2024年大模型面试准备（四）：大模型面试必会的位置编码（绝对位置编码sinusoidal，旋转位置编码RoPE，以及相对位置编码ALiBi）

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Transformer 模型在处理序列数据时，其自注意力机制使得模型能够全局地捕捉不同元素之间的依赖关系，但这样做的代价是丧失了序列中的元素顺序信息。由于自注意力机制并不考虑元素在序列中的位置，所以在输入序列的任何置换下都是不变的，这就意味着模型无法区分序列中元素的相对位置。在许多自然语言处理任务中，词语之间的顺序是至关重要的，所以需要一种方法来让模型捕获这一信息。

因此在送入编码器端建模其上下文语义之前，一个非常重要的操作是 在词嵌入中加入位置编码（Positional Encoding） 这一特征。

具体来说，序列中每一个单词所在的位置都对应一个向量。这一向量会与单词表示对应相加并送入到后续模块中做进一步处理。在训练的过程当中，模型会自动地学习到如何利用这部分位置信息。

常见的位置编码主要有绝对位置编码（sinusoidal），旋转位置编码（RoPE），以及相对位置编码ALiBi

1、绝对位置编码sinusoidal

绝对位置编码是直接将序列中每个位置的信息编码进模型的，从而使模型能够了解每个元素在序列中的具体位置。原始Transformer提出时采用了sinusoidal位置编码，通过使用不同频率的正弦和余弦的函数，使得模型捕获位置之间的复杂关系，且这些编码与序列中每个位置的绝对值有关。sinusoidal位置编码公式如下：

在这里插入图片描述

原始 Transformer 的位置编码虽然是基于绝对位置的，但其数学结构使其能够捕获一些相对位置信息。使用正弦和余弦函数的组合为每个位置创建编码，波长呈几何级数排列，意味着每个位置的编码都是独特的。同时，正弦和余弦函数的周期性特性确保了不同位置之间的编码关系是连续且平滑的。

比如：

对于相邻位置，位置编码的差异较小，与两者之间的距离成正比。
对于相隔较远的位置，位置编码的差异较大，与两者之间的距离也成正比。

这种连续和平滑的关系允许模型学习位置之间的相对关系，而不仅仅是各自的绝对位置。考虑两个位置和，由于正弦和余弦函数的性质，位置编码的差值将与和之间的差值有关。这意味着通过比较不同位置编码之间的差值，模型可以推断出它们之间的相对位置。

总结来说，通过上面这种方式计算位置编码有这样几个好处：

首先，正余弦函数的范围是在 [-1,+1]，导出的位置编码与原词嵌入相加，不会使得结果偏离过远而破坏原有单词的语义信息。
其次，依据三角函数的基本性质，可以得知第 pos + k 个位置的编码是第 pos 个位置的编码的线性组合，这就意味着位置编码中蕴含着单词之间的距离信息。

使用 Pytorch 实现的位置编码参考代码如下：

class PositionalEncoder(nn.Module):
    def __init__(self, d_model, max_seq_len = 80):
        super().__init__()
        self.d_model = d_model
        # 根据 pos 和 i 创建一个常量 PE 矩阵
        pe = torch.zeros(max_seq_len, d_model)
        for pos in range(max_seq_len):
            for i in range(0, d_model, 2):
                pe[pos, i] = math.sin(pos / (10000 ** ((2 * i)/d_model)))
                pe[pos, i + 1] = math.cos(pos / (10000 ** ((2 * (i + 1))/d_model)))
        pe = pe.unsqueeze(0)
        self.register_buffer('pe', pe)
    def forward(self, x):
        # 使得单词嵌入表示相对大一些
        x = x * math.sqrt(self.d_model)
        # 增加位置常量到单词嵌入表示中
        seq_len = x.size(1)
        x = x + Variable(self.pe[:,:seq_len], requires_grad=False).cuda()
        return x

另一份实现和可视化代码如下：

import math
import torch
import torch.nn as nn
import numpy as np

class PositionalEncoding(nn.Module):
    def __init__(self, d_model: int, dropout_prob: float, max_len: int = 5000):
        super().__init__()
        self.dropout = nn.Dropout(dropout_prob)
        encodings = self.get_positional_encoding(d_model, max_len)
        self.register_buffer('positional_encodings', encodings, False)

