递归
在解决⼀个规模为n的问题时，如果满⾜以下条件，我们可以使⽤递归来解决：
a.
问题可以被划分为规模更⼩的⼦问题，并且这些⼦问题具有与原问题相同的解决⽅法。
b.
当我们知道规模更⼩的⼦问题（规模为 n - 1）的解时，我们可以直接计算出规模为 n 的问题
的解。
c.
存在⼀种简单情况，或者说当问题的规模⾜够⼩时，我们可以直接求解问题。
⼀般的递归求解过程如下：
a.
验证是否满⾜简单情况。
b.
假设较⼩规模的问题已经解决，解决当前问题。
上述步骤可以通过数学归纳法来证明。
例题一
解法（递归）：
算法思路：
这是⼀道递归⽅法的经典题⽬，我们可以先从最简单的情况考虑：
•
假设 n = 1，只有⼀个盘⼦，很简单，直接把它从 A 中拿出来，移到 C 上；
•
如果 n = 2 呢？这时候我们就要借助 B 了，因为⼩盘⼦必须时刻都在⼤盘⼦上⾯，共需要 3 步（为了⽅便叙述，记 A 中的盘⼦从上到下为 1 号，2 号）：
a.
1 号盘⼦放到 B 上；
b.
2 号盘⼦放到 C 上；
c.
1 号盘⼦放到 C 上。
⾄此，C 中的盘⼦从上到下为 1 号， 2 号。
•
如果 n > 2 呢？这是我们需要⽤到 n = 2 时的策略，将 A 上⾯的两个盘⼦挪到 B 上，再将最⼤的盘⼦挪到 C 上，最后将 B 上的⼩盘⼦挪到 C 上就完成了所有步骤。例如 n = 3 时如下图：
因为 A 中最后处理的是最⼤的盘⼦，所以在移动过程中不存在⼤盘⼦在⼩盘⼦上⾯的情况。
则本题可以被解释为：
1.
对于规模为 n 的问题，我们需要将 A 柱上的 n 个盘⼦移动到C柱上。
2.
规模为 n 的问题可以被拆分为规模为 n-1 的⼦问题：
a.
将 A 柱上的上⾯ n-1 个盘⼦移动到B柱上。
b.
将 A 柱上的最⼤盘⼦移动到 C 柱上，然后将 B 柱上的 n-1 个盘⼦移动到C柱上。
3.
当问题的规模变为 n=1 时，即只有⼀个盘⼦时，我们可以直接将其从 A 柱移动到 C 柱。
•
需要注意的是，步骤 2.b 考虑的是总体问题中的 ⼦问题b 情况。在处理⼦问题的⼦问题b 时，我们应该将 A 柱中的最上⾯的盘⼦移动到 C 柱，然后再将 B 柱上的盘⼦移动到 C 柱。在处理总体问题的⼦问题b 时，A 柱中的最⼤盘⼦仍然是最上⾯的盘⼦，因此这种做法是通⽤的。
算法流程：
递归函数设计：void hanotaa(vector<int>& A, vector<int>& B, vector<int>& C, int n)
1.
返回值：⽆；
2.
参数：三个柱⼦上的盘⼦，当前需要处理的盘⼦个数（当前问题规模）。
3.
函数作⽤：将 A 中的上⾯ n 个盘⼦挪到 C 中。
递归函数流程：
1.
当前问题规模为 n=1 时，直接将 A 中的最上⾯盘⼦挪到 C 中并返回；
2.
递归将 A 中最上⾯的 n-1 个盘⼦挪到 B 中；
3.
将 A 中最上⾯的⼀个盘⼦挪到 C 中；
4.
将 B 中上⾯ n-1 个盘⼦挪到 C 中。
例题二
解法（递归）：
算法思路：
1.
递归函数的含义：交给你两个链表的头结点，你帮我把它们合并起来，并且返回合并后的头结点；
2.
函数体：选择两个头结点中较⼩的结点作为最终合并后的头结点，然后将剩下的链表交给递归函数去处理；
3.
递归出⼝：当某⼀个链表为空的时候，返回另外⼀个链表。
注意注意注意：链表的题⼀定要画图，搞清楚指针的操作！
例题三
解法（递归）：
算法思路：
1.
递归函数的含义：交给你⼀个链表的头指针，你帮我逆序之后，返回逆序后的头结点；
2.
函数体：先把当前结点之后的链表逆序，逆序完之后，把当前结点添加到逆序后的链表后⾯即可；
3.
递归出⼝：当前结点为空或者当前只有⼀个结点的时候，不⽤逆序，直接返回。
注意注意注意：链表的题⼀定要画图，搞清楚指针的操作！
例题四
解法（递归）：
算法思路：
1.
递归函数的含义：交给你⼀个链表，将这个链表两两交换⼀下，然后返回交换后的头结点；
2.
函数体：先去处理⼀下第⼆个结点往后的链表，然后再把当前的两个结点交换⼀下，连接上后⾯处理后的链表；
3.
递归出⼝：当前结点为空或者当前只有⼀个结点的时候，不⽤交换，直接返回。
注意注意注意：链表的题⼀定要画图，搞清楚指针的操作！
例题五
解法（递归 - 快速幂）：
算法思路：
1.
递归函数的含义：求出 x 的
n
次⽅是多少，然后返回；
2.
函数体：先求出 x 的 n / 2 次⽅是多少，然后根据
n
的奇偶，得出
x
的
n
次⽅是多少；
3.
递归出⼝：当 n 为 0 的时候，返回 1
即可。
