动态规划之子序列(三)

583. 两个字符串的删除操作

给定两个单词 word1 和 word2，找到使得 word1 和 word2 相同所需的最小步数，每步可以删除任意一个字符串中的一个字符。

示例：
输入: “sea”, “eat”
输出: 2
解释: 第一步将"sea"变为"ea"，第二步将"eat"变为"ea"

思路

动态规划一

本题和动态规划：115.不同的子序列相比，其实就是两个字符串都可以删除了，情况虽说复杂一些，但整体思路是不变的。

这次是两个字符串可以相互删了，这种题目也知道用动态规划的思路来解，动规五部曲，分析如下：

确定dp数组以及下标的含义
dp[i][j]：以i-1为结尾的字符串word1，和以j-1位结尾的字符串word2，想要达到相等，所需要删除元素的最少次数。

这里dp数组的定义有点点绕，大家要撸清思路。

确定递推公式
当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]相同的时候
当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]不相同的时候

当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]相同的时候，dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]不相同的时候，有三种情况：

情况一：删word1[i - 1]，最少操作次数为dp[i - 1][j] + 1
情况二：删word2[j - 1]，最少操作次数为dp[i][j - 1] + 1
情况三：同时删word1[i - 1]和word2[j - 1]，操作的最少次数为dp[i - 1][j - 1] + 2

那最后当然是取最小值，所以当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]不相同的时候，递推公式：dp[i][j] = min({dp[i - 1][j - 1] + 2, dp[i - 1][j] + 1, dp[i][j - 1] + 1});

因为 dp[i][j - 1] + 1 = dp[i - 1][j - 1] + 2，所以递推公式可简化为：dp[i][j] = min(dp[i - 1][j] + 1, dp[i][j - 1] + 1);

这里可能有点迷糊，从字面上理解 就是 当 同时删word1[i - 1]和word2[j - 1]，dp[i][j-1] 本来就不考虑 word2[j - 1]了，那么我在删 word1[i - 1]，是不是就达到两个元素都删除的效果，即 dp[i][j-1] + 1。

dp数组如何初始化
从递推公式中，可以看出来，dp[i][0] 和 dp[0][j]是一定要初始化的。

dp[i][0]：word2为空字符串，以i-1为结尾的字符串word1要删除多少个元素，才能和word2相同呢，很明显dp[i][0] = i。

确定遍历顺序
从递推公式 dp[i][j] = min(dp[i - 1][j - 1] + 2, min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + 1); 和dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]可以看出dp[i][j]都是根据左上方、正上方、正左方推出来的。

所以遍历的时候一定是从上到下，从左到右，这样保证dp[i][j]可以根据之前计算出来的数值进行计算。

举例推导dp数组
以word1:“sea”，word2:"eat"为例，推导dp数组状态图如下：
在这里插入图片描述

class Solution:
    def minDistance(self, word1: str, word2: str) -> int:
        dp = [[0] * (len(word2)+1) for _ in range(len(word1)+1)]
        for i in range(len(word1)+1):
            dp[i][0] = i
        for j in range(len(word2)+1):
            dp[0][j] = j
        for i in range(1, len(word1)+1):
            for j in range(1, len(word2)+1):
                if word1[i-1] == word2[j-1]:
                    dp[i][j] = dp[i-1][j-1]
                else:
                    dp[i][j] = min(dp[i-1][j-1] + 2, dp[i-1][j] + 1, dp[i][j-1] + 1)
        return dp[-1][-1]

时间复杂度: O(n * m)
空间复杂度: O(n * m)

动态规划二

本题和动态规划：1143.最长公共子序列 (opens new window)基本相同，只要求出两个字符串的最长公共子序列长度即可，那么除了最长公共子序列之外的字符都是必须删除的，最后用两个字符串的总长度减去两个最长公共子序列的长度就是删除的最少步数。

代码如下：

class Solution {
public:
    int minDistance(string word1, string word2) {
        vector<vector<int>> dp(word1.size()+1, vector<int>(word2.size()+1, 0));
        for (int i=1; i<=word1.size(); i++){
            for (int j=1; j<=word2.size(); j++){
                if (word1[i-1] == word2[j-1]) dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;
                else dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]);
            }
        }
        return word1.size()+word2.size()-dp[word1.size()][word2.size()]*2;
    }
};

