上一节，我们讲述了二叉树的概念，二叉树又有什么基本操作呢？今天我们来讲述二叉树的应用~

话不多说，书继上回

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5.3二叉树的遍历及应用

二叉树由三个基本部分组成：根结点（D），左子树（L），右子树（R）。

因此，对二叉树的遍历可以分别对这三个部分进行。

如果遵循先左后右的原则，可以有三种遍历规则：DLR,LDR,LRD。

分别称为先序遍历，中序遍历和后序遍历。

1.先序遍历

定义：若二叉树为空，则空操作，否则：

（1）访问根结点；

（2）先序遍历左子树；

（3）先序遍历右子树。

按照这个递归定义可以写出先序遍历二叉树的递归算法：

void PreOrder(BiTree T) {
	if (!T) return;
	visite(T->data);//访问根结点
	PreOrder(T->lchild);
	PreOrder(T->rchild);
}

2.中序遍历

定义：若二叉树为空，则空操作，否则：

（1）中序遍历左子树；

（2）访问根结点；

（3）中序遍历右子树。

按照这个递归定义可以写出中序遍历二叉树的递归算法：

void InOrder(BiTree T) {
	if (!T) return;
	InOrder(T->lchild);
	visite(T->data);//访问根结点
	InOrder(T->rchild);
}

3.后序遍历

定义：若二叉树为空，则空操作，否则：

（1）后序遍历左子树；

（2）后序遍历右子树。

（3）访问根结点；

按照这个递归定义可以写出后序遍历二叉树的递归算法：

void PostOrder(BiTree T) {
	if (!T) return;
	PostOrder(T->lchild);
	PostOrder(T->rchild);
	visite(T->data);//访问根结点
}

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可见这三种遍历的搜索路线是一样的，只是访问根的时机不同。 

将二叉树上每个空子树用一个虚结点表示，将这样处理后的二叉树称为原二叉树的扩展二叉树。

原二叉树上的结点称为内部结点，表示空指针的虚结点称为外部结点。

递归算法优点是简洁，但一般而言，其执行效率不高，因为系统需要维护一个运行栈以保证递归过程是正确执行。其实以上遍历还可以使用非遍历方法。

设一存放结点指针的栈S,每访问完一个结点X后，就将结点X的指针入栈，以便后来能通过这个指针找到结点X的右子树。

void PreOrder(BiTree T) {
	InitStack(S);    //初始化一个空栈
	while (T || !StackEmpty(S)) {//遍历结束的条件是栈为空且T为空
		while (T) {
			visite(T->data);
			Push(S, T);    //T进栈
			T = T->lchild;
		}
		if (!StackEmpty(S)) {
			Pop(S, T);    //弹出栈顶指针T
			T = T->rchild;
		}
	}
}

其中有关栈的处理（其中一些函数）详见前面的文章

附链接：【数据结构】五分钟自测主干知识（四）http://t.csdnimg.cn/DffSWhttp://t.csdnimg.cn/DffSW

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 4.层序遍历

对二叉树除了可以按上述的先序、中序和后序规则进行遍历外,还可以自上而下,自左向右逐层地进行遍历。

在层序遍历时,当第 i 层结点被访问完后,接下来要逐个访问位于第i + 1 层上的第 i 层结点的左孩子和右孩子。这时,在 i层先被访问的结点其左、右孩子将先被访问,因此需要利用一个队列来存放已访问过的结点的孩子,以控制对这些孩子的访问先后次序。层序遍历的算法思路是：

(1)初始化一个空队列,用来保存已访问过结点的孩子;

(2)非空根指针入队；

(3)若队列为空,则遍历结束;否则重复执行:
①队头元素出队,访问之;
②若被访结点有左孩子,则左孩子入队;
③若被访结点有右孩子,则右孩子入队。

void LayerTraversal(BiTree T) {
	InitQueue(Q);
	if (T) EnQueue(Q, T);
	while (!QueueEmpty(Q)) {
		DeQueue(Q, p);
		visite(p->data);
		if (p->lchild) EnQueue(Q, p->lchild);
		if (p->lchild) EnQueue(Q, p->rchild);
	}
}

其中有关队列的处理（其中一些函数）详见前面的文章

附链接：【数据结构】五分钟自测主干知识（五）
http://t.csdnimg.cn/TX4HAhttp://t.csdnimg.cn/TX4HA

不论按哪种次序遍历含有n个结点的二叉树，其时间复杂度至少为。

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5.二叉树运算举例

1.求二叉树的结点个数

方案1：

int CountNodes1(BiTree T) {
	if (!T) return 0;
	int nl = CountNodes1(T->lchild);
	int nr = CountNodes1(T->rchild);
	return(1 + nl + nr);
}

方案2：

void CountNodes2(BiTree T, int& n) {
	if (!T)return;
	n++;
	CountNodes2(T->lchild, n);
	CountNodes2(T->rchild, n);
}

2.输出二叉树每个结点的层次数

void Level(BiTree T, int lev){
	if (!T)return;
	lev++;
	printf(T->data,lev);
	Level(T->lchild, lev);
	Level(T->rchild, lev);
}

3.求二叉树的深度

好用的递归方法继续：

int Depth(BiTree T) {
	if (!T)return 0;
	int hl = Depth(T->lchild);
	int hr = Depth(T->rchild);
	return (hl > hr ? hl + 1: hr + 1);
}

4.输出二叉树树根到所有叶子结点的路径

void OutPath(BiTree T, Stack& S) {
	if (!T)return;
	Push(S, T);
	if (!T->lchild && !T->rchild)
		StackTraverse(S);
	OutPath(T->lchild, S);
	OutPath(T->rchild, S);
	Pop(S, e);
}

5.（重点）表达式求值

算术表达式可以用二叉树的形式来表示。

用二叉树表示算术表达式的递归方法如下：

（1）如果表达式为常数或简单变量，则二叉树中仅有一个根结点，根结点的数据域存放该表达式的值。

（2）如果表达式的形式是：

（左操作数） 二目运算符 （右操作数）

则二叉树中，以左子树表示左操作数，右子树表示右操作数，根结点的数据域存放二目运算符。

（3）操作数本身又是表达式

例如表达式的二叉树表示如下：

该二叉树的先序序列为

恰好是表达式的前缀表示（波兰式）

该二叉树的后序序列为

恰好是表达式的后缀表示（逆波兰式）

 下面给出表达式二叉树结点的存储类型定义：

typedef struct BiNode {
	double val;
	char op;
	unsigned char tag;
	struct BiNode* lchild, * rchild;
}BiTNode,*BiTree;

其中val分量用来存放表达式中的数值，op分量用来存放表达式中的运算符。

tag起标志作用，若tag=0，则表示结点中存放的是数值，取val分量；

若tag=1，则表示结点中存放的是运算符，取op分量。

对表达式求值可用逆波兰式的求值方法，即利用后序遍历完成计算

double Calculate(BiTree T) {
	if (T->tag == 0)return T->val;
	double a = Calculate(T->lchild);
	double b = Calculate(T->rchild);
	return operate(a, T->op, b);//计算并返回a op b
}

其中operate函数表示计算算式值

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今天我们就到这里，可以对照黑体字查看主干知识，下一讲，我们聊聊线索二叉树

附链接：【数据结构】五分钟自测主干知识（）

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