h)+(4+2V)h$$

由于 $V$ 要根据具体的数据集来确定，所以接下来我们只关心核心架构占用的显存。

PyTorch的Transformer的参数均以float32进行存储，一个浮点数占 $4$ 个字节，那么核心架构总共占 $44140544\cdot 4/1024^2\approx 168$ MB。由此可以看出，占用显存的大头其实还是数据，模型本身并不会占用太多。

3. Transformer的FLOPs？

此前已经得出MHA的FLOPs为 $4lbh(2h+l)$，接下来看FFN部分，我们依然只关心矩阵乘法。

显而易见，FFN部分会经历两次矩阵乘法：

• 第一次：$(l,b,h)\times (h,4h)\to (l,b,4h)$，这一步的计算量为 $8lb{h}^2$；
• 第二次：$(l,b,4h)\times (4h,h)\to (l,b,h)$，这一步的计算量为 $8lb{h}^2$；

LN部分不涉及矩阵乘法，Embedding部分仅仅是查表，也不涉及矩阵乘法，最后的输出层（计算logits）会涉及，即 $(l,b,h)\times (h,V)\to (l,b,V)$，计算量 $2lbhV$。

截至目前，我们可以做一个小总结：

模块	FLOPs
MHA	$4lbh(2h+l)$
FFN	$16lb{h}^2$
Output	$2lbhV$

由此可知，Encoder部分的FLOPs为 $n(4lbh(2h+l)+16lb{h}^2)=4nlbh(6h+l)$，Decoder部分的FLOPs为 $n(8lbh(2h+l)+16lb{h}^2)=8nlbh(4h+l)$，所以整个Transformer的FLOPs为

$$4nlbh(6h+l)+8nlbh(4h+l)+2lbhV=4nlbh(14h+3l)+2lbhV$$

需要注意的是，虽然Embedding部分没有FLOPs，但仍可以计算它的时间复杂度。初始时，数据的形状为 $(b,l)$，其中的每个元素都对应了token在vocab中的索引，通过该索引查表的时间复杂度为 $O(1)$，因此嵌入过程 $(b,l)\to (b,l,h)$ 的时间复杂度为 $O(lb)$。

同理可计算LN的时间复杂度。在对形状为 $(l,b,h)$ 的张量进行LN时，LN会首先计算最后一个维度上的均值和方差，再对最后一个维度进行归一化处理，下面是一个简易版的LN

def layer_norm(x):
    """
    Args:
        x: (l, b, h)
    """
    x_mean = torch.mean(x, dim=-1, keepdim=True)
    x_std = torch.std(x, dim=-1, unbiased=False, keepdim=True)  # 这里要使用有偏标准差
    return (x - x_mean) / x_std

显然LN的时间复杂度为 $O(lbh)$。

4. 参数量、FLOPs、时间复杂度汇总

模块	参数量	FLOPs（只考虑矩阵乘法）	时间复杂度（不考虑批量）
MHA	$4h^2+4h$	$4lbh(2h+l)$	$O(l{h}^2+l^{2}h)$
FFN	$8h^2+5h$	$16lb{h}^2$	$O(l{h}^2)$
LN	$2h$	——	$O(lh)$
Encoder	$n(12h^2+13h)$	$4nlbh(6h+l)$	$O(n(l{h}^2+l^{2}h))$
Decoder	$n(16h^2+19h)$	$8nlbh(4h+l)$	$O(n(l{h}^2+l^{2}h))$
Transformer-Core	$n(28h^2+32h)+4h$	$4nlbh(14h+3l)$	$O(n(l{h}^2+l^{2}h))$
Embedding	$Vh$	——	$O(l)$
Output	$Vh$	$2lbhV$	$O(lhV)$
Transformer-Complete	$n(28h^2+32h)+(4+2V)h$	$4nlbh(14h+3l)+2lbhV$	$O(n(l{h}^2+l^{2}h)+lhV)$

据此，可以总结出：

• 参数量方面： FFN > MHA > LN，且单个FFN的参数量约为单个MHA的两倍。Decoder参数量略大于Encoder的参数量。 在整个Transformer中，FFN占 $57.1\%$，MHA占 $42.8\%$，LN占 $0.1\%$。
• 耗时方面： MHA > FFN > LN，Transformer的计算主要都花在了MHA上。
• 计算量方面： 在整个Transformer的FLOPs中，当 $h<\frac{3}{2}l$ 时，MHA的占比超过FFN，否则相反。

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[1] https://zhuanlan.zhihu.com/p/264749298
[2] https://zhuanlan.zhihu.com/p/624740065