目录
原理
模板
朴素二分算法
非朴素二分算法
一二分查找
二在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置
三点名
四x的平方根
五搜索插入位置
六山脉数组的峰顶索引
七寻找峰值
八寻找旋转排序数组中的最小值
原理
定义两个指针:left指向数组第一个元素,right指向数组的最后一个元素;通过某种条件的判断,让left与right向之间靠拢;最终left与right所指的元素来确定最后的答案
模板
二分算法的实现有两个模板:朴素二分算法与非朴素二分算法
朴素二分算法
while(left <= right)
{
int middle = left+(right-left)/2 //写成(right-left)/2有越界的风险
if(...)
{
left =middle + 1;
}
else
{
right = middle - 1;
}
}
非朴素二分算法
//左端点
while(left < right) //left <= right会越界
{
int middle = left + (right - left) / 2;//left +(right - left + 1) /2会死循环
if(...)
{
left = middle + 1;
}
else
{
right = middle;
}
}
//右端点
while(left < right) //left <= right会越界
{
int middle = left + (right - left +1) / 2;
if(...)
{
left = middle;
}
else
{
right = middle - 1;
}
}
大部分情况的二分算法题用的都是非朴素二分算法模板来实现的!
一二分查找
oj链接:704. 二分查找 - 力扣(LeetCode)
思路:懂了模板直接套用朴素二分算法解决:
当nums[middle] < target ; left=middle + 1;else right = middle - 1
class Solution {
public:
int search(vector<int>& nums, int target) {
int left=0,right=nums.size()-1;
while(left<=right)
{
int middle=left+(right-left)/2;//防溢出
if(nums[middle]<target)
{
left=middle+1;
}
else if(nums[middle]>target)
{
right=middle-1;
}
else
{
return middle;
}
}
return -1;
}
};
二在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置
oj链接:34. 在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置 - 力扣(LeetCode)
朴素二分算法解决不了,用非朴素二分模板来解决:
题目要求第一个与最后一个位置,直接用两个非朴素模板求出与target相同的左右两个端点
class Solution
{
public:
vector<int> searchRange(vector<int>& nums, int target)
{
//越界判断
if(nums.size() == 0) return {-1 , -1};
//开始元素下标(求左端点)
vector<int> ans(2);
int left = 0 , right = nums.size() - 1;
while(left < right)
{
int middle = left + (right - left) / 2;
if(nums[middle] < target) left = middle + 1;
else right = middle;
}
//有可能没有target
if(nums[left] != target) return {-1 , -1};
ans[0] = left;
//最后元素下标(求右端点)
//有的话在left的右边,left不用再次走到开始位置
right = nums.size() -1;
while(left < right)
{
int middle = left +(right - left +1) /2;
if(nums[middle] <= target) left = middle;
else right = middle -1;
}
ans[1] = right;
return ans;
}
};
三点名
oj链接:LCR 173. 点名 - 力扣(LeetCode)
思路:此题的思路有很多:等差数列求和,哈希表,异或...
但这道题给出的条件适合来用二分算法解决:
判断数值与下标是否对应来进行left与right的移动
class Solution {
public:
int takeAttendance(vector<int>& records)
{
int left=0,right=records.size()-1;
while(left<right)
{
int middle=left+(right-left)/2;
if(middle==records[middle]) left=middle+1;
else right=middle;
}
//有可能数组里面与下标都对应上了返回后一个数字->[0,1]
if(records[left]==left) return left+1;
return left;
}
};
四x的平方根
oj链接:LCR 072. x 的平方根 - 力扣(LeetCode)
思路:从[1,x]中来找出符合某数的平方根<=x:如果在里面的某个值的平方根>x的,说明目标值是在这个值的左边区域,缩小范围更新right的值:是要等于它还是在它前一个位置就要自己来画图分析了;最后用非朴素模板套进去就解决本道题的求
五搜索插入位置
oj链接:LCR 068. 搜索插入位置 - 力扣(LeetCode)
思路: 套用非朴素模板解决,注意最后结果的处理
class Solution
{
public:
int searchInsert(vector<int>& nums, int target)
{
int left = 0,right = nums.size() - 1;
while(left < right)
{
int middle = left +(right -left)/2;
if(nums[middle] < target) left = middle + 1;
else right = middle;
}
//left与right走到数组最后的处理
if(right == nums.size() - 1 && nums[right] < target) return right + 1;
else return right;
}
};
六山脉数组的峰顶索引
oj链接:LCR 069. 山脉数组的峰顶索引 - 力扣(LeetCode)
思路:山脉数组将数组分为两个区间:
左半边是递增的:arr[i] > arr[i-1](包含峰值);右半边是递减的:arr[i] < arr[i-1](不包含)
有了这个二段性,我们就可以来利用二分算法来解决问题,使得最后left与right指向峰顶
class Solution {
public:
int peakIndexInMountainArray(vector<int>& arr)
{
int left = 0,right = arr.size() - 1;
while(left < right)
{
int middle = left + (right - left + 1) / 2;
//middle在左半区间
if(arr[middle] > arr[middle - 1]) left = middle;
//middle在右半区间
else if(arr[middle] < arr[middle -1]) right = middle -1;
}
return left;
}
};
七寻找峰值
oj链接:162. 寻找峰值 - 力扣(LeetCode)
思路:要找数组其中一个峰值转化为求数组的峰值,与上面思路是一样的!
class Solution {
public:
int findPeakElement(vector<int>& nums)
{
int left = 0,right =nums.size() - 1;
while(left < right)
{
int middle = left + (right - left) / 2;
if(nums[middle] < nums[middle+1]) left = middle + 1;
else if(nums[middle] > nums[middle + 1]) right = middle;
}
return left;
}
};
八寻找旋转排序数组中的最小值
oj链接:153. 寻找旋转排序数组中的最小值 - 力扣(LeetCode)
思路: 将旋转数组分为两段;AB段前n(旋转的次数)个数值;CD是剩余的个数;我们来拿最后一个元素(nums[n - 1])作参照物,有这样的一个规律:
AB段的值nums[i]一定>nums[n - 1];CD段的值nums[j]<=nums[n - 1];
有了二段性,我们就可以用二分算法来解决问题,只需来判断left与right的移动就完成
class Solution {
public:
int findMin(vector<int>& nums)
{
int left = 0,right = nums.size() - 1;
while(left < right)
{
int middle = left + (right - left) / 2;
if(nums[middle]>nums[nums.size()-1]) left=middle+1;
else right=middle;
}
return nums[right];
}
};
那上面的参照物能用最左边的数来解决吗?好像也类似?
问题转换为能过测试用例[1,2]和[2,1]来思考!(坑帮你们填了)QAQ