1.线段树的概念
线段树是一种二叉树,也就是对于一个线段,我们会用一个二叉树来表示。
这个其实就是一个线段树,我们会将其每次从中间分开,其左孩子就是左边的集合的和,其右孩子就是右边集合的和;
我们可以用一个结构体tree去表示线段树的结点,tree.L代表线段树左边界,tree.R代表线段树的右边界;
因此我们可以得到一个结论,对于一个节点编号为i的结点,其左孩子的编号为i*2,其右孩子编号为i*2+1;
因此我们可以得到结论:tree[i].sum=tree[i∗2].sum+tree[i∗2+1].sum;
那么首先写出我们的建树代码
//建树代码
void build(int i,int l,int r)
{
tree[i].l=l;
tree[i].r=r;
if(l==r)
{
tree[i].sum=a[l];
return ;
}
int mid=l+r>>1;
build(i*2,l,mid);
build(i*2+1,mid+1,r);
//有些题目可能没有最后的加,因为那个可能只是想算叶子结点的最后的值,所以中间的可以不记录,都是0
tree[i].sum=tree[i∗2].sum+tree[i∗2+1].sum;
}
2 .基本线段树的类型
1.单点修改,区间查询
首先是如何查询呢?
我们可以首先判断查询的是在某个规定的区间(用户输入的)吗?
int cha(int i,int l,int r)//i是编号点,l是规定的左边界,r是右边界
{
if(tree[i].l>=l && tree[i].r<=r)//如果这个区间被完全包括在目标区间里面,直接返回这个区间的值
return tree[i].sum;
if(tree[i].r<l || tree[i].l>r) return 0;//如果这个区间和目标区间毫不相干,返回0
int s=0;
if(tree[i*2].r>=l)
s+=cha(i*2,l,r);//如果这个区间的左儿子和目标区间又交集,那么搜索左儿子
if(tree[i*2+1].l<=r)
s+=cha(i*2+1,l,r);//如果这个区间的右儿子和目标区间又交集,那么搜索右儿子
return s;
}
单点修改操作
void add(int i,int dis,int k)//dis目标位置,k要加上的数值
{
if(tree[i].l==tree[i].r)//如果找到叶子结点,就说明找到了,要在这个位置+k
{
tree[i].sum+=k
return ;
}
if(dis<=tree[i*2].r)//当目标位置,在左孩子
add(2*i,dis,k);
if(dis>=tree[i*2+1].l)//当目标位置在右孩子
add(2*i+1,dis,k);
tree[i].sum=tree[i*2].sum+tree[i*2+1].sum;//更新区间值
return ;
}
2.区间修改,单点查询
区间修改:
void add(int i,int l,int r,int k)//l左边界,r右边界,k加的数值
{
if(tree[i].l>=l&&tree[i].r<=r)//当某个区间在范围内就可以在这个地方做+k的标记
{
tree[i].sum+=k;
return ;
}
if(tree[i*2].r>=l)//如果左孩子与目标区间有交集
add(i*2,l,r,k);
if(tree[i*2+1].l<=r)//右孩子与目标区间有关系
add(i*2+1,l,r,k);
}
单点查询:
void cha(int i,int dis)//dis目标值
{
ans+=tree[i].sum;//把路上做的标记全加上
if(tree[i].l==tree[i].r)//如果到了叶子结点就停止
return ;
if(dis<=tree[i*2].r)//目标值在左孩子
cha(i*2,dis);
if(dis>=tree[i*2+1].l)//目标值在右孩子
cha(i*2+1,dis);
}
3.区间修改,区间查询
区间修改和区间查询,我们需要一个pushdown函数用于将标记可以推下去,让每一个孩子都能够加上需要加的值,我们当有一个区间符合需要加的时候,先给这个区间做一个lz标记,用于表示这个区间每个数都需要加上lz,用pushdown把标记推下去,证明每个数都需要加上这个值
pushdown函数:
void pushdown(int i)
{
if(tree[i].lz!=0)
{
