汉诺塔问题的递归算法解析

文章目录

汉诺塔问题的递归算法解析
- 问题描述
- 递归算法思路
- 代码实现
- 算法复杂度分析
- 总结

汉诺塔问题的递归算法解析

问题描述

汉诺塔问题是一个经典的递归算法问题。问题描述如下：

在经典汉诺塔问题中，有 3 根柱子及 N 个不同大小的穿孔圆盘，盘子可以滑入任意一根柱子。一开始，所有盘子自上而下按升序依次套在第一根柱子上(即每一个盘子只能放在更大的盘子上面)。移动圆盘时受到以下限制:
(1) 每次只能移动一个盘子;
(2) 盘子只能从柱子顶端滑出移到下一根柱子;
(3) 盘子只能叠在比它大的盘子上。

请编写程序，用栈将所有盘子从第一根柱子移到最后一根柱子。

你需要原地修改栈。

示例1:
输入：A = [2, 1, 0], B = [], C = []
输出：C = [2, 1, 0]

示例2:
输入：A = [1, 0], B = [], C = []
输出：C = [1, 0]

提示:

A中盘子的数目不大于14个。

递归算法思路

汉诺塔问题可以使用递归算法来解决。递归算法的核心思想是将问题分解为子问题，通过解决子问题来解决原问题。

对于汉诺塔问题，我们可以将其分解为以下三个步骤：

将前 n-1 个盘子从源柱子移动到辅助柱子上。
将第 n 个盘子从源柱子移动到目标柱子上。
将前 n-1 个盘子从辅助柱子移动到目标柱子上。

递归的基础情况是当只有一个盘子时，直接将其从源柱子移动到目标柱子即可。

代码实现

以下是使用递归算法解决汉诺塔问题的代码实现：

class Solution {
public:
    void hanota(vector<int>& A, vector<int>& B, vector<int>& C) {
        int n = A.size();
        move(n, A, B, C);
    }

    void move(int n, vector<int>& A, vector<int>& B, vector<int>& C) {
        if (n == 1) {
            C.push_back(A.back());
            A.pop_back();
            return;
        }
        
        move(n - 1, A, C, B);
        C.push_back(A.back());
        A.pop_back();
        move(n - 1, B, A, C);
    }
};

代码解释：

首先，我们定义了一个 hanota 函数，它接受三个栈作为参数，分别表示源柱子 A、辅助柱子 B 和目标柱子 C。
在 hanota 函数中，我们获取源柱子 A 中盘子的数量 n，然后调用 move 函数来进行递归移动。
move 函数接受四个参数：盘子数量 n、源柱子 A、辅助柱子 B 和目标柱子 C。
在 move 函数中，我们首先判断基础情况，即当 n 等于 1 时，直接将源柱子 A 的顶部盘子移动到目标柱子 C，并返回。
如果 n 大于 1，我们递归地调用 move 函数，将前 n-1 个盘子从源柱子 A 移动到辅助柱子 B，然后将第 n 个盘子从源柱子 A 移动到目标柱子 C，最后再递归地调用 move 函数，将前 n-1 个盘子从辅助柱子 B 移动到目标柱子 C。

通过这样的递归调用，我们可以完成汉诺塔问题的移动过程。