1 傅里叶级数展开的定义

已知：一个周期信号 $f(t)$ 是一个直流分量（幅度为$c_0$）加上一序列余弦信号分量（$w_0$基波分量和与之成谐波关系的k次谐波分量$k{w}_0$）经过加权求和得到的

所以，
$$f(t)=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{c}_k\ast e^{jk{w}_{0}t}$$
其中 $c_k$ 是 复指数信号分量 $e^{jk{w}_{0}t}$ 的加权系数，也叫做傅里叶系数，同时也是 $f(t)$ 的频谱系数

分量 $e^{jk{w}_{0}t}$ 中当 $k=0$ 时，即 $e^0=1$， 该信号分量为直流分量，对应的傅里叶系数为 $c_0$

2 傅里叶系数 $c_k$

对 $f(t)={\sum }_{k=-\infty }^{+\infty }{c}_k\ast e^{jk{w}_{0}t}$ 两边同时乘以 $e^{-jn{w}_{0}t}$，得到
$$e^{-jn{w}_{0}t}\ast f(t)=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{c}_k\ast e^{jk{w}_{0}t}\ast e^{-jn{w}_{0}t}$$
$$e^{-jn{w}_{0}t}\ast f(t)=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{c}_k\ast e^{j(k-n)w_{0}t}$$
对上面式子在一个周期 $T$ 内对 $t$ 积分
$${\int }_T{e}^{-jn{w}_{0}t}\ast f(t)dt={\int }_T\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{c}_k\ast e^{j(k-n)w_{0}t}dt$$
进一步整理：
$${\int }_T{e}^{-jn{w}_{0}t}\ast f(t)dt=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{c}_k\ast [{\int }_T{e}^{j(k-n)w_{0}t}dt]$$
提取出积分部分 ${\int }_T{e}^{j(k-n)w_{0}t}dt$，积分的主体是频率为 $w‘=(k-n)w_0$，则对应的周期为 $T‘=\frac{2\pi }{(k-n)w_0}$，现在的周期是 $e^{j{w}_{0}t}$ 的 $\frac{1}{k-n}$ 倍，易得：
$${\int }_T{e}^{j(k-n)w_{0}t}dt=\{\begin{array}{ll}T，& k=n\\ 0，& k\ne n\end{array}$$
$k=n$ 时
$${\int }_T{e}^{-jn{w}_{0}t}\ast f(t)dt=T\ast c_n$$
整理得到：
$$c_n=\frac{1}{T}\ast {\int }_T{e}^{-jn{w}_{0}t}\ast f(t)dt$$
用谐波次数 $k$ 代替 $n$：
$$c_k=\frac{1}{T}\ast {\int }_T{e}^{-jk{w}_{0}t}\ast f(t)dt，|k|=0,1,2,\mathrm{3...}$$

3 傅里叶级数展开的几何意义

摘自陈爱军《深入浅出通信原理》一书p119

傅里叶级数展开的本质就是用一系列角速度为 $w=k{w}_0$ 的旋转向量 $c_k\ast e^{-jk{w}_{0}t}$ 来合成周期信号
这个旋转向量在 $t=0$ 时刻对应的向量 $c_k\ast e^0$ ，即 $c_k$，就是傅里叶系数

4 分量成分

4-1 指数形式的傅里叶系数展开

结论是：“偶函数的傅里叶级数只有直流分量和余弦分量”，“奇函数的傅里叶级数只有直流分量与正弦分量”

• 以方波信号（实际上就是周期的门函数）为例
  
  周期为 $T$ ，占空比为1/2，脉宽为$\tau =\frac{1}{2}T$
  1)直流分量的傅里叶系数
  $$c_0=\frac{1}{T}{\int }_{T}f(t)\ast e^{0}dt=\frac{1}{T}{\int }_{T}1dt=\frac{1}{T}{\int }_{\tau }1dt+0=0.5$$
  2)复指数信号分量的傅里叶系数
  $$c_k=\frac{1}{T}{\int }_{-\frac{\tau }{2}}^{\frac{\tau }{2}}f(t)e^{-jk{w}_{0}t}dt=\frac{1}{T}[{\int }_{-\frac{\tau }{2}}^{\frac{\tau }{2}}cos(k{w}_{0}t)dt-j{\int }_{-\frac{\tau }{2}}^{\frac{\tau }{2}}sin(k{w}_{0}t)dt]$$
  得出结论： 其中正弦分量 $sin(k{w}_{0}t)$ 为奇函数，在Y轴两边对称积分为0，所以没有偶函数的傅里叶级数没有正弦分量

