上一期我们一起学习了排队论的基本概念，本期小编将带大家学习生灭过程和Poisson过程。

下面，让我们一起来学习生灭过程和Poisson过程吧！

一、生灭过程简介

01引言

在排队论中，如果N(t)表示时刻t系统中的顾客数，则{N(t),t≥0}就构成了一个随机过程。而对许多排队过程来说，我们用“生”来表示顾客的到达，用“灭”代表顾客的离去，那么{N(t),t≥0}就是一类特殊的随机过程——生灭过程。

λn：当系统处于状态n时，新来顾客的平均到达率（单位时间内来到系统的平均顾客数）

μn：当系统处于状态n时，整个系统的平均服务率（单位时间内可以服务完的顾客数）

02定义

定义1  设{N(t),t≥0}为一个随机过程，若N(t)的概率分布具有以下性质：

 ①假设N(t)=0，则从时刻t起到下一个顾客到达时刻止的时间服从参数为λn的负指数分布，n=0,1,2,...。

 ②假设N(t)=0，则从时刻t起到下一个顾客离去时刻止的时间服从参数为μn的负指数分布，n=0,1,2,...。

③同一时刻时只有一个顾客到达或离去。

则称{N(t),t≥0}为一个生灭过程。

03引例

某地区当前人口数为n，该年人口出生数为λn，则根据泊松流的性质，在Δt时间内出生一个人的概率为λnΔt+○(Δt)，μn为该年人口死亡数，则根据指数分布的性质，在Δt时间内死亡一个人的概率为μnΔt+○(Δt)，那么在经过Δt时间后，人口是多少呢？（其中，○(Δt)表示在Δt时间内多于一个人出生或死亡的概率，是可以忽略不计的）

该生灭过程状态转移图，如下图所示：

该过程状态表，如下表所示：

 04平稳状态的概率分布

假设当系统达到平衡状态后，处于状态n的概率为pn；

当i=0时，输入仅来自状态1，状态0输入率为μ1p1，输出仅有一个，输出率为λ0p0，则状态0平衡方程为：

当i=1时，输入来自状态0和2，状态1输入率为λ0p0+μ2p2 ，输出率为λ1p1+μ1p1，则状态1平衡方程为：

以此同理类推，可得状态n

令

则平稳状态的分布为

由概率性质可知

则有

只有当级数

收敛时才有意义，即当

时，才能由上述公式得到平稳状态的概率分布。

二、Poisson过程和负指数分布

01定义及定理

Poisson过程是常用来描述顾客到达规律的特殊随机过程，与概率论的Poisson分布和负指数分布有密切联系。结合排队论术语，定义如下：

定义2  设N(t)为时间[0,t]内到达系统的顾客数，如果满足下面三个条件：

①平稳性：在[t,t+Δt]内有一个顾客到达的概率为λt+○(Δt)，

②独立性：任意两个不相交区间内顾客到达情况相互独立，

③普通性：在[t,t+Δt]内多于一个顾客到达的概率为○(Δt)，

则称{N(t),t≥0}为Poisson过程。

下面的定理给出了Poisson过程和Poisson分布的关系。

定理1  设N(t)为时间[0,t]内到达系统的顾客数，则{N(t),t≥0}为Poisson过程的充分必要条件是

如果顾客到达为Poisson流的话，则到达顾客数的分布为Poisson分布。

定理1说明，如果顾客的到达为Poisson流的话，则到达顾客数的分布恰为Poisson分布。但无论是从Poisson过程的定义，还是根据其概率分布去对顾客的到达情况进行分析，都有许多不便之处。实际问题中比较容易得到和进行分析的往往是顾客相继到达系统的时刻，或相继到达的时间间隔。定理2说明，顾客相继到达时间间隔服从相互独立的参数为λ的负指数分布，与到达过程为参数为λ的Poisson过程是等价的。

定理2  设N(t)为时间[0,t]内到达系统的顾客数，则{N(t),t≥0}为参数λ的Poisson过程的充要条件是：

相继到达时间间隔服从相互独立的参数为λ的负指数分布。

02负指数分布

令随机变量T表示顾客抵达时间间隔或服务时间，其服从参数为α的指数分布，则fT(t)时间t的概率密度函数，FT(t)为时间t的概率分布函数。表达式如下：

当随机变量T表示顾客抵达时间间隔，参数a为λn

当随机变量T表示顾客服务时间间隔，参数a为μn

以上就是生灭过程和Poisson过程的全部内容了，通过本期学习大家是否对排队论有了一个初步的认识呢，下一期我们将一起学习M/M/s等待制排队模型，我们下期再见！

作者 | 陈梦 杨悦

责编 | 王一静

审核 | 徐小峰

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