一、向量和矩阵的基本运算

1、简单变换

$$\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$$

1. 平移变换

$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right]$$
  将向量$\left[\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right]$加到$\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$上,得到平移后的新向量$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x+a\\ y+b\end{array}\right]$。其中$a$和$b$分别为x方向和y方向的平移量。

2. 缩放变换

$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{s}_x& 0\\ 0& s_y\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{s}_{x}x\\ s_{y}y\end{array}\right]$$
  通过缩放矩阵$\left[\begin{array}{cc}{s}_x& 0\\ 0& s_y\end{array}\right]$乘以$\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$,可以得到缩放后的向量$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{s}_{x}x\\ s_{y}y\end{array}\right]$。其中$s_x$和$s_y$分别为x方向和y方向的缩放比例。

3. 旋转变换

$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$$
  通过旋转矩阵$\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]$乘以$\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$,可以得到绕原点逆时针旋转$\theta$角度后的向量$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]$。

4. 一般线性变换

$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}ax+by\\ cx+dy\end{array}\right]$$
  通过一个2x2变换矩阵$\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$乘以$\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$,可以得到一个新的变换后向量$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}ax+by\\ cx+dy\end{array}\right]$，这个变换矩阵可以表示缩放、旋转、错切等线性变换的组合。

2、齐次坐标

0. 齐次坐标表示

  在使用齐次坐标表示时,我们将n维欧几里得空间中的点$(x_1,x_2,\dots ,x_n)$表示为$(n+1)$维的齐次坐标形式$(x_1,x_2,\dots ,x_n,1)$,在原始坐标的基础上添加一个1作为最后一个分量。

• 将2D点用齐次坐标$\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right]$表示,即在笛卡尔坐标$\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$的基础上添加一个1作为最后一个分量；
• 将3D点用齐次坐标$\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ 1\end{array}\right]$表示,即在笛卡尔坐标$\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]$的基础上添加一个1作为最后一个分量。

1. 2D点的齐次坐标变换

• 变换矩阵:
  $$\left[\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

• 变换结果
  $$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}ax+by+c\\ dx+ey+f\\ 1\end{array}\right]$$

该变换矩阵包含了三个部分:

• 平移分量$\left[\begin{array}{c}c\\ f\end{array}\right]$
• 旋转分量($\left[\begin{array}{cc}a& b\\ d& e\end{array}\right]$构成的2x2子矩阵)
• 缩放分量(a, b, d, e的大小)
  • 当这些元素的值大于1时,会放大相应方向的坐标;小于1时,会缩小。

2. 投影空间$(x,y,w)$

  引入一个三维投影空间,由$x$、$y$和$w$三个坐标构成,用$\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ w\end{array}\right]$表示。
其中$w=0$表示无穷远的点,即所有投影线的汇聚点所在位置。

• 左图展示了透视投影(Perspective projection)的情况,所有投影线从场景中的点汇聚于一个无穷远点,这种投影方式可以提供深度信息和真实的景深感。
  • 透视投影可以提供更真实的视觉效果,表达式为:

$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ w^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ w\end{array}\right]$$

• 右图展示了正交投影(Orthographic projection)的情况,投影线都是平行的,没有汇聚点,无法获得真实的景深感,但可以保持投影后物体的形状不变形。
  • 正交投影常用于工程制图等需要保持形状的场合,表达式为:
    $$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ w^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}a& b& 0\\ c& d& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ w\end{array}\right]$$

  这种投影空间和投影变换在计算机图形学中被广泛使用,用于将三维物体投影到二维平面上进行显示。

3. 2D直线的齐次坐标表示

a. 直线的参数方程表示

$$\begin{gathered} l=(a,b,c) \\ x\cdot l=ax+by+c=0 \end{gathered}$$其中$(a,b,c)$是直线的系数,任意一点$(x,y)$代入方程,结果为0,则该点位于该直线上。

b. 直线的法向量和原点距离表示

$$l=(n_x,n_y,d)=(\vec{n},d)\text{with}\Vert \vec{n}\Vert =1$$其中$\vec{n}=(n_x,n_y)=(\cos \theta ,\sin \theta )$表示直线的法向量,即垂直于直线方向的单位向量，$d$表示直线到原点的有符号距离。

这种表示直观地描述了直线的性质:

• $\vec{n}$给出了直线的方向
• $d$给出了直线到原点的距离,取正负号表示直线在原点的两侧

法向量和原点距离表示对于直线的各种几何运算都很有用,例如求直线交点、判断点和直线的位置关系等。通过矩阵变换,可以很自然地对直线进行旋转、平移等操作。

4. 叉积算子

1. 两条直线的表示:
   给定两条直线${\tilde{l}}_1$和${\tilde{l}}_2$的齐次坐标表示。
2. 交点的计算:
   两条直线${\tilde{l}}_1$和${\tilde{l}}_2$的交点$\tilde{x}$可以通过它们的外积(叉积)求得:
   $$\tilde{x}={\tilde{l}}_1\times {\tilde{l}}_2$$
   其中,外积的计算方式为:
   $${\tilde{l}}_1=({\tilde{x}}_1,{\tilde{y}}_1,{\tilde{a}}_1)$$$${\tilde{l}}_2=({\tilde{x}}_2,{\tilde{y}}_2,{\tilde{a}}_2)$$$$\tilde{x}={\tilde{l}}_1\times {\tilde{l}}_2=$$

这种利用直线的齐次坐标表示求交点的方法,可以自然地推广到三维空间,求两条三维直线或平面的交点。同理,在三维情况下,交点坐标为两个直线或平面的齐次坐标外积。

5. 平行线可以相交

• 两条直线在非齐次坐标系下的方程组表示:
  $$\{\begin{array}{l}Ax+By+C=0\\ Ax+By+D=0\end{array}$$
• 将这两条直线方程转换为齐次坐标表示:
  $$\{\begin{array}{l}A\frac{x}{w}+B\frac{y}{w}+C=0\\ A\frac{x}{w}+B\frac{y}{w}+D=0\end{array}⟺\{\begin{array}{l}Ax+By+Cw=0\\ Ax+By+Dw=0\end{array}$$

在这种表示下,两条直线的齐次坐标分别为$(A,B,C)$和$(A,B,D)$。

• 通过分析可以发现,当$w=0$时,对应的是无穷远点,两条直线在这个点处相交