时间复杂度: O(n * m)
空间复杂度: O(n * m)

72. 编辑距离

给你两个单词 word1 和 word2，请你计算出将 word1 转换成 word2 所使用的最少操作数 。

你可以对一个单词进行如下三种操作：
插入一个字符
删除一个字符
替换一个字符

示例 1：
输入：word1 = “horse”, word2 = “ros”

输出：3
解释： horse -> rorse (将 ‘h’ 替换为 ‘r’) rorse -> rose (删除 ‘r’) rose -> ros (删除 ‘e’)

示例 2：
输入：word1 = “intention”, word2 = “execution”

输出：5
解释： intention -> inention (删除 ‘t’) inention -> enention (将 ‘i’ 替换为 ‘e’) enention -> exention (将 ‘n’ 替换为 ‘x’) exention -> exection (将 ‘n’ 替换为 ‘c’) exection -> execution (插入 ‘u’)

提示：

0 <= word1.length, word2.length <= 500
word1 和 word2 由小写英文字母组成

思路

编辑距离终于来了，这道题目如果大家没有了解动态规划的话，会感觉超级复杂。

编辑距离是用动规来解决的经典题目，这道题目看上去好像很复杂，但用动规可以很巧妙的算出最少编辑距离。

接下来我依然使用动规五部曲，对本题做一个详细的分析：

1. 确定dp数组以及下标的含义

dp[i][j] 表示以下标i-1为结尾的字符串word1，和以下标j-1为结尾的字符串word2，最近编辑距离为dp[i][j]。

有同学问了，为啥要表示下标i-1为结尾的字符串呢，为啥不表示下标i为结尾的字符串呢？

为什么这么定义我在 718. 最长重复子数组中做了详细的讲解。

其实用i来表示也可以！ 用i-1就是为了方便后面dp数组初始化的。

2. 确定递推公式

在确定递推公式的时候，首先要考虑清楚编辑的几种操作，整理如下：


```cpp
if (word1[i - 1] == word2[j - 1])
    不操作
if (word1[i - 1] != word2[j - 1])
    增
    删
    换


也就是如上4种情况。

if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) 那么说明不用任何编辑，dp[i][j] 就应该是 dp[i - 1][j - 1]，即dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];

此时可能有同学有点不明白，为啥要即dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]呢？

那么就在回顾上面讲过的dp[i][j]的定义，word1[i - 1] 与 word2[j - 1]相等了，那么就不用编辑了，以下标i-2为结尾的字符串word1和以下标j-2为结尾的字符串word2的最近编辑距离dp[i - 1][j - 1]就是 dp[i][j]了。

在下面的讲解中，如果哪里看不懂，就回想一下dp[i][j]的定义，就明白了。

在整个动规的过程中，最为关键就是正确理解dp[i][j]的定义！

if (word1[i - 1] != word2[j - 1])，此时就需要编辑了，如何编辑呢？

操作一：word1删除一个元素，那么就是以下标i - 2为结尾的word1 与 j-1为结尾的word2的最近编辑距离 再加上一个操作。
即 dp[i][j] = dp[i - 1][j] + 1;

操作二：word2删除一个元素，那么就是以下标i - 1为结尾的word1 与 j-2为结尾的word2的最近编辑距离 再加上一个操作。
即 dp[i][j] = dp[i][j - 1] + 1;

这里有同学发现了，怎么都是删除元素，添加元素去哪了。

word2添加一个元素，相当于word1删除一个元素，例如 word1 = "ad" ，word2 = "a"，word1删除元素'd' 和 word2添加一个元素'd'，变成word1="a", word2="ad"， 最终的操作数是一样！ dp数组如下图所示意的：



```python
            a                         a     d
   +-----+-----+             +-----+-----+-----+
   |  0  |  1  |             |  0  |  1  |  2  |
   +-----+-----+   ===>      +-----+-----+-----+
 a |  1  |  0  |           a |  1  |  0  |  1  |
   +-----+-----+             +-----+-----+-----+
 d |  2  |  1  |
   +-----+-----+