    @staticmethod
    def get_positional_encoding(d_model: int, max_len: int):
        position = torch.arange(0, max_len, dtype=torch.float32).unsqueeze(1)
        two_i = torch.arange(0, d_model, 2, dtype=torch.float32)
        div_term = torch.exp(two_i * -(math.log(10000.0) / d_model))
        encodings = torch.zeros(max_len, d_model)
        encodings[:, 0::2] = torch.sin(position * div_term)
        encodings[:, 1::2] = torch.cos(position * div_term)
        return encodings.unsqueeze(0).requires_grad_(False)

    def forward(self, x: torch.Tensor):
        pe = self.positional_encodings[:x.shape[1]].detach().requires_grad_(False)
        return self.dropout(x + pe)

def _test_positional_encoding():
    import matplotlib.pyplot as plt
    plt.figure(figsize=(15, 5))
    pe = PositionalEncoding.get_positional_encoding(20, 100)
    print(pe.shape)
    plt.plot(np.arange(100), pe[:, 0, 4:8].numpy())
    plt.legend(["dim %d" % p for p in [4, 5, 6, 7]])
    plt.title("Positional encoding")
    plt.show()

if __name__ == '__main__':
    _test_positional_encoding()

可以看到不同维度沿着序列方向的位置编码变化如下图所示：

2、旋转位置编码RoPE

sinusoidal位置编码对相对位置关系的表示还是比较间接的，那有没有办法更直接的表示相对位置关系呢？那肯定是有的，而且有许多不同的方法，旋转位置编码（Rotary Position Embedding，RoPE）是一种用绝对位置编码来表征相对位置编码的方法，并被用在了很多大语言模型的设计中，很多成功的LLM，例如LLAMA系列、GLM、百川、通义千问等，都使用了RoPE。

RoPE 借助了复数的思想，出发点是通过绝对位置编码的方式实现相对位置编码。

在这里插入图片描述

本文主要介绍思想，具体推导感兴趣的可以看苏剑林老师的博客或者论文：RoFormer: Enhanced Transformer with Rotary Position Embedding

有了这一形式后，具体实现有两种方式：

转到复数域，对两个向量进行旋转，再转回实数域
由于上述矩阵 Rn 具有稀疏性，因此可以使用逐位相乘 ⊗ 操作进一步加快计算速度，直接在实数域通过向量和正余弦函数的乘法进行运算，也就是下面这个公式：

LLaMA的代码实现就是采用了第一种形式，如下:

def precompute_freqs_cis(dim: int, end: int, theta: float = 10000.0):
    freqs = 1.0 / (theta ** (torch.arange(0, dim, 2)[: (dim // 2)].float() / dim))
    t = torch.arange(end, device=freqs.device)  # type: ignore
    freqs = torch.outer(t, freqs).float()  # type: ignore
    freqs_cis = torch.polar(torch.ones_like(freqs), freqs)  # complex64
    return freqs_cis


def reshape_for_broadcast(freqs_cis: torch.Tensor, x: torch.Tensor):
    ndim = x.ndim
    assert 0 <= 1 < ndim
    assert freqs_cis.shape == (x.shape[1], x.shape[-1])
    shape = [d if i == 1 or i == ndim - 1 else 1 for i, d in enumerate(x.shape)]
    return freqs_cis.view(*shape)


def apply_rotary_emb(
    xq: torch.Tensor,
    xk: torch.Tensor,
    freqs_cis: torch.Tensor,
) -> Tuple[torch.Tensor, torch.Tensor]:
    xq_ = torch.view_as_complex(xq.float().reshape(*xq.shape[:-1], -1, 2))
    xk_ = torch.view_as_complex(xk.float().reshape(*xk.shape[:-1], -1, 2))
    freqs_cis = reshape_for_broadcast(freqs_cis, xq_)
    xq_out = torch.view_as_real(xq_ * freqs_cis).flatten(3)
    xk_out = torch.view_as_real(xk_ * freqs_cis).flatten(3)
    return xq_out.type_as(xq), xk_out.type_as(xk)

第二种方式的实现会更加易懂一点，就是把前面那个公式中的四个向量凑出来，然后照着公式算一下就可以了，示例代码如下：

import torch
import math

def rotary_position_embedding(q, k):
    """
    Rotary Position Embedding (RoPE) for queries and keys.
    
    Args:
        q: tensor for queries of shape (batch_size, num_heads, seq_len, dim)
        k: tensor for keys of shape (batch_size, num_heads, seq_len, dim)
        
    Returns:
        Rotated queries and keys
    """
    batch_size, num_heads, seq_len, dim = q.size()
    
    # Begin of sinusoidal_position_embedding content
    position = torch.arange(seq_len, dtype=torch.float).unsqueeze(-1).to(q.device)
    div_term = torch.exp(torch.arange(0, dim, 2, dtype=torch.float) * -(math.log(10000.0) / dim)).to(q.device)
    
    pos_emb = position * div_term
    pos_emb = torch.stack([torch.sin(pos_emb), torch.cos(pos_emb)], dim=-1).flatten(-2, -1)
    pos_emb = pos_emb.unsqueeze(0).unsqueeze(1)
    pos_emb = pos_emb.expand(batch_size, num_heads, -1, -1)
    # End of sinusoidal_position_embedding content

