保研线性代数复习3

一.基底(Basis)

1.什么是生成集(Generating Set)?什么是张成空间(Span)?

存在向量空间V=(V,+,*),和向量集A=\left \{ x_1,...,x_k \right \}\subseteq V(xi是所说的列向量),如果每一个属于V的向量都能被A中向量线性组合来表示,那么说明 A 是向量空间 V 的生成集A的所有线性组合(所有线性组合不同)称为A的张成空间。

如果A张成了线性空间V,写成V=span[A]=span[x1,...,xk]。

2.什么是基底(Basis)?

基底是相对于向量空间来说的每一个向量空间都拥有一个基底例如向量空间V,向量空间V的基底B是向量空间V最小的(除了B之外没有B的子集可以张成向量空间V)线性无关的生成集。对于基底B,增加任何其他向量到B中都会让这个向量集合线性相关,所以基底B也称作向量空间V中最大线性无关的集合。

举例:R^3的标准基是(当然不止下面这几个)

3.如何定义向量空间的维数(dimension)?

对于一个确定的向量空间V,向量空间V的基底中基向量(列向量)的个数是相同的。并且基底中基向量的个数等于向量空间的维数。

4.给定一个矩阵A(n个列向量),A是向量空间V的子集,如何找到A张成的向量空间的基底?

根据行阶梯法找到A中线性无关的向量组合。

二.秩(Rank)

1.什么是矩阵A的秩rk(A)?

矩阵A\epsilon R^{m*n}矩阵A线性无关的行向量的个数=矩阵A线性无关的列向量的个数=rk(A)

2.矩阵的秩的性质如下:

矩阵A的秩=矩阵A的转置的秩

矩阵A\epsilon R^{m*n}的列向量张成一个子空间U\epsilon R^m,dim(U)=rk(A)

如果矩阵A\epsilon R^{m*n}是正则的/可逆的,那么rk(A)=n

线性方程组Ax=b有解的条件是rk(A)=rk(A|b)

对于A\epsilon R^{m*n}Ax=0的解的维数是n-rk(A)

如果A\epsilon R^{m*n}满秩,那么rk(A)=min(m,n)

三.线性映射(Linear Mapping)

1.什么是线性映射?

对于向量空间V和W,存在一种映射\Phi:V\rightarrow W称为线性映射并且要满足下面的条件:

2.什么是单射双射满射?

单射满射双射都是基于线性映射,满足不同的情况的时候线性映射称为单射满射双射。

单射(injective):原域中的样本对应目标域中的不同元素。

满射(surjective):原域中至少存在一个目标域对应元素,原域中的样本就应该把目标域中的样本对应满。

双射(bijective):单射和满射

3.什么是同构(Isomorpshism)?什么是自同态(Endomorphism)?什么是自同构(Automorphism)?

同构:线性映射and双射,两个有限维度的向量空间同构说明他们的维度相同。如果\Phi是同构的,那么\Phi ^{-1}也是同构的。

自同态:\Phi: V\rightarrow V,线性

自同构:\Phi: V\rightarrow V,线性and双射

4.什么是坐标(coordinate)?

对于一个线性空间V,和向量空间V的有序基底B=(b1,...bn),对于任何一个x\in V,我们都能得到一个唯一的线性组合x=\alpha_1b_1+...+\alpha_nb_n,这些α1...αn称为是向量x相对于基底B的坐标。如果基底B不同,那么表示一个向量x的坐标不同。

5.什么是转换矩阵(Transformation Matrix)?

对于向量空间V和W,考虑向量空间V的基底B=(b_1,...,b_n)和向量空间W的基底C=(c_1,...,c_m),并且考虑由V到W的线性映射φ,有:

我们称作转换矩阵A,A_\phi(i,j)=\alpha_{ij}

6.什么是恒等变换(Identity mapping)?

id_v: V \rightarrow V,x \rightarrow x,称为恒等映射或者恒等自同态。

7.什么是基变换(Basis Change)?

基变换是指在一个向量空间内,由一组基向量变换为另一组基向量,因为在同一个向量空间中,一个点x在不同基底下的坐标不同。若两组基向量不在同一个向量空间中则不能直接进行基变换。一个向量乘以一个方阵说明这个向量在相同空间变换,如果乘以一个矩阵那么说明这个向量在不同空间变换。

8.什么是核(Kernel)和象(Image)?

9.什么是秩零化度定理(rank-nullity theorem)?

对于向量空间V和W,存在线性映射\Phi:V\rightarrow W,那么dim(ker(φ))+dim(Im(φ))=dim(V)

10.什么是仿射变换(Affine mapping)?

仿射变换=线性变换+平移

对于两个向量空间V和W,存在线性映射\Phi:V\rightarrow Wa \in W,那么称作\phi: V \rightarrow Wx \rightarrow a+\Phi(x)为从向量空间V到向量空间W的仿射映射。

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