tree[i*2].lz+=tree[i].lz;//左右儿子分别加上父亲的lz,就是给儿子做标记
tree[i*2+1].lz+=tree[i].lz;
int mid=(tree[i].l+tree[i].r)>>1;
tree[i*2].sum+=tree[i].lz*(mid-tree[i*2].l+1);//左右分别求和加起来
tree[i*2+1].sum+=tree[i].lz*(tree[i*2+1].r-mid);
tree[i].lz=0;//父亲lz归零
}
return ;
}
此时我们就是需要在区间修改函数add里面进行pushdown的调用
void add(int i,int l,int r,int k)
{
if(tree[i].r<=r && tree[i].l>=l)//如果当前区间被完全覆盖在目标区间里,讲这个区间的sum+k*(tree[i].r-tree[i].l+1)
{
tree[i].sum+=k*(tree[i].r-tree[i].l+1);
tree[i].lz+=k;//记录lazytage
return ;
}
pushdown(i);//向下传递
if(tree[i*2].r>=l)
add(i*2,l,r,k);
if(tree[i*2+1].l<=r)
add(i*2+1,l,r,k);
tree[i].sum=tree[i*2].sum+tree[i*2+1].sum;
return ;
}
同时在区间查询cha函数里面也需要调用这个pushdown
long long cha(int i,int l,int r)
{
if(tree[i].l>=l && tree[i].r<=r)//如果在对应的区间内就直接加上这部分的和
return tree[i].sum;
if(tree[i].r<l || tree[i].l>r) //如果毫无关系,直接跳过
return 0;
pushdown(i);//调用
long long s=0;
if(tree[i*2].r>=l) //如果左孩子和这个目标区间有交集
s+=cha(i*2,l,r);
if(tree[i*2+1].l<=r) //右孩子和目标区间有交集
s+=cha(i*2+1,l,r);
return s;
}
3.相关例题
1.模版树状数组
题解:这题就是属于区间修改,单点查询的模版题
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m;
int t;
int flag;
int a[500005];
int ans;
struct node
{
int l;
int r;
int sum;
}tree[500005*4];
void build(int i,int l,int r)
{
tree[i].l=l;
tree[i].r=r;
if(l==r)
{
tree[i].sum=a[l];
return ;
}
int mid=l+r>>1;
build(i*2,l,mid);
build(i*2+1,mid+1,r);
}
void add(int i,int l,int r,int k)
{
if(tree[i].l>=l&&tree[i].r<=r)
{
tree[i].sum+=k;
return ;
}
if(tree[i*2].r>=l)
add(i*2,l,r,k);
if(tree[i*2+1].l<=r)
add(i*2+1,l,r,k);
}
void cha(int i,int dis)
{
ans+=tree[i].sum;
if(tree[i].l==tree[i].r)
return ;
if(dis<=tree[i*2].r)
cha(i*2,dis);
if(dis>=tree[i*2+1].l)
cha(i*2+1,dis);
}
int main()
{
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
cin>>a[i];
}
build(1,1,n);
while(m--)
{
cin>>flag;
if(flag==1)
{
int x,y,z;
cin>>x>>y>>z;
add(1,x,y,z);
}
else
{
ans=0;
int x;
cin>>x;
cha(1,x);
printf("%d\n",ans);
}
}
return 0;
}
2.模版线段树1
题解:如果这题用区间修改,单点查询再累加,那么时间会超限的(!!!!!!!)
