2.7 残差、梯度和相分解：示例

观察第 2.3 节中提出的局部相位特性如何应用于现实世界是很有启发性的。我们将借助第 2.4 节中的亥姆霍兹分解定理来实现这一点。图 2.7(a)描述了一个 512×512 像素的包裹相位函数，它是实际应用中可能遇到的典型相位函数。请注意，有几条边缘线似乎是 "凭空 "产生或终止的，就像图 2.2(a) 或图 2.3(a) 中的边缘线一样。如图 2.7(b)所示，正负残差分别标记为 4×4 像素的白色和黑色方块。相位行为表明，在得出该相位的复变函数中存在零点。
图 2.7(a)中的包裹相位分解为图 2.7(c)中的非旋转或无旋转包裹相位分量和图 2.7(d)中的旋转分量。除了任意相加外，这些分量都是唯一的。总的来说，它们包含了图 2.7(a)中原始包裹相位的所有特性。

图 2.7 Helmholt z 分解定理应用于 512×512 像素的包裹相位阵列。(a) 典型的包裹相位函数缩放显示。(b)残差图显示的正负残差分别为白色和黑色方块。 (c)非旋转或无旋转的包裹相位分量。解旋位置使得分量（c）和（d）的包裹和产生（a）中的原始数据。 

图 2.8 与图 2.7(a)中旋转部分相对应的包裹相位。请注意，所有边缘线都保持连接，形成闭合环路，或在阵列边界开始和结束。(b)(a)中未包裹的相位。(c)(a)中旋转相位的 x 梯度分量。(d)(a)中旋转相位的 y 梯度分量。

图 2.8(a)中显示的非旋转成分是无残差的，任何路径跟踪算法都可以对其进行解包。图 2.8(b)显示了解包后的相位。为完整起见，图 2.8(c)和(d)显示了 x 和 y 相的梯度组成。请注意，梯度反映了相位中的 "地形"。

图 2.9 (a) 与图 2.7(a)中旋转分量相对应的包裹相位。注意所有的边缘线都是断开的。(b) 残差图将正负残差分别显示为白色和黑色方块。(c) 旋转相位的 x 梯度分量 φ 。请注意，旋转梯度分量没有保留图 2.7(a)中的原始相位拓扑。(d) 旋转相位向上的 Y 梯度分量。请注意，旋转梯度分量没有保留图 2.7（a）中的原始相位地形。

相比之下，图 2.9(a)所示的旋转分量包含了图 2.7(a)中原始相位函数的所有残基。旋转分量的残差图如图 2.9(b)所示，与图 2.7(b)所示的残差图完全相同。请注意，图 2.9(c)和(d)所示的旋转梯度分量包含图 2.3(b)和(c)梯度分量的叠加。

有趣的是，仅根据残基位置和电荷就可以重建任何包裹相的旋转成分。例如，我们可以仅根据图 2.9(b) 或图 2.7(b) 的残差图重建图 2.9(a) 所示的相位。考虑图 2.3(a)中所示的正残余物的元素旋转分量（负残余物的元素旋转分量只需反转符号）。

如果我们将元素旋转分量定位在残留物的位置上，并加上适当的符号，将相关域中所有点的元素相位相加，"并将结果包入（-π,π]范围内，我们就可以构造出一个几乎是正确结果的旋转相位分量。由于我们不知道元素旋转分量的正确分数和位置（即残差位于 2×2 像素盒内的未知位置），我们的简单叠加程序可能会产生本不应该存在的额外非旋转分量。然而，通过 Helmholt z 分解定理，可以很容易地去除这个非旋转分量。一旦移除了诱导的非旋转分量，包裹后的残差就是所需的旋转分量（在任意加常数范围内）。图 2.10 显示了这一过程的结果。

 图 2.10 根据对残基位置和极性的了解，重建与旋转分量相对应的包裹相位。(a) 图 2.7(b)中残基位置的元素旋转分量（图 2.3a）叠加产生的包裹相位。(b)对(a)进行最小二乘解缠后得到的缠绕旋转分量。(c)从(a)减去(b)后的缠绕残差。(d) 调整偏差后的包裹旋转分量。这与图 2.7(d)中的结果相同。

2.8 结论

我们已经强调过，残留物的存在会导致相位解包过程的路径依赖性，但我们还没有证明这一定是件坏事。那么，如果我们忽略残留物呢？不平衡残基电荷又如何？如果我们将残基配对或错误地进行分支切割又会怎样？我们还没有任何复杂的二维相位解开算法来帮助回答这些问题，但我们真的需要它们吗？答案是肯定的！
迄今为止，我们描述的唯一相位解包算法是伊藤的方法（见第 1 章第 1.3.1 节）。为什么不将这种算法扩展到二维，在覆盖整个二维阵列的路径上对包裹的相位差进行积分，看看会发生什么呢？图 2.11 说明了存在残差时这种简单方法的失败。图 2.11(a)与图 2.8(a)相同，显示了一个数据一致的包裹相位阵列（即不存在残差）。图 2.11(b)显示了通过扩展伊藤的一维方法得到的解包相位，具体如下： 首先，我们沿数组最左列垂直解开相位。这种简单相位解包算法的 C 语言软件见附录 A 第 A.2 节）。对于完全一致的数据，解包是成功的。在解包结果中看不到任何异常伪影。此外，解包相位的局部 x 和 y 相位差在任何地方的幅度都小于 w 弧度。这正是我们所需要的。事实上，伊藤的方法得到的结果与图 2.8(b)中显示的结果完全相同。

 图 2.11 通过对伊藤方法的简单扩展进行二维相位解包裹（a）一致数据的包裹相位。(b)以强度图形式显示的解包裹相位。首先沿最左列垂直解开相位，然后以最左列解开的相位作为该行的初始值，逐行解开相位。(c)包含残留物的包裹相位。(d)简单的解包裹技术产生了从残留物向积分路径方向延伸的条纹。

图 2.11(c)与图 2.7(a)相同，显示了包含残基的包裹相位阵列。图 2.11(d)所示的解包裹结果显示了从残差位置发出的条纹。此外，解包后的相位不再包含局部相位差，这些局部相位差在任何地方的大小都小于π radians。一些局部相位差的跃迁幅度大于π。由于包裹相位的 "地形 "并没有表明未包裹相位中应该存在较大的相位不连续，因此伊藤的方法结果并不理想。即使我们使用不同的路径来覆盖阵列，新方向上的残留物也会产生条纹。看来我们需要更复杂的解包裹方法。但是，需要施加什么样的条件才能确保 "良好 "的结果呢？这就是本书接下来要讨论的主题。

在本章的最后，我们将提出一个重要的观点。图 2.9(c)和(d)中显示的旋转梯度分量似乎没有 "拓扑图形"。 事实上，它们没有保留赫尔姆霍兹分解定理所要求的原始包裹相梯度的本质。因此，如何才能以反映相位拓扑的方式平衡残留电荷呢？答案是不能。简单地说，电荷平衡的方法，无论是残差配对、分支切割还是其他方法，都没有先验的合理性。在实践中，我们必须根据手头的应用和对预期结果的感觉，注入一种首选的路径跟踪策略或假设。当我们讨论成功的相位解包算法的各种策略和假设时，二维相位解包的真正难点就会显现出来。