`

操作三：替换元素，word1替换word1[i - 1]，使其与word2[j - 1]相同，此时不用增删加元素。

可以回顾一下，if (word1[i - 1] == word2[j - 1])的时候我们的操作 是 dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] 对吧。

那么只需要一次替换的操作，就可以让 word1[i - 1] 和 word2[j - 1] 相同。

所以 dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;

综上，当 if (word1[i - 1] != word2[j - 1]) 时取最小的，即：dp[i][j] = min({dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]}) + 1;

递归公式代码如下：

if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) {
    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
}
else {
    dp[i][j] = min({dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]}) + 1;
}

3. dp数组如何初始化

再回顾一下dp[i][j]的定义：

dp[i][j] 表示以下标i-1为结尾的字符串word1，和以下标j-1为结尾的字符串word2，最近编辑距离为dp[i][j]。

那么dp[i][0] 和 dp[0][j] 表示什么呢？

dp[i][0] ：以下标i-1为结尾的字符串word1，和空字符串word2，最近编辑距离为dp[i][0]。

那么dp[i][0]就应该是i，对word1里的元素全部做删除操作，即：dp[i][0] = i;

同理dp[0][j] = j;

所以代码如下：

for (int i = 0; i <= word1.size(); i++) dp[i][0] = i;
for (int j = 0; j <= word2.size(); j++) dp[0][j] = j;

4. 确定遍历顺序

从如下四个递推公式：

dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1
dp[i][j] = dp[i][j - 1] + 1
dp[i][j] = dp[i - 1][j] + 1

可以看出dp[i][j]是依赖左方，上方和左上方元素的，如图：
在这里插入图片描述
所以在dp矩阵中一定是从左到右从上到下去遍历。

.举例推导dp数组
以示例1为例，输入：word1 = “horse”, word2 = "ros"为例，dp矩阵状态图如下：
在这里插入图片描述

class Solution:
    def minDistance(self, word1: str, word2: str) -> int:
        dp = [[0] * (len(word2)+1) for _ in range(len(word1)+1)]
        for i in range(len(word1)+1):
            dp[i][0] = i
        for j in range(len(word2)+1):
            dp[0][j] = j
        for i in range(1, len(word1)+1):
            for j in range(1, len(word2)+1):
                if word1[i-1] == word2[j-1]:
                    dp[i][j] = dp[i-1][j-1]
                else:
                    dp[i][j] = min(dp[i-1][j-1], dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + 1
        return dp[-1][-1]

时间复杂度: O(n * m)
空间复杂度: O(n * m)

647. 回文子串

给定一个字符串，你的任务是计算这个字符串中有多少个回文子串。
具有不同开始位置或结束位置的子串，即使是由相同的字符组成，也会被视作不同的子串。

示例 1：

输入：“abc”
输出：3
解释：三个回文子串: “a”, “b”, “c”
示例 2：

输入：“aaa”
输出：6
解释：6个回文子串: “a”, “a”, “a”, “aa”, “aa”, “aaa”
提示：输入的字符串长度不会超过 1000 。

思路

暴力解法
两层for循环，遍历区间起始位置和终止位置，然后还需要一层遍历判断这个区间是不是回文。所以时间复杂度：O(n^3)

#动态规划
动规五部曲：

确定dp数组以及下标的含义
如果大家做了很多这种子序列相关的题目，在定义dp数组的时候 很自然就会想题目求什么，我们就如何定义dp数组。

绝大多数题目确实是这样，不过本题如果我们定义，dp[i] 为 下标i结尾的字符串有 dp[i]个回文串的话，我们会发现很难找到递归关系。

dp[i] 和 dp[i-1] ，dp[i + 1] 看上去都没啥关系。

所以我们要看回文串的性质。 如图：
在这里插入图片描述
我们在判断字符串S是否是回文，那么如果我们知道 s[1]，s[2]，s[3] 这个子串是回文的，那么只需要比较 s[0]和s[4]这两个元素是否相同，如果相同的话，这个字符串s 就是回文串。

