一些常用算法汇总
- 算法思想-----数据结构
- 动态规划(DP)
- 0.题目特点
- 1.【重点】经典例题(简单一维dp）
- 1.斐波那契数列
- 2.矩形覆盖
- 3.跳台阶
- 4.变态跳台阶
- 2.我的日常练习汇总(DP)
- 1.蓝桥真题-----路径
算法思想-----数据结构
-
数据结构的存储方式 : 顺序存储(数组) , 链式存储(链表)
顺序存储(数组) : 在内存中的存储空间是连续的 , 所以可以通过索引来获取存储的元素 链式存储(链表) : 不是连续存储的 , 可能是这一个那一个的 . 通常是由 数据域和指针域组成-->也就是data和next指针 (next指针指向下一个节点的地址) -
数据结构底层逻辑
所以啊 , 数据结构的那些东西(数组,链表,栈,队列,图,树,散列表等等)--->其实底层逻辑 都是数组或链表 -
数组和链表优缺点
数组--->可以随机访问(通过索引) , 但是 需要考虑存储容量的问题 链表--->没有存储容量的问题 , 但是不能随机访问元素 -
数据结构存在的意义
数据结构存在的意义---->就是为了处理数据啊(增删改查)--->怎么增删改查呢?---->遍历+递归 那为什么会有那么多种数据结构呢 ? ---->因为每种数据结构的应用场景不一样(灵活应用,优化代码嘛)
动态规划(DP)
0.题目特点
- 1.计数（问：how many ways。。。）
- a.有多少种方式 走到右下角
- b.有多少种方法 选出k个数使得和是sum
- 2.求最大值、最小值（最大的一个解题类型）
- a.从左上角走到右下角 路径的最大数字和
- b.最长上升子序列的长度
- 3.求存在性
- a.取石子游戏，先手是否必胜
- b.能不能选出k个数 使得和是sum
1.【重点】经典例题(简单一维dp）
1.斐波那契数列
1 1 2 3 5 8 …
这是最经典的递归问题，
但 如果用递归求解，会重复计算一些子问题。
那如何用 动态规划 求解呢。
题目描述：求斐波那契数列的第n项，n<39。
- 递归法
根据递推公式：f(n) = f(n-1)+f(n-2)
int fib(int n){
if(n<2) return n;
return fib(n-1)+fib(n-2);
}
- dp
- 1.状态 ： 最后一步是求f[n]
- 2.转移方程：f[n] = f[n-1]+f[n-2]
- 3.初始化：f[1]=1 ；边界条件：n<=1
- 4.计算顺序：1—>n
public int Fibonacci(int n){
if(n <= 1) return n; //边界条件
int[] fib = new int[n+1];
fib[1] = 1; //初始化
fib[2] = 1;
for(int i=2;i<=n;i++){ //计算顺序
fib[i] = fib[i-1] + fib[n-2]; //状态方程
return fib[n];
}
2.矩形覆盖
题目描述：我们可以用2*1的小矩形横着或竖着去覆盖更大的矩形。请问用n个2*1的小矩形无重叠的覆盖一个2*n的大矩形，总共有多少种方法？
-
分析：dp[1] = 1 ; dp[2] = 2
要覆盖2*n的大矩形， 可以先覆盖一个2*1的矩形，再覆盖2*(n-1)的矩形； 也可以先覆盖两个个2*2的矩形，再覆盖2*(n-2)的矩形。 而覆盖2*(n-1)和2*(n-2) 可以看做是子问题，传递下去
- 最后一步：求 dp[n]
- 初始化：dp[1] = 1 ; dp[2] = 2; 边界条件：n<=2
- 转移方程（递归表达式）：dp[n] = dp[n-1] + dp[n-2]
- 计算顺序：1-->n
- 递归法
public int rectCover(int n){
if(n<=2) return n;
return rectCover(n-1)+rectCover(n-2);
}
- dp算法
public int rectCover(int n){
if(n<=2) return n;
int[] dp = new int[n+1];
dp[1] = 1;
dp[2] = 2;
for(int i=3;i<=n;i++){
dp[i] = dp[i-1]+dp[i-2];
}
return dp[n];
}
3.跳台阶
题目描述：一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级台阶总共有多少种跳法。
-
分析
int[] dp = new int[n]; //dp[i]表示跳到第i级台阶有多少种跳法 状态（最后一步）：d[n] 初始化：dp[1] = 1 ; dp[2] = 1 ; 边界条件：n<=2; 状态转移方程：dp[i] = dp[i-1]+dp[i-2]; //dp[i]的状态，要么从i-1的台阶跳1级到i ； 要么从i-2级台阶一次跳2级到i 计算顺序：1-->n //计算 dp[i] 需要先计算 dp[i-1] 和 dp[i-2]
public int jumpFloor(int n){
if(n<=2) return n;
int[] dp = new int[n+1];
dp[1] = 1;
dp[2] = 1;
for(int i=3;i<=n;i++）{
dp[i] = dp[i-1]+dp[i-2];
}
return dp[n];
}
4.变态跳台阶
题目描述：一只青蛙可以跳上1级台阶，也可以跳上2级…它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。
-
分析
最后一步：求 dp[n] //跳上n级台阶的方案数 初始化：dp[1] = 1,dp[2] = 1,...,dp[n] = 1 状态转移方程：dp[i] = dp[i-1]+dp[i-2]+...+dp[1] //从所有台阶上都可以调到i级台阶上去 计算顺序：1-->n -
代码实现
public int jumpFloorII(int n){
int[] dp = new int[n+1];
Arrays.fill(dp,1); //把dp数组中所有元素初始化为1
//对于每一级台阶，方案数都是前面所有台阶的方案数的和
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<i;j++){
dp[i] += dp[j];
}
}
return dp[n];
}
2.我的日常练习汇总(DP)
1.蓝桥真题-----路径
蓝桥真题:路径
import java.util.Arrays;
import java.util.Scanner;
// 1:无需package
// 2: 类名必须Main, 不可修改
public class Main {
public static void main(String[] args) {
Scanner scan = new Scanner(System.in);
//在此输入您的代码...
//最短路径-->dp
//最小公倍数 = 两数乘积/最大公约数
System.out.println(check());
scan.close();
}
public static int check(){
int[] dp = new int[2021+1];
//结束条件
//初始化
Arrays.fill(dp,Integer.MAX_VALUE);
dp[1] = 0;
dp[2] = 2;
for(int i=3;i<=2021;i++){
for(int x=i-21;x<i;x++){
if(x<=0) continue;
dp[i] = Math.min((dp[x] + lcm(i,x,gcb(i,x))) , dp[i]);
}
}
return dp[2021];
}
public static int gcb(int a,int b){
if(b == 0) return a;
return gcb(b,a%b);
}
public static int lcm(int a,int b,int gcb){
return (a*b)/gcb;
}
}
