机器学习——聚类算法-层次聚类算法

在机器学习中，聚类是一种将数据集划分为具有相似特征的组或簇的无监督学习方法。聚类算法有许多种，其中一种常用的算法是层次聚类算法。本文将介绍聚类问题、层次聚类算法的原理、算法流程以及用Python实现层次聚类算法的示例。

聚类问题

聚类问题是指给定一个数据集，将其中的样本划分为若干组，使得同一组内的样本相似度高，而不同组之间的样本相似度低。聚类算法通常用于探索数据的内在结构，发现数据中的模式或隐藏的信息，以及进行数据的降维和预处理。

层次聚类算法

层次聚类是一种自下而上或自上而下的聚类方法，它不需要事先指定聚类的个数。层次聚类算法主要有两种形式：凝聚式（agglomerative）和分裂式（divisive）。在凝聚式层次聚类中，每个样本开始时被认为是一个独立的簇，然后逐渐合并为越来越大的簇，直到满足某个停止条件为止。而在分裂式层次聚类中，则是从一个包含所有样本的簇开始，逐渐分裂成越来越小的簇，直到每个簇都只包含一个样本为止。

层次聚类算法的原理

层次聚类算法的基本原理是通过计算样本之间的相似度（距离）来构建一个聚类树（树状图），从而得到样本之间的聚类关系。具体来说，层次聚类算法的步骤如下：

计算样本之间的距离： 首先，计算任意两个样本之间的距离或相似度。常用的距离度量包括欧氏距离、曼哈顿距离、余弦相似度等。
初始化聚类： 将每个样本初始化为一个簇。
合并最近的簇： 从距离矩阵中找到距离最近的两个簇，并将它们合并成一个新的簇。
更新距离矩阵： 更新距离矩阵，以反映新簇与其他簇之间的距离。
重复步骤3和步骤4，直到满足停止条件为止： 可以根据停止条件来决定何时停止合并簇，常见的停止条件包括簇的数量达到预设值、距离超过阈值等。

层次聚类算法的公式

层次聚类算法中常用的距离度量包括欧氏距离、曼哈顿距离、余弦相似度等。以欧氏距离为例，两个样本点 (x_i) 和 (x_j) 之间的欧氏距离可以表示为：

[
d(x_i, x_j) = \sqrt{\sum_{k=1}^{n}(x_{ik} - x_{jk})^2}
]

其中，(n) 是特征的数量。

Python实现层次聚类算法示例

下面是使用Python实现凝聚式层次聚类算法的示例代码：

from sklearn.datasets import load_iris
from scipy.cluster.hierarchy import dendrogram, linkage
import matplotlib.pyplot as plt

# 加载数据集
iris = load_iris()
X = iris.data

# 计算距离矩阵
Z = linkage(X, 'ward')

# 绘制树状图
plt.figure(figsize=(10, 5))
plt.title('Hierarchical Clustering Dendrogram')
plt.xlabel('Sample Index')
plt.ylabel('Distance')
dendrogram(Z, leaf_rotation=90., leaf_font_size=8.)
plt.show()