【本节内容】

1.算法效率

2.时间复杂度

3. 常见时间复杂度

1.算法效率

1.1 如何衡量一个算法的好坏

如何衡量一个算法的好坏呢？比如对于以下斐波那契数列：

long long Fib(int N)
{
 if(N < 3)
 return 1;
 else
 return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}

斐波那契数列的递归实现方式非常简洁，但简洁一定好吗？那该如何衡量其好与坏呢？ 

1.2 算法的复杂度

算法在编写成可执行程序后，运行时需要耗费时间资源和空间(内存)资源 。因此衡量一个算法的好坏，一般是从时间和空间两个维度来衡量的，即时间复杂度和空间复杂度。

时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢，而空间复杂度主要衡量一个算法运行所需要的额外空间。在计算机发展的早期，计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展，计算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度。

 1.3 复杂度在校招中的考察

以腾讯为例：

2.时间复杂度

2.1 时间复杂度的概念

时间复杂度的定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间。一个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知道。但是我们需要每个算法都上机测试吗？是可以都上机测试，但是这很麻烦，所以才有了时间复杂度这个分析方式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。

即：找到某条基本语句与问题规模N之间的数学表达式，就是算出了该算法的时间复杂度。

下面我们通过一串代码来分析一下：

// 请计算一下Func1中++count语句总共执行了多少次？
void Func1(int N)
{
int count = 0;
for (int i = 0; i < N ; ++ i)
{
 for (int j = 0; j < N ; ++ j)
 {
 ++count;
 }
}
 
for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
{
 ++count;
}
int M = 10;
while (M--)
{
 ++count;
}
printf("%d\n", count);
}

实际中我们计算时间复杂度时，我们其实并不一定要计算精确的执行次数，而只需要大概执行次数，那么这里我们使用大O的渐进表示法。

2.2 大O的渐进表示法

大O符号（Big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学符号。

推导大O阶方法：

1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。

2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。

3、如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。

使用大O的渐进表示法以后，Func1的时间复杂度为:  

                                                 O(N²)

N = 10 F(N) = 100

N = 100 F(N) = 10000

N = 1000 F(N) = 1000000

通过上面我们会发现大O的渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项，简洁明了的表示出了执行次数。

另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：

最坏情况：任意输入规模的最大运行次数(上界)

平均情况：任意输入规模的期望运行次数

最好情况：任意输入规模的最小运行次数(下界)

例如：在一个长度为N数组中搜索一个数据x

最好情况：1次找到

最坏情况：N次找到

平均情况：N/2次找到

在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)

3.常见时间复杂度计算举例

示例1：

// 计算Func2的时间复杂度？
void Func2(int N)
{
 int count = 0;
 for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
 {
 ++count;
 }
 int M = 10;
 while (M--)
 {
 ++count;
 }
 printf("%d\n", count);
}

 解答：

示例2:

// 计算Func3的时间复杂度？
void Func3(int N, int M)
{
 int count = 0;
 for (int k = 0; k < M; ++ k)
 {
 ++count;
 }
 for (int k = 0; k < N ; ++ k)
 {
 ++count;
 }
 printf("%d\n", count);
}

解答： 

 示例3：

// 计算Func4的时间复杂度？
void Func4(int N)
{
 int count = 0;
 for (int k = 0; k < 100; ++ k)
 {
 ++count;
 }
 printf("%d\n", count);
}

解答：  

灵魂拷问：为什么常数项的时间复杂度为O(1)? 

很多小伙伴可能会疑惑N也算在常数里面啊，为什么100这种常数就不算O(N)而算O(1)那如果我填一个很大的数比如10000,10000000等，是不是就可以算O(N)了呢？

能问出这样问题的小伙伴，我只能说，这是你对你电脑硬件的无知啊~

大家买电脑的时候应该都会看到CPU的参数，经常都是写几GHz的。

1GHz 就是每秒十亿次运算，如果每次运算能完成两个浮点操作，就叫 2G FLOPS（每秒二十亿次浮点操作）。现在家用的双核计算机通常都能达到每秒五十亿次运算（2*2.5GHz）左右的水平，浮点性能大约是上百亿次浮点操作。

扩展资料：

FLOPS换算：

一个MFLOPS（megaFLOPS）等于每秒一百万（=10^6）次的浮点运算，

一个GFLOPS（gigaFLOPS）等于每秒十亿（=10^9）次的浮点运算，

一个TFLOPS（teraFLOPS）等于每秒一万亿（=10^12）次的浮点运算，

一个PFLOPS（petaFLOPS）等于每秒一千万亿（=10^15）次的浮点运算，

一个EFLOPS（exaFLOPS）等于每秒一百京（=10^18）次的浮点运算，

一个ZFLOPS（zettaFLOPS）等于每秒十万京（=10^21）次的浮点运算。

目前中国的「天河2号」超级计算机，计算速度为30.65PFlops。

参考资料来源：

百度百科-FLOPSj

就拿我这台笔记本电脑来说，随随便便就跑到了4GHz，相当于每秒40亿次的浮点运算。我们手打的有限常数对CPU运算有什么影响嘛？ 直白点说，CPU都要忍不住吐槽你：

然而我们的N是未知数，无法判断他到底是多少，如果达到京及以上单位的数的话可能就得动用我们的超级计算机，不然就得算到猴年马月了。因此，对于未知数我们利用大O渐进法就得考虑最坏的打算O(N)。

示例4:

// 计算strchr的时间复杂度？
const char * strchr ( const char * str, int character );
{
while(*str)
{
  if(*str==character)
     return str;
  else
     str++;
}

解答： 

 示例5：

// 计算BubbleSort的时间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{
 assert(a);
 for (size_t end = n; end > 0; --end)
 {
 int exchange = 0;
 for (size_t i = 1; i < end; ++i)
 {
 if (a[i-1] > a[i])
 {
 Swap(&a[i-1], &a[i]);
 exchange = 1;
 }
 }
 if (exchange == 0)
 break;
 }
}

解答：

 

 示例6：

// 计算BinarySearch的时间复杂度？
int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{
 assert(a);
 int begin = 0;
 int end = n-1;
 while (begin < end)
 {
 int mid = begin + ((end-begin)>>1);
 if (a[mid] < x)
 begin = mid+1;
 else if (a[mid] > x)
 end = mid;
 else
 return mid;
 }
 return -1;
}

解答 ：

但是我们真正的写法是logN，不保留底数。那这又是为什么呢？ 

其实我们依据我们的大O渐进法就能得出来。

我们只需要知道大概的执行次数而已，不需要精确的次数，无论以谁为底其实都相差一个常数倍而已。而这些常数倍我们的CPU完全可以忽略不计。所以我们在对数函数的时间复杂度上默认省略底数。

示例7：

// 计算阶乘递归Fac的时间复杂度？
long long Fac(size_t N)
{
 if(0 == N)
 return 1;
 else
 return Fac(N-1)*N;
}

解答：

示例8： 

// 计算斐波那契递归Fib的时间复杂度？
long long Fib(size_t N)
{
 if(N < 3)
 return 1;
 else
 return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}

解答： 

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