【机器学习-07】逻辑回归（Logistic Regression）的介绍和python实现

Logistic Regression 虽然被称为回归，但其实际上是分类模型，并常用于二分类。主要用来表示某件事情发生的可能性，因此因变量的范围在 0 和 1 之间。Logistic Regression 因其简单、可并行化、可解释强深受工业界喜爱。例如，探讨引发疾病的危险因素，并根据危险因素预测疾病发生的概率等。以胃癌病情分析为例，选择两组人群，一组是胃癌组，一组是非胃癌组，两组人群必定具有不同的体征与生活方式等。因此因变量就为是否胃癌，值为“是”或“否”，自变量就可以包括很多了，如年龄、性别、饮食习惯、幽门螺杆菌感染等。自变量既可以是连续的，也可以是分类的。

Logistic 回归的本质是：假设数据服从正态分布，使用极大似然估计对模型的参数进行估计。

一、Logistic分布

Logistic分布是一种连续概率分布，常用于建模具有有限范围的随机变量。它具有S形状的概率密度函数，可以用于描述一些自然现象和统计模型中的数据分布。

Logistic分布的概率密度函数（PDF）可以表示为：

$\frac{e^{-(x-\mu)/s}}{s(1+e^ {-(x-\mu)/s})^2}$

其中， $x$ 是随机变量的取值， $\mu$ 是分布的均值， $s$ 是分布的尺度参数。均值 $\mu$ 表示分布的中心位置，尺度参数 ss 控制分布的形状。

Logistic分布的累积分布函数（CDF）可以表示为：

$\frac{1}{1+e^{-(x-\mu)/s}}$

Logistic分布的特点包括：

对称性：Logistic分布是关于均值 $\mu$ 对称的，即分布在均值两侧呈镜像关系。
S形状：Logistic分布的概率密度函数在均值附近增长迅速，然后逐渐趋于平缓。这使得它在建模概率事件的发生概率时非常有用。
尾部厚重：相比于正态分布，Logistic分布的尾部较厚，即在分布的尾部区域概率下降较慢。
在这里插入图片描述

二、逻辑回归介绍

对于二分类问题，假设我们有一个数据集，其中包含 $m$ 个样本。每个样本由输入特征向量 $x$ 和对应的实际类别 $y$ 组成。我们希望通过逻辑回归模型来预测样本的类别。

假设存在一条直线（或超平面），可以将数据集中的样本完全分开。我们可以用一个线性模型来表示这条直线，其形式如下：

$\theta_0 + \theta_1x_1 + \theta_2x_2 + \ldots + \theta_nx_n$

其中， $z$ 表示线性模型的输出， $\theta_0, \theta_1, \ldots, \theta_nθ$ 表示模型的参数， $x_1, x_2, \ldots, x_n$ 表示输入特征。

为了将线性模型的输出转化为概率值，我们使用逻辑函数（sigmoid函数）进行转换，得到预测的概率。逻辑函数的形式如下：

$h_{\theta}(x) = \frac{1}{1+e^{-z}}$

其中， $h_{\theta}(x)$ 表示逻辑回归模型的预测结果。

为了使得逻辑回归模型能够对样本进行分类，我们需要将预测的概率值映射到类别标签。一般来说，当预测的概率大于等于一个阈值时，我们将样本预测为正类别（例如， $h_{\theta}(x) \geq 0.5$ ）；当预测的概率小于阈值时，我们将样本预测为负类别。

三、逻辑回归的代价函数（Cost Function）

逻辑回归的代价函数（Cost Function）用于衡量模型预测结果与实际观测值之间的差异。在逻辑回归中，常用的代价函数是交叉熵损失函数（Cross-Entropy Loss）。

假设我们有一个训练集，其中包含mm个样本，每个样本由输入特征向量xx和对应的实际类别yy组成。逻辑回归的目标是通过最小化代价函数来优化模型的参数。

对于二元分类问题，交叉熵损失函数可以表示为：

$J(\theta) = -\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}\left[y^{(i)}\log(h_{\theta}(x^{(i)})) + (1-y^{(i)})\log(1-h_{\theta}(x^{(i)}))\right]$

其中， $J(\theta)$ 表示代价函数， $\theta$ 表示模型的参数， $h_{\theta}(x)$ 表示逻辑回归模型的预测结果（即sigmoid函数的输出）， $y^{(i)}$ 表示第 $i$ 个样本的实际类别。

代价函数的含义可以解释为：对于每个样本，如果实际类别为1，则第一项 $y^{(i)}\log(h_{\theta}(x^{(i)}))$ 越大越好；如果实际类别为0，则第二项 $(1-y^{(i)})\log(1-h_{\theta}(x^{(i)}))$ 越大越好。通过求和和取平均，我们可以得到整个训练集上的平均代价。

逻辑回归的目标是最小化代价函数，通过调整模型的参数 $\theta$ 来实现。常用的方法是梯度下降（Gradient Descent），通过计算代价函数对参数的偏导数，更新参数以减小代价函数的值。

具体的梯度下降更新规则可以表示为：

$\theta_j := \theta_j - \alpha\frac{\partial J(\theta)}{\partial \theta_j}$

其中， $\alpha$ 表示学习率，控制参数更新的步长。

通过反复迭代更新参数，直到达到收敛条件（如达到最大迭代次数或代价函数变化不显著），逻辑回归模型就可以得到最优的参数估计。

四、逻辑回归基于sklearn库的python代码实现

当使用scikit-learn库中的逻辑回归模型进行分类任务时，可以按照以下步骤进行操作：

1 导入所需的库和模块：

from sklearn.datasets import load_iris
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
from sklearn.metrics import accuracy_score

2 加载鸢尾花数据集：

iris = load_iris()
X = iris.data
y = iris.target

3 划分数据集为训练集和测试集：

X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=42)

4 创建并训练逻辑回归模型：

model = LogisticRegression()
model.fit(X_train, y_train)

5 使用训练好的模型进行预测：

y_pred = model.predict(X_test)

6 评估模型性能：

accuracy = accuracy_score(y_test, y_pred)
print("Accuracy:", accuracy)

完整的Python代码如下所示：

from sklearn.datasets import load_iris
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
from sklearn.metrics import accuracy_score

# 加载鸢尾花数据集
iris = load_iris()
X = iris.data
y = iris.target

# 划分数据集为训练集和测试集
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=42)

# 创建并训练逻辑回归模型
model = LogisticRegression()
model.fit(X_train, y_train)

# 使用训练好的模型进行预测
y_pred = model.predict(X_test)

# 评估模型性能
accuracy = accuracy_score(y_test, y_pred)
print("Accuracy:", accuracy)

这段代码中，首先使用load_iris()函数加载鸢尾花数据集，然后使用train_test_split()函数将数据集划分为训练集和测试集。接下来，创建一个LogisticRegression对象作为逻辑回归模型，并使用训练集数据进行训练。然后，使用训练好的模型对测试集进行预测，并使用accuracy_score()函数计算分类准确度作为模型性能的评估指标。