01 背包
题目描述：有n件物品和一个最多能背重量为w 的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。
二维dp数组01背包：
- 确定dp数组以及下标的含义
对于背包问题，有一种写法， 是使用二维数组，即dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。
-
确定递推公式
再回顾一下dp[i][j]的含义：从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。那么可以有两个方向推出来dp[i][j]，- 不放物品i：由dp[i - 1][j]推出，即背包容量为j，里面不放物品i的最大价值，此时dp[i][j]就是dp[i - 1][j]。(其实就是当物品i的重量大于背包j的重量时，物品i无法放进背包中，所以背包内的价值依然和前面相同。)
- 放物品i：由dp[i - 1][j - weight[i]]推出，dp[i - 1][j - weight[i]] 为背包容量为j - weight[i]的时候不放物品i的最大价值，那么dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i] （物品i的价值），就是背包放物品i得到的最大价值
所以递归公式： dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
-
初始化
dp[i][j]是由其左侧和左上方数据推导出来的，因此要初始化dp[i][0]列和dp[0][j]行的数据，背包重量为0时，背包内物品的价值为零，dp[i][0]列为0。dp[0][i]行的数据，当背包容量j≥wieght[j]时，dp[0][j]=value[j]，其他时候为零。 -
遍历顺序
先遍历还是weight还是value都可以。
#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
void slove(int m, int n){
vector<int> wight;
vector<int> value;
int x;
for (int i = 0; i < m;i++){
cin>>x;
wight.push_back(x);
}
for (int i = 0; i < m;i++){
cin>>x;
value.push_back(x);
}
vector<vector<int>> dp(m,vector<int>(n+1,0));
for(int j = 0; j <= n; j++){
if(j>=wight[0]){
dp[0][j] = value[0];
}
}
for (int i = 1; i < m; i++){
for (int j = 1; j <= n; j++){
if(j < wight[i]){
dp[i][j] = dp[i-1][j];
} else {
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-wight[i]]+value[i]);
}
}
}
cout << dp[m-1][n] <<endl;
}
int main(){
int m,n;
cin>>m>>n;
slove(m,n);
}
一维dp数组01背包：
对于背包问题其实状态都是可以压缩的。
在使用二维数组的时候，递推公式：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
其实可以发现如果把dp[i - 1]那一层拷贝到dp[i]上，表达式完全可以是：dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);
与其把dp[i - 1]这一层拷贝到dp[i]上，不如只用一个一维数组了，只用dp[j]（一维数组，也可以理解是一个滚动数组）。
但是这里要注意，dp数组的遍历要为倒序遍历，倒序遍历是为了保证物品i只被放入一次！。但如果一旦正序遍历了，那么物品0就会被重复加入多次！
#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
void slove(int m, int n){
vector<int> wight;
vector<int> value;
int x;
for (int i = 0; i < m;i++){
cin>>x;
wight.push_back(x);
}
for (int i = 0; i < m;i++){
cin>>x;
value.push_back(x);
}
vector<int> dp(n+1,0);
for (int i = 0; i < m; i++){
for (int j = n; j >= 0; j--){
if(j >= wight[i]){
dp[j] = max(dp[j], dp[j-wight[i]]+value[i]);
}
}
}
cout << dp[n] <<endl;
}
int main(){
int m,n;
cin>>m>>n;
slove(m,n);
}
416. 分割等和子集
题目链接：分割等和子集
题目描述：给你一个 只包含正整数 的 非空 数组
nums。请你判断是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。
解题思想：
要明确本题中我们要使用的是01背包，因为元素我们只能用一次。
回归主题：首先，本题要求集合里能否出现总和为 sum / 2 的子集。
那么来一一对应一下本题，看看背包问题如何来解决。
只有确定了如下四点，才能把01背包问题套到本题上来。
- 背包的体积为sum / 2
- 背包要放入的商品（集合里的元素）重量为 元素的数值，价值也为元素的数值
- 背包如果正好装满，说明找到了总和为 sum / 2 的子集。
- 背包中每一个元素是不可重复放入。
后面的解题思路就和01背包问题相同
class Solution {
public:
bool canPartition(vector<int>& nums) {
int sum = 0;
int target = 0;
for (int num : nums)
sum += num;
if (sum % 2)
return false;
else
target = sum / 2;
vector<int> dp(target + 1, 0);
for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
for (int j = target; j >= nums[i]; j--) {
dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);
}
}
if (dp[target] == target) {
return true;
}
return false;
}
};
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