---

继续对上面式子整理得到：
$$c_k=\frac{1}{T}{\int }_{-\frac{\tau }{2}}^{\frac{\tau }{2}}cos(k{w}_{0}t)dt=\frac{2}{T}{\int }_0^{\frac{\tau }{2}}cos(k{w}_{0}t)dt$$
其中 $d(k{w}_{o}t)=k{w}_0\ast dt$ ，则 $dt=\frac{1}{k{w}_0}d(k{w}_{0}t)$，令 $t_1=k{w}_{0}t$
$${\int }_0^{\frac{\tau }{2}}cos(k{w}_{0}t)dt=\frac{1}{k{w}_o}{\int }_0^{k{w}_0\ast \frac{\tau }{2}}cos{t}_{1}d{t}_1=\frac{1}{k{w}_o}[sin{t}_1{]}_0^{\frac{k{w}_0\tau }{2}}=\frac{sin(\frac{k{w}_0\tau }{2})}{k{w}_0}$$

整理得到：

$$c_k=\frac{2sin(\frac{k{w}_0\tau }{2})}{k{w}_{0}T}$$

由 $T=\frac{2\pi }{w_0}$，则 $w_{0}T=2\pi$，则 $w_0\tau =w_0\ast \frac{T}{2}=\pi$

$$c_k=\frac{2sin(\frac{k\pi }{2})}{2k\pi }=\frac{1}{2}\ast \frac{sin(\frac{k\pi }{2})}{\frac{k\pi }{2}}$$

由于 等幅振荡信号（也叫辛格函数） $sin[c(x)]=sin(\pi x)=\frac{sin(\pi x)}{\pi x}$（是个振荡衰减信号）

$$c_k=\frac{1}{2}\ast sin[c(\frac{k}{2})]$$

$sin[c(x)]$ 与 抽样函数$Sa(x)=\frac{sinx}{x}$ 很像

% 参数设置
fs = 10; % 采样频率 (Hz)
T = 1/fs; % 采样周期 (s)
L = 200; % 信号长度
t = (-L:L-1)*T; % 时间向量

% 生成Sa(t)信号
x = zeros(size(t));
for i = 2:length(t)
    x(i) = sin(t(i)) / t(i);
end

y = zeros(size(t));
for i = 2:length(t)
    y(i) = sin(pi*t(i)) / (pi*t(i));
end

% 绘制图像
figure;
plot(t, x, 'r:', t, y, 'b-','LineWidth',1);
legend('抽样函数','辛格函数'); 
xlabel('时间 (s)');
ylabel('幅度');
title('信号图像');
grid on;

推广：周期窗函数信号在幅度为1，占空比为 $1/n$ ，即 $\tau =\frac{T}{n}$
$$c_K=\frac{1}{n}sin[c(\frac{k}{n})]$$

4-2 三角形式的傅里叶级数

• 对于满足狄利克雷条件的周期函数 $\hat{f}(t)=\hat{f}(t+T)$
  可以将周期信号 $f(t)$ 展开为一系列正弦和余弦函数的加权和
  $$\hat{f}(t)=a_0+[a_{1}cos(w_{0}t)+a_{2}cos(2w_{0}t)+...]+[b_{1}sin(w_{0}t)+b_{2}sin(2w_{0}t)+...]$$
  整理得：
  $$\hat{f}(t)=a_0+\sum _{n=1}^{+\infty }{a}_{n}cos(n{w}_{0}t)+\sum _{n=1}^{+\infty }{b}_{n}sin(n{w}_{0}t)$$
  上面只说了正余弦而没有提及直流分量，是因为——可以视直流分量为 $cos(n{w}_{0}t)$ 在 $n=0$ 时的取值，则有：
  $$\hat{f}(t)=\sum _{n=0}^{+\infty }{a}_{n}cos(n{w}_{0}t)+\sum _{n=1}^{+\infty }{b}_{n}sin(n{w}_{0}t)$$

4-2-1 分量系数与正交函数集

要推导得到正余弦分量系数，这并不难，可以参考上面（指数形式傅里叶级数展开）对频谱系数 $c_k$ 推导过程，这里将上面的结论直接放到这里：

$${\int }_T{e}^{j(k-n)w_{0}t}dt=\{\begin{array}{ll}{T}_0& k=n\\ 0& k\ne n\end{array}$$

这里不得不提到正交函数集（上面是复指数正交函数集），下面直接给出三角正交函数集结论：

$${\int }_{T_0}cos(n{w}_{0}t)\ast cos(m{w}_{0}t)dt=\{\begin{array}{ll}\frac{T_0}{2}，& m=n\\ 0，& m\ne n\end{array}$$
$${\int }_{T_0}sin(n{w}_{0}t)\ast sin(m{w}_{0}t)dt=\{\begin{array}{ll}\frac{T_0}{2}，& m=n\\ 0，& m\ne n\end{array}$$

• 三角正交函数集的推导过程：
  由于积化和差公式：
  $$cosA\cdot cosB=\frac{1}{2}[cos(A-B)+cos(A+B)]$$
  则：
  $${\int }_{T_0}cos(n{w}_{0}t)\ast cos(m{w}_{0}t)dt=\frac{1}{2}{\int }_{T_0}[cos((n-m)w_{0}t)+cos((n+m)w_{0}t)]dt=I$$
  1)当 $n=m$ 时
  $$I=\frac{1}{2}{\int }_{T_0}[1+cos(2n{w}_{0}t)]dt$$
  现在的 $w_1=2n{w}_0$，则 $T_0$ 一定是 $T_1$ 的整数倍，在整数倍周期上积分的三角函数为0，则 $I=\frac{T}{2}$
  2)当 $n\ne m$ 时
  同理，利用“整数倍周期上积分的三角函数为0”性质，则 $I=0$