因此我们要用区间修改,区间查询(一开始没学这个就写了,所以以后一定要先学完,再去尝试写,害我TLE了一次)
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <queue>
#include <cstring>
using namespace std;
int n,m;
int flag;
long long ans=0;
long long a[100005];
struct node
{
int l;
int r;
long long sum;
long long lz;
}tree[500005];
void build(int i,int l,int r)
{
tree[i].l=l;
tree[i].r=r;
if(l==r)
{
tree[i].sum=a[l];
return ;
}
int mid=l+r>>1;
build(i*2,l,mid);
build(i*2+1,mid+1,r);
tree[i].sum = tree[i * 2].sum + tree[i * 2 + 1].sum;
}
void pushdown(int i)
{
if(tree[i].lz!=0)
{
tree[i*2].lz+=tree[i].lz;//左右儿子分别加上父亲的lz
tree[i*2+1].lz+=tree[i].lz;
int mid=(tree[i].l+tree[i].r)>>1;
tree[i*2].sum+=tree[i].lz*(mid-tree[i*2].l+1);//左右分别求和加起来
tree[i*2+1].sum+=tree[i].lz*(tree[i*2+1].r-mid);
tree[i].lz=0;//父亲lz归零
}
return ;
}
void add(int i,int l,int r,int k)
{
if(tree[i].r<=r && tree[i].l>=l)//如果当前区间被完全覆盖在目标区间里,讲这个区间的sum+k*(tree[i].r-tree[i].l+1)
{
tree[i].sum+=k*(tree[i].r-tree[i].l+1);
tree[i].lz+=k;//记录lazytage
return ;
}
pushdown(i);//向下传递
if(tree[i*2].r>=l)
add(i*2,l,r,k);
if(tree[i*2+1].l<=r)
add(i*2+1,l,r,k);
tree[i].sum=tree[i*2].sum+tree[i*2+1].sum;
return ;
}
long long cha(int i,int l,int r)
{
if(tree[i].l>=l && tree[i].r<=r)
return tree[i].sum;
if(tree[i].r<l || tree[i].l>r)
return 0;
pushdown(i);
long long s=0;
if(tree[i*2].r>=l)
s+=cha(i*2,l,r);
if(tree[i*2+1].l<=r)
s+=cha(i*2+1,l,r);
return s;
}
int main()
{
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
cin>>a[i];
}
build(1,1,n);
while(m--)
{
cin>>flag;
if(flag==1)
{
long long x,y,z;
cin>>x>>y>>z;
add(1,x,y,z);
}
else
{
ans=0;
long long x,y;
cin>>x>>y;
ans=cha(1,x,y);
printf("%lld\n",ans);
}
}
return 0;
}
3.A Simple Problem with Integers
题解:一样是区间修改区间查询,纯纯水题一个,实在不会看第二题
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <queue>
#include <cstring>
using namespace std;
int n,m;
char flag;
long long ans=0;
long long a[100005];
struct node
{
int l;
int r;
long long sum;
long long lz;
}tree[500005];
void build(int i,int l,int r)
{
tree[i].l=l;
tree[i].r=r;
if(l==r)
{
tree[i].sum=a[l];
return ;
}
int mid=l+r>>1;
build(i*2,l,mid);
build(i*2+1,mid+1,r);
tree[i].sum = tree[i * 2].sum + tree[i * 2 + 1].sum;
}
void pushdown(int i)
{
if(tree[i].lz!=0)
{
tree[i*2].lz+=tree[i].lz;//左右儿子分别加上父亲的lz
tree[i*2+1].lz+=tree[i].lz;
int mid=(tree[i].l+tree[i].r)>>1;
tree[i*2].sum+=tree[i].lz*(mid-tree[i*2].l+1);//左右分别求和加起来
tree[i*2+1].sum+=tree[i].lz*(tree[i*2+1].r-mid);
tree[i].lz=0;//父亲lz归零
}
return ;
}
void add(int i,int l,int r,int k)
{
if(tree[i].r<=r && tree[i].l>=l)//如果当前区间被完全覆盖在目标区间里,讲这个区间的sum+k*(tree[i].r-tree[i].l+1)
{
tree[i].sum+=k*(tree[i].r-tree[i].l+1);
tree[i].lz+=k;//记录lazytage
return ;
}
pushdown(i);//向下传递
if(tree[i*2].r>=l)
add(i*2,l,r,k);
if(tree[i*2+1].l<=r)
add(i*2+1,l,r,k);
tree[i].sum=tree[i*2].sum+tree[i*2+1].sum;
return ;
}
long long cha(int i,int l,int r)
{
if(tree[i].l>=l && tree[i].r<=r)
return tree[i].sum;
if(tree[i].r<l || tree[i].l>r)
return 0;
pushdown(i);
long long s=0;
if(tree[i*2].r>=l)
s+=cha(i*2,l,r);
if(tree[i*2+1].l<=r)
s+=cha(i*2+1,l,r);
return s;
}
int main()
{
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
cin>>a[i];
}
build(1,1,n);
while(m--)
{
cin>>flag;
if(flag=='C')
{
long long x,y,z;
cin>>x>>y>>z;
add(1,x,y,z);
}
else
{
ans=0;
long long x,y;
cin>>x>>y;
ans=cha(1,x,y);
printf("%lld\n",ans);
}
}
return 0;
}