那么此时我们是不是能找到一种递归关系，也就是判断一个子字符串（字符串的下表范围[i,j]）是否回文，依赖于，子字符串（下表范围[i + 1, j - 1]）） 是否是回文。

所以为了明确这种递归关系，我们的dp数组是要定义成一位二维dp数组。

布尔类型的dp[i][j]：表示区间范围[i,j] （注意是左闭右闭）的子串是否是回文子串，如果是dp[i][j]为true，否则为false。

确定递推公式
在确定递推公式时，就要分析如下几种情况。

整体上是两种，就是s[i]与s[j]相等，s[i]与s[j]不相等这两种。

当s[i]与s[j]不相等，那没啥好说的了，dp[i][j]一定是false。

当s[i]与s[j]相等时，这就复杂一些了，有如下三种情况

情况一：下标i 与 j相同，同一个字符例如a，当然是回文子串
情况二：下标i 与 j相差为1，例如aa，也是回文子串
情况三：下标：i 与 j相差大于1的时候，例如cabac，此时s[i]与s[j]已经相同了，我们看i到j区间是不是回文子串就看aba是不是回文就可以了，那么aba的区间就是 i+1 与 j-1区间，这个区间是不是回文就看dp[i + 1][j - 1]是否为true。

以上三种情况分析完了，那么递归公式如下：

if (s[i] == s[j]) {
    if (j - i <= 1) { // 情况一 和 情况二
        result++;
        dp[i][j] = true;
    } else if (dp[i + 1][j - 1]) { // 情况三
        result++;
        dp[i][j] = true;
    }
}

esult就是统计回文子串的数量。

注意这里我没有列出当s[i]与s[j]不相等的时候，因为在下面dp[i][j]初始化的时候，就初始为false。

dp数组如何初始化
dp[i][j]可以初始化为true么？ 当然不行，怎能刚开始就全都匹配上了。

所以dp[i][j]初始化为false。

确定遍历顺序
遍历顺序可有有点讲究了。

首先从递推公式中可以看出，情况三是根据dp[i + 1][j - 1]是否为true，在对dp[i][j]进行赋值true的。

dp[i + 1][j - 1] 在 dp[i][j]的左下角，如图：
在这里插入图片描述
如果这矩阵是从上到下，从左到右遍历，那么会用到没有计算过的dp[i + 1][j - 1]，也就是根据不确定是不是回文的区间[i+1,j-1]，来判断了[i,j]是不是回文，那结果一定是不对的。

所以一定要从下到上，从左到右遍历，这样保证dp[i + 1][j - 1]都是经过计算的。

有的代码实现是优先遍历列，然后遍历行，其实也是一个道理，都是为了保证dp[i + 1][j - 1]都是经过计算的。

举例推导dp数组
举例，输入：“aaa”，dp[i][j]状态如下：
在这里插入图片描述
图中有6个true，所以就是有6个回文子串。

注意因为dp[i][j]的定义，所以j一定是大于等于i的，那么在填充dp[i][j]的时候一定是只填充右上半部分。

class Solution:
    def countSubstrings(self, s: str) -> int:
        dp = [[False] * len(s) for _ in range(len(s))]
        result = 0
        for i in range(len(s)-1, -1, -1): #注意遍历顺序
            for j in range(i, len(s)):
                if s[i] == s[j]:
                    if j - i <= 1: #情况一 和 情况二
                        result += 1
                        dp[i][j] = True
                    elif dp[i+1][j-1]: #情况三
                        result += 1
                        dp[i][j] = True
        return result

时间复杂度：O(n^2)
空间复杂度：O(n^2)

双指针法

动态规划的空间复杂度是偏高的，我们再看一下双指针法。

首先确定回文串，就是找中心然后向两边扩散看是不是对称的就可以了。

在遍历中心点的时候，要注意中心点有两种情况。

一个元素可以作为中心点，两个元素也可以作为中心点。

那么有人同学问了，三个元素还可以做中心点呢。其实三个元素就可以由一个元素左右添加元素得到，四个元素则可以由两个元素左右添加元素得到。

所以我们在计算的时候，要注意一个元素为中心点和两个元素为中心点的情况。

这两种情况可以放在一起计算，但分别计算思路更清晰，我倾向于分别计算，代码如下：

class Solution:
    def countSubstrings(self, s: str) -> int:
        result = 0
        for i in range(len(s)):
            result += self.extend(s, i, i, len(s)) #以i为中心
            result += self.extend(s, i, i+1, len(s)) #以i和i+1为中心
        return result
    
    def extend(self, s, i, j, n):
        res = 0
        while i >= 0 and j < n and s[i] == s[j]:
            i -= 1
            j += 1
            res += 1
        return res

