卡尔曼滤波笔记

资料:https://www.zhihu.com/question/47559783/answer/2988744371
https://www.zhihu.com/question/47559783
https://blog.csdn.net/seek97/article/details/120012667

一、基本思想

  • 在对一个状态值进行估计的时候,如果想测量值更准,很自然的一个想法就是用多个传感器去对同一个状态进行测量,然后取平均值。
    x 估计 = ( x 传感器 1 + x 传感器 2 ) 2 x_{估计} = \frac{(x_{传感器1} + x_{传感器2})}{2} x估计=2(x传感器1+x传感器2)

  • 如果不同的传感器之间准确度有区别,那么对不同传感器的测量值取加权值就很有必要了。
    x 估计 = α ∗ x 传感器 1 + ( 1 − α ) ∗ x 传感器 2 x_{估计} = \alpha*x_{传感器1} + (1-\alpha)*x_{传感器2} x估计=αx传感器1+(1α)x传感器2

  • 如果我们并没有多余的对状态直接测量的传感器,但是有物理模型。基于上一时刻的状态估计值对当前时刻进行预测,也可以作为一个“传感器”的测量值。
    x 估计 = α ∗ x 预测 + ( 1 − α ) ∗ x 传感器 x_{估计} = \alpha*x_{预测} + (1-\alpha)*x_{传感器} x估计=αx预测+(1α)x传感器

  • 至此,卡尔曼滤波的基本思想就给出了,通过预测值和测量值的加权和作为当前状态的估计。那么问题的关键就变成了如何设置权重才能让这个估计是最优估计。

二、如何获得权重

1、直观理解

在这里插入图片描述

  • 上面这种图中曲线是数值的概率分布情况(横轴是数值,纵轴是概率,积分是1),粉色曲线代表预测值,绿色代表测量值,蓝色是我们想得到的估计值。

  • 针对正态分布的数据,如果方差越大,概率就约集中,也说明数值越可信。以方差为权重,并考虑和为1,则有如下公式:
    x 估计 = σ 传感器 2 ( σ 传感器 2 + σ 预测 2 ) ∗ x 预测 + σ 预测 2 ( σ 传感器 2 + σ 预测 2 ) ∗ x 传感器 x_{估计} = \frac{{\sigma_{传感器}}^2}{({\sigma_{传感器}}^2+{\sigma_{预测}}^2)}*x_{预测} + \frac{{\sigma_{预测}}^2}{({\sigma_{传感器}}^2+{\sigma_{预测}}^2)}*x_{传感器} x估计=(σ传感器2+σ预测2)σ传感器2x预测+(σ传感器2+σ预测2)σ预测2x传感器

  • 如何从数学推导的角度印证上面这个公式呢?

2、数学推导

  • α \alpha α是最佳的权重
    x 估计 = α ∗ x 预测 + ( 1 − α ) ∗ x 传感器 x_{估计} = \alpha*x_{预测} + (1-\alpha)*x_{传感器} x估计=αx预测+(1α)x传感器
  • 基于概率公式进行推导
    σ 估计 2 = α 2 ∗ σ 预测 2 + ( 1 − α ) 2 ∗ σ 传感器 2 {\sigma_{估计}}^2 = {\alpha}^2*{\sigma_{预测}}^2+{(1-\alpha)}^2*{\sigma_{传感器}}^2 σ估计2=α2σ预测2+(1α)2σ传感器2
  • 基于导数=0计算 σ 估计 2 {\sigma_{估计}}^2 σ估计2的最小值
    σ 估计 = σ 传感器 2 ( σ 传感器 2 + σ 预测 2 ) \sigma_{估计} = \frac{{\sigma_{传感器}}^2}{({\sigma_{传感器}}^2+{\sigma_{预测}}^2)} σ估计=(σ传感器2+σ预测2)σ传感器2

