树形结构一篇文章梳理

树形结构是一种非常重要的非线性数据结构，它模拟了具有层次关系的数据模型。在树形结构中，

一、组成元素：

二、树的属性：

深度或高度

度

路径

路径长度

三、树的类型

1 二叉树

2 多叉树

3 完全二叉树

4 满二叉树

四、树形结构的应用

五、树形结构的操作：

1 遍历

2 插入

3 删除

4 搜索

五、代码事例

1 创建树

2 插入节点

3 删除节点

4 遍历树

5 查找节点

6 树的深度：

7 树的宽度

8 平衡树检查

六、树的变种和扩展

七、总结

数据元素（或称为节点）被组织成一系列的父子关系，形成了层次分明的结构。以下是关于树形结构的更多细节描述：

一、组成元素：

根节点

树形结构的起始点，没有父节点，但可能有多个子节点。

内部节点

除了根节点和叶节点之外的节点，通常既有父节点又有子节点。

叶节点

没有子节点的节点，通常位于树的底部。

连接父节点和子节点的线，表示它们之间的关系。

二、树的属性：

深度或高度

从根节点到最远叶节点的最长路径上的节点数。

度

一个节点的子节点数。对于特定类型的树（如二叉树），每个节点的度受到限制。

路径

从树的一个节点到另一个节点所经过的节点序列。

路径长度

路径上经过的边的数量。

三、树的类型

1 二叉树

每个节点最多有两个子节点，通常称为左子节点和右子节点。特殊的二叉树如平衡二叉树、AVL树、红黑树等，在保持平衡的同时提供了高效的搜索性能。

2 多叉树

每个节点可以有多个子节点，例如n叉树。

3 完全二叉树

除了最后一层外，其他层的节点数都达到最大值，并且最后一层的节点都靠左对齐。

4 满二叉树

每一层的节点数都达到最大值。

四、树形结构的应用

文件系统目录和文件以树形结构组织，方便用户浏览和管理。

HTML文档：DOM（文档对象模型）是一个树形结构，表示HTML文档的结构。
XML和JSON数据：这些数据结构经常以树形方式表示和组织数据。
数据库索引：B树和B+树等数据结构常用于数据库索引，以加速数据检索。
决策树：在机器学习和数据挖掘中，决策树用于分类和回归任务。

五、树形结构的操作：

1 遍历

按照某种规则访问树的每个节点，常见的遍历方式有前序遍历、中序遍历和后序遍历（针对二叉树）。

2 插入

在树的适当位置添加新节点。

3 删除

从树中移除指定的节点，可能需要重新平衡树。

4 搜索

在树中查找具有特定属性的节点。

五、代码事例

树形结构的基本操作通常包括创建树、插入节点、删除节点、遍历树等。这里我将给出一个简单的树形结构示例，并使用Python编程语言来实现一些基本操作。

首先，我们定义一个树节点类：

class TreeNode:
    def __init__(self, value):
        self.value = value
        self.children = []

在这个类中，value 存储节点的值，children 是一个列表，存储该节点的子节点。

接下来，我们可以实现一些基本操作：

1 创建树

def create_tree():
    root = TreeNode("root")
    child1 = TreeNode("child1")
    child2 = TreeNode("child2")
    root.children.append(child1)
    root.children.append(child2)
    return root

这个函数创建了一个简单的树，根节点为 "root"，有两个子节点 "child1" 和 "child2"。

2 插入节点

def insert_node(parent, value):
    new_node = TreeNode(value)
    parent.children.append(new_node)
    return new_node

这个函数在给定父节点下插入一个新的节点。

3 删除节点

def delete_node(node, value):
    for child in node.children:
        if child.value == value:
            node.children.remove(child)
            return True
    return False

（这里我们实现一个简单版本，只删除没有子节点的节点）

这个函数在给定节点下删除一个值为 value 的子节点。如果找不到这样的节点，函数返回 False。

4 遍历树

（这里我们使用前序遍历作为示例）

def preorder_traversal(node):
    if node is None:
        return
    print(node.value)
    for child in node.children:
        preorder_traversal(child)

这个函数以前序遍历的方式遍历树，并打印每个节点的值。

你可以使用这些函数来操作树形结构。例如：

root = create_tree()
insert_node(root, "child1.1")
preorder_traversal(root)  # 输出: root child1 child1.1 child2
delete_node(root, "child1.1")
preorder_traversal(root)  # 输出: root child1 child2

5 查找节点

查找树中是否存在具有特定值的节点。

def find_node(node, value):
    if node is None:
        return None
    if node.value == value:
        return node
    for child in node.children:
        result = find_node(child, value)
        if result is not None:
            return result
    return None

6 树的深度：

计算树的深度（即最长路径上的节点数）。

def tree_depth(node):
    if node is None:
        return 0
    max_depth = 0
    for child in node.children:
        child_depth = tree_depth(child)
        max_depth = max(max_depth, child_depth)
    return max_depth + 1

7 树的宽度

计算树的最大宽度（即某一层上节点数的最大值）。这通常需要使用队列来进行层序遍历。

from collections import deque

def tree_width(root):
    if root is None:
        return 0
    queue = deque([root])
    max_width = 0
    current_level = 0
    
    while queue:
        level_size = len(queue)
        if level_size > max_width:
            max_width = level_size
        for _ in range(level_size):
            node = queue.popleft()
            for child in node.children:
                queue.append(child)
        current_level += 1
    
    return max_width

8 平衡树检查

检查一棵树是否是平衡树。平衡树是指任意节点的左右子树的高度差不超过1。

def is_balanced(node):
    def height(node):
        if node is None:
            return 0
        left_height = height(node.children[0]) if node.children else 0
        right_height = height(node.children[1]) if len(node.children) > 1 else 0
        if left_height == -1 or right_height == -1 or abs(left_height - right_height) > 1:
            return -1
        return max(left_height, right_height) + 1
    
    return height(node) != -1