时间复杂度：O(n^2)
空间复杂度：O(1)

516.最长回文子序列

给定一个字符串 s ，找到其中最长的回文子序列，并返回该序列的长度。可以假设 s 的最大长度为 1000 。

示例 1: 输入: “bbbab” 输出: 4 一个可能的最长回文子序列为 “bbbb”。

示例 2: 输入:“cbbd” 输出: 2 一个可能的最长回文子序列为 “bb”。

提示：

1 <= s.length <= 1000
s 只包含小写英文字母

思路

我们刚刚做过了 动态规划：回文子串 (opens new window)，求的是回文子串，而本题要求的是回文子序列， 要搞清楚这两者之间的区别。

回文子串是要连续的，回文子序列可不是连续的！ 回文子串，回文子序列都是动态规划经典题目。

回文子串，可以做这两题：

647.回文子串
5.最长回文子串
思路其实是差不多的，但本题要比求回文子串简单一点，因为情况少了一点。

动规五部曲分析如下：

确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i][j]：字符串s在[i, j]范围内最长的回文子序列的长度为dp[i][j]。

确定递推公式
在判断回文子串的题目中，关键逻辑就是看s[i]与s[j]是否相同。

如果s[i]与s[j]相同，那么dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;

如图：
在这里插入图片描述
如果这里看不懂，回忆一下dp[i][j]的定义）

如果s[i]与s[j]不相同，说明s[i]和s[j]的同时加入 并不能增加[i,j]区间回文子序列的长度，那么分别加入s[i]、s[j]看看哪一个可以组成最长的回文子序列。

加入s[j]的回文子序列长度为dp[i + 1][j]。

加入s[i]的回文子序列长度为dp[i][j - 1]。

那么dp[i][j]一定是取最大的，即：dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);
在这里插入图片描述
dp数组如何初始化
首先要考虑当i 和j 相同的情况，从递推公式：dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2; 可以看出 递推公式是计算不到 i 和j相同时候的情况。

所以需要手动初始化一下，当i与j相同，那么dp[i][j]一定是等于1的，即：一个字符的回文子序列长度就是1。

其他情况dp[i][j]初始为0就行，这样递推公式：dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]); 中dp[i][j]才不会被初始值覆盖。

确定遍历顺序
从递归公式中，可以看出，dp[i][j] 依赖于 dp[i + 1][j - 1] ，dp[i + 1][j] 和 dp[i][j - 1]，如图：
在这里插入图片描述
所以遍历i的时候一定要从下到上遍历，这样才能保证下一行的数据是经过计算的。

j的话，可以正常从左向右遍历。
举例推导dp数组
输入s:“cbbd” 为例，dp数组状态如图：

在这里插入图片描述
红色框即：dp[0][s.size() - 1]; 为最终结果。

class Solution:
    def longestPalindromeSubseq(self, s: str) -> int:
        dp = [[0] * len(s) for _ in range(len(s))]
        for i in range(len(s)):
            dp[i][i] = 1
        for i in range(len(s)-1, -1, -1):
            for j in range(i+1, len(s)):
                if s[i] == s[j]:
                    dp[i][j] = dp[i+1][j-1] + 2
                else:
                    dp[i][j] = max(dp[i+1][j], dp[i][j-1])
        return dp[0][-1]

时间复杂度: O(n^2)
空间复杂度: O(n^2)

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大家好&#xff0c;我是江辰&#xff0c;从前端入门到全栈是我全新系列文章&#xff0c;从去年一直囔囔着要写&#xff0c;今年总算开始了&#xff01;预计在10篇左右。知识面从 前端&#xff0c;后端&#xff0c;运维&#xff0c;脚本等&#xff0c;都有涉及&#xff0c;主打一…
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Spark-Scala语言实战（9）

