文章目录
- 回溯
- 1.回溯算法理论基础
- 1.1什么是回溯法？
- 1.2回溯法的效率
- 1.3回溯法解决的问题
- 1.4如何理解回溯法？
- 1.5回溯法模板
- 2.组合
- 2.1问题
- 2.2解法一：暴力解法（循环次数不确定）
- 2.3解法二：回溯
- 2.3.1回溯思路
- （1）回溯函数模板返回值以及参数
- （2）回溯函数终止条件
- （3）回溯搜索的遍历过程
- 2.3.2代码实现
- 2.3.3剪枝操作
- 3.组合总和 |||
- 3.1问题
- 3.2解法：回溯
- 3.2.1回溯思路
- （1）函数返回值以及参数
- （2）终止条件
- （3）遍历过程
- 3.2.2代码实现
- 3.2.3剪枝操作
回溯
1.回溯算法理论基础
1.1什么是回溯法？
- 回溯法也可以叫做回溯搜索法，它是一种搜索的方式。
- 回溯是递归的副产品，只要有递归就会有回溯。
1.2回溯法的效率
- 虽然回溯法很难，很不好理解，但是回溯法并不是什么高效的算法。
- 因为回溯的本质是穷举，穷举所有可能，然后选出我们想要的答案，如果想让回溯法高效一些，可以加一些剪枝的操作，但也改不了回溯法就是穷举的本质。
1.3回溯法解决的问题
- 组合问题：N个数里面按一定规则找出k个数的集合
- 排列问题：N个数按一定规则全排列，有几种排列方式
- 切割问题：一个字符串按一定规则有几种切割方式
- 子集问题：一个N个数的集合里有多少符合条件的子集
- 棋盘问题：N皇后，解数独等等
补充：组合是不强调元素顺序的，排列是强调元素顺序。
例如：{1, 2} 和 {2, 1} 在组合上，就是一个集合，因为不强调顺序，而要是排列的话，{1, 2} 和 {2, 1} 就是两个集合了。
1.4如何理解回溯法？
- 回溯法解决的问题都可以抽象为树形结构
- 因为回溯法解决的都是在集合中递归查找子集，集合的大小就构成了树的宽度，递归的深度就构成了树的深度。
- 递归就要有终止条件，所以必然是一棵高度有限的树（N叉树）。
1.5回溯法模板
-
回溯三部曲：
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回溯函数模板返回值以及参数（回溯算法中函数返回值一般为void）
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回溯函数终止条件：（搜到叶子节点了，也就找到了满足条件的一条答案，把这个答案存放起来，并结束本层递归。）
if (终止条件) { 存放结果; return; } -
回溯搜索的遍历过程（回溯法一般是在集合中递归搜索，集合的大小构成了树的宽度，递归的深度构成的树的深度）
for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) { 处理节点; backtracking(路径，选择列表); // 递归 回溯，撤销处理结果 }- for循环就是遍历集合区间，可以理解一个节点有多少个孩子，这个for循环就执行多少次。
- 大家可以从图中看出for循环可以理解是横向遍历，backtracking（递归）就是纵向遍历，这样就把这棵树全遍历完了，一般来说，搜索叶子节点就是找的其中一个结果了。
-
-
回溯算法模板框架：
void backtracking(参数) { if (终止条件) { 存放结果; return; } for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) { 处理节点; backtracking(路径，选择列表); // 递归 回溯，撤销处理结果 } }
2.组合
2.1问题
给定两个整数 n 和 k，返回范围 [1, n] 中所有可能的 k 个数的组合。
你可以按 任何顺序 返回答案。
- 示例一：
输入：n = 4, k = 2
输出：
[
[2,4],
[3,4],
[2,3],
[1,2],
[1,3],
[1,4],
]
- 示例二：
输入：n = 1, k = 1
输出：[[1]]
2.2解法一：暴力解法（循环次数不确定）
-
使用for循环，例如示例中k为2，很容易想到 用两个for循环，这样就可以输出 和示例中一样的结果。
for (int i = 1; i <= n; i++) { for (int j = i + 1; j <= n; j++) { cout << i << " " << j << endl; } } -
如果n为100，k为50呢，那就50层for循环，循环写不出来
2.3解法二：回溯
2.3.1回溯思路
- 分解成一层一层的树形结构：
- 使用res存放全部合适的结果；
- 使用paths存放当前的路径；
（1）回溯函数模板返回值以及参数
- 回溯函数返回值一般为void；
- 参数：
- 题目要求 求范围[1,n]中所有可能的k个数的组合；
- 参数有 n、k
- 还要有一个startIndex，代表每次循环从数组第几个数开始遍历
private void backtracking(int n,int k,int startIndex)
（2）回溯函数终止条件
- 当当前路径 path 的个数达到k时，添加到res中
if(paths.size()==k){
res.add(paths);
return;
}
（3）回溯搜索的遍历过程
- 从startIndex遍历该层的元素
for(int i=startIndex;i<=n;i++){
paths.add(i);
//递归
backtracking(n,k,i+1);
//回溯
paths.remove(paths.size()-1);
}
2.3.2代码实现
List<List<Integer>> res=new ArrayList<>();
