一.基底(Basis)
1.什么是生成集(Generating Set)?什么是张成空间(Span)?
存在向量空间V=(V,+,*),和向量集(xi是所说的列向量),如果每一个属于V的向量都能被A中向量线性组合来表示,那么说明 A 是向量空间 V 的生成集,A的所有线性组合(所有线性组合不同)称为A的张成空间。
如果A张成了线性空间V,写成V=span[A]=span[x1,...,xk]。
2.什么是基底(Basis)?
基底是相对于向量空间来说的,每一个向量空间都拥有一个基底。例如向量空间V,向量空间V的基底B是向量空间V最小的(除了B之外没有B的子集可以张成向量空间V)线性无关的生成集。对于基底B,增加任何其他向量到B中都会让这个向量集合线性相关,所以基底B也称作向量空间V中最大线性无关的集合。
举例:的标准基是(当然不止下面这几个)
3.如何定义向量空间的维数(dimension)?
对于一个确定的向量空间V,向量空间V的基底中基向量(列向量)的个数是相同的。并且基底中基向量的个数等于向量空间的维数。
4.给定一个矩阵A(n个列向量),A是向量空间V的子集,如何找到A张成的向量空间的基底?
根据行阶梯法找到A中线性无关的向量组合。
二.秩(Rank)
1.什么是矩阵A的秩rk(A)?
矩阵,矩阵A线性无关的行向量的个数=矩阵A线性无关的列向量的个数=rk(A)。
2.矩阵的秩的性质如下:
矩阵A的秩=矩阵A的转置的秩
矩阵的列向量张成一个子空间,dim(U)=rk(A)
如果矩阵是正则的/可逆的,那么rk(A)=n
线性方程组有解的条件是rk(A)=rk(A|b)
对于,的解的维数是n-rk(A)
如果满秩,那么rk(A)=min(m,n)
三.线性映射(Linear Mapping)
1.什么是线性映射?
对于向量空间V和W,存在一种映射称为线性映射并且要满足下面的条件:。
2.什么是单射双射满射?
单射满射双射都是基于线性映射,满足不同的情况的时候线性映射称为单射满射双射。
单射(injective):原域中的样本对应目标域中的不同元素。
满射(surjective):原域中至少存在一个目标域对应元素,原域中的样本就应该把目标域中的样本对应满。
双射(bijective):单射和满射
3.什么是同构(Isomorpshism)?什么是自同态(Endomorphism)?什么是自同构(Automorphism)?
同构:线性映射and双射,两个有限维度的向量空间同构说明他们的维度相同。如果是同构的,那么也是同构的。
自同态:,线性
自同构:,线性and双射
4.什么是坐标(coordinate)?
对于一个线性空间V,和向量空间V的有序基底B=(b1,...bn),对于任何一个,我们都能得到一个唯一的线性组合,这些α1...αn称为是向量x相对于基底B的坐标。如果基底B不同,那么表示一个向量x的坐标不同。
5.什么是转换矩阵(Transformation Matrix)?
对于向量空间V和W,考虑向量空间V的基底和向量空间W的基底,并且考虑由V到W的线性映射φ,有:
我们称作转换矩阵A,。
6.什么是恒等变换(Identity mapping)?
,称为恒等映射或者恒等自同态。
7.什么是基变换(Basis Change)?
基变换是指在一个向量空间内,由一组基向量变换为另一组基向量,因为在同一个向量空间中,一个点x在不同基底下的坐标不同。若两组基向量不在同一个向量空间中则不能直接进行基变换。一个向量乘以一个方阵说明这个向量在相同空间变换,如果乘以一个矩阵那么说明这个向量在不同空间变换。
8.什么是核(Kernel)和象(Image)?
9.什么是秩零化度定理(rank-nullity theorem)?
对于向量空间V和W,存在线性映射,那么dim(ker(φ))+dim(Im(φ))=dim(V)
10.什么是仿射变换(Affine mapping)?
仿射变换=线性变换+平移
对于两个向量空间V和W,存在线性映射,,那么称作为从向量空间V到向量空间W的仿射映射。