Spark-Scala语言实战（9）

之前的文章中&#xff0c;我们学习了如何在spark中使用RDD方法的flatMap,take,union。想了解的朋友可以查看这篇文章。同时&#xff0c;希望我的文章能帮助到你&#xff0c;如果觉得我的文章写的不错&#xff0c;请留下你宝贵的点赞&#xff0c;谢谢。 Spark-Scala语言实战&am…
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数据分析web可视化神器---streamlit框架，无需懂前端也能搭建出精美的web网站页面

数据分析web可视化神器---streamlit框架，无需懂前端也能搭建出精美的web网站页面

✨✨ 欢迎大家来到景天科技苑✨✨ &#x1f388;&#x1f388; 养成好习惯&#xff0c;先赞后看哦~&#x1f388;&#x1f388; 所属的专栏&#xff1a;数据分析系统化教学&#xff0c;零基础到进阶实战 景天的主页&#xff1a;景天科技苑 文章目录 Streamlit什么是streamli…
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基于springboot+vue实现的学校田径运动会管理系统

基于springboot+vue实现的学校田径运动会管理系统

作者主页&#xff1a;Java码库 主营内容&#xff1a;SpringBoot、Vue、SSM、HLMT、Jsp、PHP、Nodejs、Python、爬虫、数据可视化、小程序、安卓app等设计与开发。 收藏点赞不迷路 关注作者有好处 文末获取源码 技术选型 【后端】&#xff1a;Java 【框架】&#xff1a;spring…
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CommunityToolkit.Mvvm----配置

CommunityToolkit.Mvvm----配置

一、介绍&#xff1a; CommunityToolkit.Mvvm 包&#xff08;又名 MVVM 工具包&#xff0c;以前称为 Microsoft.Toolkit.Mvvm&#xff09;是一个现代、快速和模块化的 MVVM 库。 它是 .NET 社区工具包的一部分&#xff0c;围绕以下原则生成&#xff1a; 独立于平台和运行时 - …
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MySQL MHA高可用配置以及故障切换

MySQL MHA高可用配置以及故障切换

目录 什么是 MHA 什么是 MHA MHA&#xff08;MasterHigh Availability&#xff09;是一套优秀的MySQL高可用环境下故障切换和主从复制的软件。 MHA 的出现就是解决MySQL 单点的问题。解决主从架构中的主服务器的单点问题 MySQL故障切换过程中&#xff0c;MHA能做到0-30秒内自动…
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计算机网络：数据链路层 - 封装成帧 透明传输 差错检测

计算机网络：数据链路层 - 封装成帧 透明传输 差错检测

计算机网络&#xff1a;数据链路层 - 封装成帧 & 透明传输 & 差错检测 数据链路层概述封装成帧透明传输差错检测 数据链路层概述 从数据链路层来看&#xff0c;主机 H1 到 H2 的通信可以看成是在四段不同的链路上的通信组成的&#xff0c;所谓链路就是从一个节点到相邻…
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python distribute是什么

python distribute是什么

Python的包管理工具常见的有easy_install, setuptools, 还有pip, distribute&#xff0c;那麽这几个工具有什么关系呢&#xff0c;看一下下面这个图就明白了&#xff1a; 可以看到distribute是setuptools的替代方案&#xff0c;pip是easy_install的替代方案。 Distribute提供一…
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古代书法名家墨迹范本，中国法书碑帖图片合集

古代书法名家墨迹范本，中国法书碑帖图片合集

一、图片描述 在书法作品里&#xff0c;什么是法书&#xff1f;这是书法用语&#xff0c;又称法帖&#xff0c;学习书法可以作为楷模的范本&#xff0c;以及对古代名家墨迹的敬称&#xff0c;或以此誉称表达对书法作者的尊重之意&#xff0c;法书墨迹是最能反映古代书法艺术面…
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Windows-安装infercnv包（自备）