3、迭代计算

  • 卡尔曼滤波有五个公式,相互联系组成了迭代更新的公式

(1)预测状态的更新公式

x t , t − 1 = a ∗ x ^ t − 1 , t − 1 + b + q x_{t,t-1} = a* {\hat x}_{t-1,t-1}+b+q xt,t1=ax^t1,t1+b+q

  • x t , t − 1 x_{t,t-1} xt,t1是这一次的预测状态值, x ^ t − 1 , t − 1 {\hat x}_{t-1,t-1} x^t1,t1是上一次的估计值。a是状态转移,b是控制量,q是先验的模型噪声(很多没有这一项)

(2)预测状态协方差的更新公式

σ t , t − 1 = a 2 ∗ σ x ^ t − 1 , t − 1 + σ q {\sigma}_{t,t-1} = a^2* {\sigma}_{{\hat x}_{t-1,t-1}}+{\sigma}_q σt,t1=a2σx^t1,t1+σq

  • 系统模型的方差是变化的,系统的方差来源于两部分,一部分是上一时刻的估计值导致的误差,我们利用模型计算当前的状态时,只能使用上一次的估计值代替实际值。另一部分就是模型本身的误差,模型本身也会存在着系统误差。

(3)卡尔曼增益的更新公式

k t = σ x , t − 1 σ x , t − 1 + σ z k_t = \frac{{\sigma}_{x,t-1}}{{\sigma}_{x,t-1}+{\sigma}_{z}} kt=σx,t1+σzσx,t1

  • 这就是上面推导出的对估计值方差的最佳估计,在这种情况下估计值应该方差最小
  • 传感器的方差一般是固定的,可以认为是先验知道的。预测值的方差在上一步已经获得。

(4)估计状态的更新公式

x ^ t = ( 1 − k t ) ∗ x t − 1 + k t ∗ z t {\hat x}_{t} = (1-k_t)*x_{t-1}+k_t*z_t x^t=(1kt)xt1+ktzt

(5)估计状态协方差的更新公式

  • 根据公式4就可以获得协方差:
    σ x ^ t = ( 1 − k t ) 2 ∗ σ x t − 1 + k t 2 ∗ σ z , t {\sigma}_{{\hat x}_{t}} = (1-k_t)^2*{\sigma}_{x_{t-1}}+k_t^2*{\sigma}_{z,t} σx^t=(1kt)2σxt1+kt2σz,t
  • 再把公式3代入:在这里插入图片描述

(6)扩展到多维情况

在这里插入图片描述

  • H是观测值到状态值的转换矩阵
  • Q是模型噪声,R是观测噪声。越小表示越相信对应的值,如果为0就代表完全相信(没有噪声当然可以完全相信了)

三、例子

(1)chatgpt生成的一维python代码

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def kalman_filter(data, Q, R):
    # 初始化
    x = 0
    P = 1
    result = []

    for z in data:
        # 预测
        x_pred = x             #没有控制量
        P_pred = P + Q

        # 更新
        K = P_pred / (P_pred + R)
        x = x_pred + K * (z - x_pred)
        P = (1 - K) * P_pred

        result.append(x)

    return result

# 生成随机数据
np.random.seed(42)
data = np.random.normal(0, 1, 50)  # 生成50个均值为0,方差为1的随机数

# 添加噪声
data_noisy = data + np.random.normal(0, 0.8, 50)  # 添加方差为0.8的高斯噪声

# 卡尔曼滤波
Q = 0.1
R = 0.5
filtered_data = kalman_filter(data_noisy, Q, R)

# 绘图
plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.plot(data, label='True Data', color='blue')
plt.plot(data_noisy, label='Noisy Data', color='red', alpha=0.7)
plt.plot(filtered_data, label='Filtered Data', color='green', linestyle='--')
plt.legend()
plt.xlabel('Time')
plt.ylabel('Value')
plt.title('Kalman Filter Example')
plt.show()

在这里插入图片描述

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