    # Extract and duplicate cosine and sine embeddings
    cos_emb = pos_emb[..., 1::2].repeat_interleave(2, dim=-1)
    sin_emb = pos_emb[..., ::2].repeat_interleave(2, dim=-1)

    # Create alternate versions of q and k
    q_alternate = torch.stack([-q[..., 1::2], q[..., ::2]], dim=-1).reshape(q.size())
    k_alternate = torch.stack([-k[..., 1::2], k[..., ::2]], dim=-1).reshape(k.size())

    # Rotate queries and keys
    q_rotated = q * cos_emb + q_alternate * sin_emb
    k_rotated = k * cos_emb + k_alternate * sin_emb

    return q_rotated, k_rotated

相对位置编码AliBi

受到 T5 Bias 的启发，Press 等人提出了 ALiBi 算法，是一种预定义的相对位置编码。与传统方法不同，ALiBi 不向单词embedding中添加位置embedding，而是根据token之间的距离给 attention score 加上一个预设好的偏置矩阵，比如和相对位置差 1 就加上一个 -1 的偏置，两个 token 距离越远这个负数就越大，代表他们的相互贡献越低。由于注意力机制一般会有多个head，这里针对每一个head会乘上一个预设好的斜率项(Slope)。

在这里插入图片描述

ALiBi 对最近性具有归纳偏差，它对远程查询-键对之间的注意力分数进行惩罚，随着键和查询之间的距离增加，惩罚增加。不同的注意头以不同的速率增加其惩罚，这取决于斜率幅度。实验证明这组斜率参数适用于各种文本领域和模型尺寸，不需要在新的数据和架构上调整斜率值。

因此ALiBi方法不需要对原始网络进行改动，允许在较短的输入序列上训练模型，同时在推理时能够有效地外推到较长的序列，从而实现了更高的效率和性能。

下面给出一份实验代码，大家可以自己跑一跑感觉一下：

import math
import torch
from torch import nn

def get_slopes(n_heads: int):
    n = 2 ** math.floor(math.log2(n_heads))
    m_0 = 2.0 ** (-8.0 / n)
    m = torch.pow(m_0, torch.arange(1, 1 + n))

    if n < n_heads:
        m_hat_0 = 2.0 ** (-4.0 / n)
        m_hat = torch.pow(m_hat_0, torch.arange(1, 1 + 2 * (n_heads - n), 2))
        m = torch.cat([m, m_hat])
        
    return m

@torch.no_grad()
def get_alibi_biases(n_heads: int, mask: torch.Tensor):
    m = get_slopes(n_heads).to(mask.device)
    seq_len = mask.size(0)
    distance = torch.tril(torch.arange(0, -seq_len, -1).view(-1, 1).expand(seq_len, seq_len))
    print(distance)

    return distance[:, :, None] * m[None, None, :]

seq_len = 10
n_heads = 8

m = get_slopes(n_heads)
print(m)

alibi_biases = torch.zeros(seq_len,seq_len)
for j in range(1,seq_len):
    for i in range(j, seq_len):
        alibi_biases[i, i - j] = -j
print(alibi_biases)

print(alibi_biases[:, :, None].shape, m[None, None, :].shape)

alibi_biases[:, :, None] * m[None, None, :]

代码打印出的结果如下：

可以看到上面打印出来的第一行就是给不同head的系数，第二行矩阵就是基于两个 token 之间距离计算的偏置矩阵。

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《大模型面试宝典》(2024版) 正式发布！
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2024年大模型面试准备（一）：LLM主流结构和训练目标、构建流程
2024年大模型面试准备（二）：LLM容易被忽略的Tokenizer与Embedding
2024年大模型面试准备（三）：聊一聊大模型的幻觉问题

参考文献：

[1] Touvron H, Lavril T, Izacard G, et al. Llama: Open and efficient foundation language models[J]. arXiv preprint arXiv:2302.13971, 2023.
[2] Raffel C, Shazeer N, Roberts A, et al. Exploring the limits of transfer learning with a unified text-to-text transformer[J/OL]. Journal of Machine Learning Research, 2020, 21(140):1-67. http://jmlr.org/papers/v21/20-074.html.
[3] Press O, Smith N A, Lewis M. Train short, test long: Attention with linear biases enables input length extrapolation[J]. arXiv preprint arXiv:2108.12409, 2021.
[4] Sun Y, Dong L, Patra B, et al. A length-extrapolatable transformer[J]. arXiv preprint arXiv:2212.10554, 2022.
[5] Chen S, Wong S, Chen L, et al. Extending context window of large language models via positional interpolation[J]. arXiv preprint arXiv:2306.15595, 2023.