完全背包问题模版
有N件物品和一个最多能背重量为W的背包。第i件物品的重量是weight[i],得到的价值是value[i] 。每件物品都有无限个(也就是可以放入背包多次),求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。
完全背包和01背包问题唯一不同的地方就是,每种物品有无限件。
依然举这个例子:
背包最大重量为4。物品为:
重量 | 价值 | |
---|---|---|
物品0 | 1 | 15 |
物品1 | 3 | 20 |
物品2 | 4 | 30 |
每件商品都有无限个!
问背包能背的物品最大价值是多少?
01背包和完全背包唯一不同就是体现在遍历顺序上
回顾一下01背包的核心代码
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
}
}
我们知道01背包内嵌的循环是从大到小遍历,为了保证每个物品仅被添加一次。
而完全背包的物品是可以添加多次的,所以要从小到大去遍历,即:
// 先遍历物品,再遍历背包
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
for(int j = weight[i]; j <= bagWeight ; j++) { // 遍历背包容量
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
}
}
01背包中二维dp数组的两个for遍历的先后循序是可以颠倒了,一维dp数组的两个for循环先后循序一定是先遍历物品,再遍历背包容量。
在完全背包中,对于一维dp数组来说,其实两个for循环嵌套顺序是无所谓的!
因为dp[j] 是根据 下标j之前所对应的dp[j]计算出来的。 只要保证下标j之前的dp[j]都是经过计算的就可以了。
代码实现1:
// 先遍历物品,再遍历背包
void test_CompletePack() {
vector<int> weight = {1, 3, 4};
vector<int> value = {15, 20, 30};
int bagWeight = 4;
vector<int> dp(bagWeight + 1, 0);
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
for(int j = weight[i]; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
}
}
cout << dp[bagWeight] << endl;
}
int main() {
test_CompletePack();
}
代码实现2:
// 先遍历背包,再遍历物品
void test_CompletePack() {
vector<int> weight = {1, 3, 4};
vector<int> value = {15, 20, 30};
int bagWeight = 4;
vector<int> dp(bagWeight + 1, 0);
for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
if (j - weight[i] >= 0) dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
}
}
cout << dp[bagWeight] << endl;
}
int main() {
test_CompletePack();
}
详细解析:
思路视频
代码实现文章
完全背包问题应用
518 零钱兑换 II(medium)
给你一个整数数组 coins 表示不同面额的硬币,另给一个整数 amount 表示总金额。
请你计算并返回可以凑成总金额的硬币组合数。如果任何硬币组合都无法凑出总金额,返回 0 。
假设每一种面额的硬币有无限个。
题目数据保证结果符合 32 位带符号整数。
思路:完全背包问题,本题为组合,关键在于内外侧循环的顺序
注意题目描述中是凑成总金额的硬币组合数,为什么强调是组合数呢?
例如示例一:
5 = 2 + 2 + 1
5 = 2 + 1 + 2
这是一种组合,都是 2 2 1。
如果问的是排列数,那么上面就是两种排列了。
组合不强调元素之间的顺序,排列强调元素之间的顺序。
回归本题,动规五步曲来分析如下:
- 确定dp数组以及下标的含义
dp[j]:凑成总金额j的货币组合数为dp[j]
- 确定递推公式
dp[j] 就是所有的dp[j - coins[i]](考虑coins[i]的情况)相加。
所以递推公式:dp[j] += dp[j - coins[i]];
- dp数组如何初始化
首先dp[0]一定要为1,dp[0] = 1是 递归公式的基础。如果dp[0] = 0 的话,后面所有推导出来的值都是0了。
那么 dp[0] = 1 有没有含义,其实既可以说 凑成总金额0的货币组合数为1,也可以说 凑成总金额0的货币组合数为0,好像都没有毛病。
但题目描述中,也没明确说 amount = 0 的情况,结果应该是多少。后台测试数据是默认,amount = 0 的情况,组合数为1的。
下标非0的dp[j]初始化为0,这样累计加dp[j - coins[i]]的时候才不会影响真正的dp[j]
dp[0]=1还说明了一种情况:如果正好选了coins[i]后,也就是j-coins[i] == 0的情况表示这个硬币刚好能选,此时dp[0]为1表示只选coins[i]存在这样的一种选法。
- 确定遍历顺序
本题中我们是外层for循环遍历物品(钱币),内层for遍历背包(金钱总额),还是外层for遍历背包(金钱总额),内层for循环遍历物品(钱币)呢?
纯完全背包求得装满背包的最大价值是多少,和凑成总和的元素有没有顺序没关系,即:有顺序也行,没有顺序也行!
而本题要求凑成总和的组合数,元素之间明确要求没有顺序。
所以纯完全背包是能凑成总和就行,不用管怎么凑的。
本题是求凑出来的方案个数,且每个方案个数是为组合数。
那么本题,两个for循环的先后顺序可就有说法了。
先来看 外层for循环遍历物品(钱币),内层for遍历背包(金钱总额)的情况。
代码如下:
for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量
dp[j] += dp[j - coins[i]];
}
}
假设:coins[0] = 1,coins[1] = 5。
那么就是先把1加入计算,然后再把5加入计算,得到的方法数量只有{1, 5}这种情况。而不会出现{5, 1}的情况。
所以这种遍历顺序中dp[j]里计算的是组合数!
如果把两个for交换顺序,代码如下:
for (int j = 0; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量
for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
if (j - coins[i] >= 0) dp[j] += dp[j - coins[i]];
}
}
背包容量的每一个值,都是经过 1 和 5 的计算,包含了{1, 5} 和 {5, 1}两种情况。
此时dp[j]里算出来的就是排列数!
- 举例推导dp数组
输入: amount = 5, coins = [1, 2, 5] ,dp状态图如下:
最后红色框dp[amount]为最终结果。
代码实现:
class Solution {
public:
int change(int amount, vector<int>& coins) {
vector<int> dp(amount + 1, 0);
dp[0] = 1;
for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍历背包
dp[j] += dp[j - coins[i]];
}
}
return dp[amount];
}
};
时间复杂度: O(mn),其中 m 是amount,n 是 coins 的长度
空间复杂度: O(m)
详细讲解:
思路视频
代码实现文章
377 组合总和 Ⅳ(medium)
给你一个由 不同 整数组成的数组 nums ,和一个目标整数 target 。请你从 nums 中找出并返回总和为 target 的元素组合的个数。
题目数据保证答案符合 32 位整数范围。
思路:完全背包问题,本题为排列,关键在于内外侧循环的顺序
代码实现:
class Solution {
public:
int combinationSum4(vector<int>& nums, int target) {
vector<int> dp(target + 1, 0);
dp[0] = 1;
for (int i = 0; i <= target; i++) { // 遍历背包
for (int j = 0; j < nums.size(); j++) { // 遍历物品
if (i - nums[j] >= 0 && dp[i] < INT_MAX - dp[i - nums[j]]) {
dp[i] += dp[i - nums[j]];
}
}
}
return dp[target];
}
};
- 时间复杂度: O(target * n),其中 n 为 nums 的长度
- 空间复杂度: O(target)
C++测试用例有两个数相加超过int的数据,所以需要在if里加上dp[i] < INT_MAX - dp[i - num]。
详细讲解:
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代码实现文章