---

结论：

• 直流系数
  $$a_0=\frac{1}{T}{\int }_T\hat{f}(t)dt$$
• 余弦分量系数
  $$a_n=\frac{2}{T}{\int }_T\hat{f}(t)cos(n{w}_{0}t)dt$$
• 正弦分量系数
  $$b_n=\frac{2}{T}{\int }_T\hat{f}(t)sin(n{w}_{0}t)dt$$
  其中，如果视直流分量为 $cos(n{w}_{0}t)$ 在 $n=0$ 时的取值，则
  $$a_0=\frac{2}{T}{\int }_T\hat{f}(t)dt$$
  且原来的展开式需要改成：
  $$\hat{f}(t)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{+\infty }{a}_{n}cos(n{w}_{0}t)+\sum _{n=1}^{+\infty }{b}_{n}sin(n{w}_{0}t)$$

---

• 由于 $a_{n}cos(n{w}_{0}t)+b_{n}sin(n{w}_{0}t)$ 实际上就是等同于余弦的相移的结果：$A_{n}cos(n{w}_{0}t+{\phi }_n)$
  则：
  $$\hat{f}(t)=A_0+\sum _{n=1}^{+\infty }{A}_{n}cos(n{w}_{0}t+{\phi }_n)$$
  其中
  $$\{\begin{array}{l}{A}_n=\sqrt{a_n^2+b_n^2}\\ {\phi }_n=-arctan\frac{b_n}{a_n}\end{array}$$

4-2-2 从三角形式到指数形式

由于
$$f(t)=A_0+\sum _{n=1}^{+\infty }{A}_{n}cos(n{w}_{0}t+{\phi }_n)$$
且有欧拉公式
$$\{\begin{array}{l}cosx=\frac{e^{jx}+e^{-jx}}{2}\\ sinx=\frac{e^{jx}-e^{-jx}}{2j}\end{array}$$
则：
$$f(t)=A_0+\sum _{n=1}^{+\infty }\frac{A_n}{2}(e^{j(n{w}_{0}t+{\phi }_n)}+e^{-j(n{w}_{0}t+{\phi }_n)})$$
提出相移项
$$f(t)=A_0+\sum _{n=1}^{+\infty }(\frac{A_n}{2}{e}^{j{\phi }_n})e^{jn{w}_{0}t}+\sum _{n=1}^{+\infty }(\frac{A_n}{2}{e}^{-j{\phi }_n})e^{-jn{w}_{0}t}$$

则频系数

$$Fn=\{\begin{array}{ll}\frac{A_n}{2}{e}^{j{\phi }_n}& n=1,2,\mathrm{3..}\\ \frac{A_n}{2}{e}^{-j{\phi }_n}& n=-1,-2,-\mathrm{3..}\end{array}$$

其中

$$\frac{A_n}{2}{e}^{j{\phi }_n}=\frac{A_n}{2}(cos{\phi }_n-jsin{\phi }_n)$$

由于 $a_n$ 是 $A_n$ 的余弦分量， $b_n$ 是 $A_n$ 的正弦分量，则

$$\{\begin{array}{l}{a}_n=A_{n}cos{\phi }_n\\ b_n=A_{n}sin{\phi }_n\end{array}$$

则：

$$F_n=\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}(a_n-j{b}_n)\\ \frac{1}{2}(a_n+j{b}_n)\end{array}$$

代入上面的正余弦系数结论

$$\{\begin{array}{l}{a}_n=\frac{2}{T}{\int }_T\hat{f}(t)cos(n{w}_{0}t)dt\\ b_n=\frac{2}{T}{\int }_T\hat{f}(t)sin(n{w}_{0}t)dt\end{array}$$

到上面的式子中，得到：

$$\{\begin{array}{ll}{F}_n=\frac{1}{T}\ast {\int }_T{e}^{-jn{w}_{0}t}\ast f(t)dt& n=1,2,\mathrm{3..}\\ F_{-n}=\frac{1}{T}\ast {\int }_T{e}^{jn{w}_{0}t}\ast f(t)dt& n=1,2,\mathrm{3..}\end{array}$$

合并得：
$$F_k=\frac{1}{T}\ast {\int }_T{e}^{-jk{w}_{0}t}\ast f(t)dt$$
可见，这里的 $F_k$ 就是前面提到的 $c_k$

4-2-3 几何表示

图源：陈爱军《深入浅出通信原理》一书p124

• 周期信号 $f(t)$ 经过傅里叶级数展开后（过程是时域向频域的转换）
  
  三维频谱可以看到一系列不同频率上对应的幅度

---

由于x轴是实轴，y轴是虚轴

• 以上面提到的方波信号为例
  该方波信号为偶函数，没有正弦分量，则没有虚部，且虚轴无需画出
  
  $F_n$ 为实数时