阿基米德分牛问题及其Python求解

文章目录

- 题目大意
- sympy求解
- 结果

题目大意

问太阳神有一牛群，由白、黑、花、棕四种颜色的公、母牛组成，其间关系如下，求每种牛的个数。

公牛中，白牛多于棕牛，二者之差为黑牛的 $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$ ；黑牛多于棕牛，二者之差为花牛的 $\frac{1}{4}+\frac{1}{5}$ ；花牛多于棕牛，二者之差为白牛数的 $\frac{1}{6}+\frac{1}{7}$
母牛中，白牛是全体黑牛的 $\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$ ；黑牛是全体花牛的 $\frac{1}{4}+\frac{1}{5}$ ；花牛是全体棕牛的 $\frac{1}{5}+\frac{1}{6}$ ；棕牛是全体白牛的 $\frac{1}{6}+\frac{1}{7}$

如果用字母 $x_0, x_1, x_2, x_3$ 分别表示白、黑、花、棕各色的公牛数；用 $y_0, y_1, y_2, y_3$ 分别表示白、黑、花、棕各色母牛数，则得8 个未知数的如下7 个方程

$\begin{aligned} x_0-x_3=(\frac{1}{2}+\frac{1}{3})x_1\\ x_1-x_3=(\frac{1}{4}+\frac{1}{5})x_2\\ x_2-x_3=(\frac{1}{6}+\frac{1}{7})x_0\\ y_0=(\frac{1}{3}+\frac{1}{4})(x_1+y_1)\\ y_1=(\frac{1}{4}+\frac{1}{5})(x_2+y_2)\\ y_2=(\frac{1}{5}+\frac{1}{6})(x_3+y_3)\\ y_3=(\frac{1}{6}+\frac{1}{7})(x_0+y_0)\\ \end{aligned}$

这个题其实是毫无难度的，但非要用Python，那么难点主要如何优雅地表达这个过程，这里选用的是sympy符号计算。

所以第一步，先给定一些符号

import sympy
x0,x1,x2,x3 = sympy.symbols("x0,x1,x2,x3")
y0,y1,y2,y3 = sympy.symbols("y0,y1,y2,y3")
x = [x0,x1,x2,x3]
y = [y0,y1,y2,y3]

sympy求解

然后将阿基米德分牛问题转化为Python代码，其优雅之处在于，这些分数的构建遵循自然数递增的规律，故可通过循环来生成，非常便捷。

frac = lambda x : sympy.Rational(1,x)
fs = []
for i in range(3):
    fs.append(x[i]-x[3]-(frac(2*i+2)+frac(2*i+3))*x[i+1])

for i in range(4):
    ind = (i + 1) % 4
    fs.append(y[i]-(frac(i+3)+frac(i+4))*(x[ind]+y[ind]))

这样就得到了待求方程组

>>> for f in fs: print(f)
...
x0 - 5*x1/6 - x3
x1 - 9*x2/20 - x3
x2 - 55*x3/42
-7*x1/12 + y0 - 7*y1/12
-9*x2/20 + y1 - 9*y2/20
-11*x3/30 + y2 - 11*y3/30
-13*x0/42 - 13*y0/42 + y3

但是，8个未知数7个方程，显然没有唯一解，考虑到 $x_3$ 貌似是最小的值，所以最后希望用 $x_3$ 来表示其他数。

res = sympy.solve(fs, x[:3]+y)

结果

查看一下结果

for key in res:
    print(sympy.latex(key), "&=", sympy.latex(res[key]), r"\\")

$\begin{aligned} x_{0} &= \frac{781 x_{3}}{336} &x_{1} &= \frac{89 x_{3}}{56} &x_{2} &= \frac{55 x_{3}}{42} \\ y_{0} &= \frac{2316515 x_{3}}{1564752} &y_{1} &= \frac{1731719 x_{3}}{1825544} & y_{2} &= \frac{1639880 x_{3}}{2053737} &y_{3} &= \frac{806221 x_{3}}{684579} \\ \end{aligned}$

这道题到这里基本上就算解完了，但是牛至少得是个整数，所以接下来要做的是求解分母的最小公倍数。

在sympy中，对于一个分数r，r.p为分子，r.q为分母；【lcm】用于求解最小公倍数。

denominators = [(v/x3).q for v in res.values()]
x3Res = sympy.lcm(denominators)
# 32859792

然后让将x3的值加入fs，

fs.append(x3-x3Res)
res2 = sympy.solve(fs, x+y)
for key in res2:
    print(sympy.latex(key), "=", res2[key], r"\\")

结果如下

$x_{0} = 76379457 \\ x_{1} = 52223598 \\ x_{2} = 43030680 \\ x_{3} = 32859792 \\ y_{0} = 48646815 \\ y_{1} = 31170942 \\ y_{2} = 26238080 \\ y_{3} = 38698608 \\$