List<Integer> paths=new ArrayList<>();
public List<List<Integer>> combine(int n, int k) {
backtracking(n,k,1);
return res;
}
private void backtracking(int n,int k,int startIndex){
if(paths.size()==k){
res.add(new ArrayList<>(paths));
return;
}
for(int i=startIndex;i<=n;i++){
paths.add(i);
//递归
backtracking(n,k,i+1);
//回溯
paths.remove(paths.size()-1);
}
}
2.3.3剪枝操作
-
回溯法虽然是暴力搜索，但也有时候可以有点剪枝优化一下的
-
遍历代码如下：
for(int i=startIndex;i<=n;i++){ paths.add(i); //递归 backtracking(n,k,i+1); //回溯 paths.remove(paths.size()-1); } -
这个遍历的范围是可以剪枝优化的，怎么优化呢？
-
来举一个例子，n = 4，k = 4 的话，那么第一层for循环的时候，从元素2开始的遍历都没有意义了。 在第二层for循环，从元素3开始的遍历都没有意义了。
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如果for循环选择的起始位置之后的元素个数 已经不足 我们需要的元素个数了，那么就没有必要搜索了。
-
-
优化过程如下：
- 已经选择的元素个数：path.size();
- 还需要的元素个数为: k - path.size();
- 在集合n中至多要从该起始位置 : n - (k - path.size()) + 1，开始遍历
-
为什么有个+1呢，因为包括起始位置，我们要是一个左闭的集合。
-
举个例子，n = 4，k = 3， 目前已经选取的元素为0（path.size为0），n - (k - 0) + 1 即 4 - ( 3 - 0) + 1 = 2。
-
从2开始搜索都是合理的，可以是组合[2, 3, 4]。
for(int i=startIndex;i<= n - (k - paths.size()) + 1;i++){
paths.add(i);
//递归
backtracking(n,k,i+1);
//回溯
paths.remove(paths.size()-1);
}
3.组合总和 |||
3.1问题
找出所有相加之和为 n 的 k 个数的组合，且满足下列条件：
- 只使用数字1到9
- 每个数字 最多使用一次
返回 所有可能的有效组合的列表 。该列表不能包含相同的组合两次，组合可以以任何顺序返回。
- 示例一：
输入: k = 3, n = 7
输出: [[1,2,4]]
解释:
1 + 2 + 4 = 7
没有其他符合的组合了。
3.2解法：回溯
3.2.1回溯思路
（1）函数返回值以及参数
- 无返回值
- 参数：
- k：总共需要k个数
- n：总和为n
- startIndex：从startIndex开始遍历
- count：当前路径总和
private void backtracking(int k,int n,int startIndex,int count)
（2）终止条件
- 判断路径个数是否为k，路径总和是否为n，满足则添加到res中并返回
if( paths.size()==k ){
if(count==n){
res.add(new ArrayList<>(paths));
}
return;
}
（3）遍历过程
- 从startIndex开始递归（paths加上该节点、count总和加上）
- 递归后回溯（paths移除最后一个节点、count总和减去该节点值）
for(int i=startIndex;i<=9;i++){
paths.add(i);
//递归
backtracking(k,n,i+1,count+=i);
//回溯
paths.remove(paths.size()-1);
count-=i;
}
3.2.2代码实现
List<List<Integer>> res=new ArrayList<>();
List<Integer> paths=new ArrayList<>();
public List<List<Integer>> combinationSum3(int k, int n) {
backtracking(k,n,1,0);
return res;
}
private void backtracking(int k,int n,int startIndex,int count){
if( paths.size()==k ){
if(count==n){
res.add(new ArrayList<>(paths));
}
return;
}
for(int i=startIndex;i<=9;i++){
paths.add(i);
//递归
backtracking(k,n,i+1,count+=i);
//回溯
paths.remove(paths.size()-1);
count-=i;
}
}
3.2.3剪枝操作
for(int i=startIndex;i<= 9-(k-paths.size())+1 ;i++){
paths.add(i);
//递归
backtracking(k,n,i+1,count+=i);
//回溯
paths.remove(paths.size()-1);
count-=i;
}
