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✨前言

动态规划是一种算法思想，主要用于求解具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。在这类问题中，通过合理地保存子问题的解而避免重复计算，动态规划能够显著提高计算效率。动态规划通常用于解决最优化问题，诸如最短路径、最长公共子序列和背包问题等。

✨核心概念

1. 👉最优子结构： 问题的最优解包含其子问题的最优解。简单来说，大问题的最优解可以由小问题的最优解组成。
2. 👉重叠子问题： 在求解过程中，同一个子问题会被多次求解。这与分治算法的子问题不重合形成对比。
3. 👉状态： 用于描述问题解法的一个情形，状态的精准定义对应不同的问题能有不同的形式。
4. 👉转移方程（状态转移方程）： 定义了状态之间的关系，即如何从一个或多个较小的子问题的解得到当前问题的解。
5. 👉边界条件： 这是动态规划中的基准情况，用以定义最小子问题的解。

✨ 解题步骤

1. 👉定义状态： 第一步通常是定义状态，也就是找出问题的解可以被如何表述，并由此决定那些子问题需要被解决。
2. 👉找出状态转移方程： 一旦状态被定义，下一步就是找出状态转移方程，用于描述状态之间是如何相互转换的。
3. 👉确定边界条件： 确定初始条件或基准情况，这是动态规划的出发点。
4. 👉计算顺序： 确定计算状态的顺序，有的问题需要正向计算，即从小状态到大状态，有的则需要反向计算。
5. 👉实施计算/记忆化： 实施计算，可以采用自底向上（迭代）的方式，也可以自顶向下（递归+记忆化）。
6. 👉构造解： 最后一步是通过保存的状态信息构造最终解答。

✨实例

让我们通过经典的斐波那契数列 (Fibonacci sequence) 作为动态规划的示例。

斐波那契数列问题中：

• 👉F(0) = 0
• 👉F(1) = 1
• 👉对于 n > 1, F(n) = F(n-1) + F(n-2)

👉状态： F(n)

👉状态转移方程： F(n) = F(n-1) + F(n-2)

👉边界条件： F(0) = 0, F(1) = 1

👉计算顺序： 自底向上，从2计算到n。

def fib(n):
    if n <= 1:
        return n
    prev2, prev1 = 0, 1
    for i in range(2, n+1):
        current = prev1 + prev2
        prev2 = prev1
        prev1 = current
    return current

# 示例
print(fib(10))  # 输出第10个斐波那契数

在这个简单的例子中，我们使用动态规划将一个原本指数复杂度的问题降低到了线性复杂度。

✨优势与局限性

• 👉优势： 动态规划在处理重叠子问题时非常高效，可以将指数级的时间复杂度降低到多项式级。
• 👉局限性： 如果问题的维度非常高（俗称“维度诅咒”），或者没有明显的重叠子问题，则动态规划的效率会受到限制。

✨应用

动态规划可以被应用于各种字段的最优化问题，包括但不限于：

• 👉序列对齐（如生物信息学中的基因序列匹配）
• 👉图论中的最短路径问题
• 👉资源分配
• 👉输入法编辑距离计算
• 👉机器学习中的部分序列分割问题

理解和掌握动态规划是一个增强算法设计和问题解决能力的重要步骤。