Windows-安装infercnv包（自备）

目录 安装基础 ①安装JAGS a,找到适配版本 b&#xff0c;install for me only安装路径 ②安装"rjags"包 ③安装inferCNV 安装基础 版本&#xff1a; R version 4.2.2 (2022-10-31 ucrt) -- "Innocent and Trusting"安装的JAGS版本为JAGS 4.3.1 首…
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Nginx_简介 + Linux系统下详细安装教程指路

Nginx_简介 + Linux系统下详细安装教程指路

安装教程指路 可参看该视频【尚硅谷Nginx教程&#xff08;亿级流量nginx架构设计&#xff09;】 https://www.bilibili.com/video/BV1yS4y1N76R/?p2&share_sourcecopy_web&vd_source4c2f33f3ba1a0dd45bfdf574befd0069 的p2-p7。从安装centos虚拟机到在虚拟机上安装ng…
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考研数学｜听完一遍汤家凤基础，1800都没思路，怎么办？

考研数学｜听完一遍汤家凤基础，1800都没思路，怎么办？

看了我这篇回答&#xff0c;保证你可以顺利的做1800题&#xff01; 如果你听了汤家凤老师的课&#xff0c;但是做题没思路&#xff0c;请不要担心&#xff0c;也不要急着换老师&#xff0c;你很有可能是方法错了。 请你反思一下&#xff1a; 1、你是不是听完课立刻就去做题。…
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Qt QWebSocket讲解

Qt QWebSocket讲解

QWebSocket 是 Qt 框架中用于处理 WebSocket 通信的类。WebSocket 是一种在单个 TCP 连接上进行全双工通信的协议。这使得客户端和服务器之间可以进行实时交互&#xff0c;而无需频繁地建立和关闭连接。 QWebSocket 的基本使用 创建 QWebSocket 对象&#xff1a; 你可以创建一个…
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LoRa物联网行业解决方案 1

LoRa物联网行业解决方案 1

1 行业应用 智慧停车 智能抄表 智慧牧场 智能生产 智能物流 智能健康 2 物联网智慧农场项目需求 3 为什么选lora&#xff1f; 4 设计 5 模块性能参数 sx1278 lora扩频无线模块 SEMTECH公司SX1278芯片 LoRa 扩频技术 通信距离10000米 SPI通信接口 mcu选型 硬件平台介绍 …
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【Java多线程】7——阻塞队列线程池

【Java多线程】7——阻塞队列线程池

7 线程池 ⭐⭐⭐⭐⭐⭐ Github主页&#x1f449;https://github.com/A-BigTree 笔记仓库&#x1f449;https://github.com/A-BigTree/tree-learning-notes 个人主页&#x1f449;https://www.abigtree.top ⭐⭐⭐⭐⭐⭐ 如果可以&#xff0c;麻烦各位看官顺手点个star~&#x…
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卷积篇 | 引入可改变核卷积AKConv：具有任意采样形状和任意数目参数的卷积核

卷积篇 | 引入可改变核卷积AKConv：具有任意采样形状和任意数目参数的卷积核

前言：Hello大家好，我是小哥谈。可改变核卷积（AKConv）是一种深度学习中的卷积神经网络（CNN）结构，它可以根据需要自适应地改变其卷积核。AKConv相对于传统的卷积神经网络，具有更高的灵活性和适应性，可以在不同的任务和数据集上实现更好的性能。🌈 目录 🚀1…
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【SpringBoot】-- Spring Validation参数校验框架

【SpringBoot】-- Spring Validation参数校验框架

SPringle Validation是Spring提供的一个参数校验框架&#xff0c;使用预定义的注解完成参数校验。 一、自定义参数校验 1、引入Spring Valiation依赖 <!-- validation依赖--><dependency><groupId>org.springframework.boot</groupId><arti…
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提升 RAG 效果的实践

提升 RAG 效果的实践

提升 RAG 效果的实践 0. 引言1. 测试数据2. cohere/embed-multilingual-v3.0 的几组测试结果2-1. 第1组测试2-2. 第2组测试 3. BAAI/bge-m3 的几组测试结果3-1. 第1组测试 0. 引言 AI 大语言模型的主要应用方式之一就是 RAG&#xff0c;接下来计划陆续分享工作中提升 RAG 效果…
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