前缀和

一维前缀和数组

假设有一个数组为a [ n ] , 另一个数组为s [ n ] .

其中 s [ j ]= a[1] +a[ 2 ]+ ......+a[ j-1] +a [ j ] 。--->s[ j ]表示a数组从第一个元素到第 j 个元素之和，那么我们则就称 s 数组为前缀和数组

 例题：前缀和

链接：

795. 前缀和 - AcWing题库

 大体思路：

构造出前缀和数组 s，然后进行 [ l, r ] 区间的查询， [ l, r ] 区间的数据总和为：s [ r ] - s [ l - 1 ]

之所以是s [ r ] - s [ l - 1 ]  --->s[ r ]= a[ 1 ] +a [ 2 ] +....+a[ r-1 ]+a[ r ]

s [ l-1 ]= a[ 1 ] +a [ 2 ] +....+a[ l-2 ]+a[ l-1 ] ，那么两式相减刚好就是[ l, r ] 区间的数据总和

这里我们让数据从数组下标为1的开始往后面去放 ，为了避免处理边界问题（二维前缀和中会有很大的作用）

 代码实现

#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;

int main()
{
    int n,m;
    scanf("%d %d",&n,&m);
    vector<int> q(n+1);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&q[i]);
    vector<int> sum(n+1);
    sum[0]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        sum[i]=sum[i-1]+q[i];//初始化前缀和数组
    }
    while(m--){
        int l,r;
        scanf("%d %d",&l,&r);
        printf("%d\n",sum[r]-sum[l-1]);
    }
}

 二维前缀和数组

前提知识：a [ i ] [ j ]为原数组 ，s [ i ][ j ]表示从( 0 ,0 )这个位置到( i , j )所有数据之和

那么s [ i ] [ j ]=s [ i-1 ] [ j ]+s[ i ] [ j-1 ]- s[ i-1 ] [ j-1 ]+ a[ i ] [ j ]

减s[ i-1 ] [ j-1 ] --->因为前面加s [ i-1 ] [ j ]和s[ i ] [ j-1 ] ，多加了一个s[ i-1 ] [ j-1 ]

例题：子矩阵的和

链接：

796. 子矩阵的和 - AcWing题库

 大体思路

• 先构建好二维前缀和数组s[ i ] [ j ]  
• 然后根据给出的二个坐标 ( x1 , y1 ) ( x2, y2 ) 去这个子矩阵
• 那么这个子矩阵的和为 s [ x2 ,y2 ] - s [ x2 , y1-1 ] - s[ x1-1 ] [ y2 ] + s[ x1-1 ] [ y1-1 ]

 子矩阵的和为 s [ x2 ,y2 ] - s [ x2 , y1-1 ] - s[ x1-1 ] [ y2 ] + s[ x1-1 ] [ y1-1 ]

要加上s[ x1-1 ] [ y1-1 ] ----->因为当我们减去（s [ x2 , y1-1 ] + s[ x1-1 ] [ y2 ] ）此刻，多减了一个s[ x1-1 ] [ y1-1 ] , 

 我们在创建前缀和数组时，多开一行，多开一列

 代码实现

#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;

int main()
{
    int n,m,q;
    scanf("%d %d %d",&n,&m,&q);
    vector<vector<int> > arr(n+1,vector<int>(m+1));
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
             scanf("%d",&arr[i][j]);

        }

    }
        
          
    vector<vector<int> > s(n+1,vector<int>(m+1,0));//s[i][j]--表示从(1,1)到(i,j)位置的总和位多少
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            s[i][j]=s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1]+arr[i][j];
        }
    }
    while(q--)
    {
        int x1,y1,x2,y2;
        scanf("%d %d %d %d",&x1,&y1,&x2,&y2);
        cout<<s[x2][y2]-s[x1-1][y2]-s[x2][y1-1]+s[x1-1][y1-1]<<endl;
    }
    return 0;
}