一、 前言

霍夫变换是一种特征检测(feature extraction)，被广泛应用在图像分析（image analysis）、计算机视觉(computer vision)以及数位影像处理(digital image processing)。由RichardDuda和PeterHart在公元1972年发明，并称之为广义霍夫变换(generalizedHoughtransform)，广义霍夫变换和更早前1962年的PaulHough的专利有关。经典的霍夫变换是侦测图片中的直线，之后，霍夫变换不仅能识别直线，也能够识别任何形状，常见的有圆形、椭圆形。1981年，因为DanaH.Ballard的一篇期刊论文"Generalizing the Hough transform to detect arbitrary shapes"，让霍夫变换开始流行于计算机视觉界。霍夫变换是用来辨别找出物件中的特征，例如：线条。他的算法流程大致如下，给定一个物件、要辨别的形状的种类，算法会在参数空间(parameter space)中执行投票来决定物体的形状，而这是由累加空间(accumulator space)里的局部最大值(local maximum)来决定。

二、Hough 变换

一条直线可由两个点$A=(x_1,y_1)$和$B=(x_2,y_2)$确定(笛卡尔坐标)

另一方面，$y=kx+b$也可以写成关于$（k,q）$的函数表达式（霍夫空间）：
$$\{\begin{array}{r}q=-k{x}_1+y_1\\ q=-k{x}_2+y_2\end{array}$$
空间变换过程如下图：
变换后的空间成为霍夫空间。即：笛卡尔坐标系中一条直线，对应霍夫空间的一个点。

反过来同样成立（霍夫空间的一条直线，对应笛卡尔坐标系的一个点）：

笛卡尔坐标系中两个点对应霍夫空间两条线：

如果笛卡尔坐标系三个点共线，对应的霍夫空间的三条线相交于一点

霍夫变换的后处理的基本方式：选择由尽可能多直线汇成的点。
但是，按照直角坐标系表示的话会出现下图的情况：当图像空间中点共的线垂直于x轴时，斜率无限大，在霍夫空间无法找到交点。因而，人们最终引入了极坐标的表示法。

极坐标下的霍夫直线检测原理与直角坐标系下完全一致，唯一需要重新推导的是与霍夫空间的极坐标参数函数：
$$y=\left(-\frac{cos\theta }{sin\theta }\right)x+\frac{r}{sin\theta }$$
化简便可得到:
$$r=xcos\theta +ysin\theta$$
如果对于一个给定点$(x_0,y_0)$，意味着每一对$(r,\theta )$代表一条通过点$(x_{\theta },y_{\theta })$的直线。我们在极坐标对极径极角平面绘出所有通过它的直线, 将得到一条正弦曲线. 例如, 对于给定点$(x_0=8和y_0=6)$ 我们可以绘出下图 (在平面):

极坐标与笛卡尔坐标的转换公式，从极坐标转换$(r,\theta )$在笛卡尔坐标系 $(x,y)$:
$$\{\begin{array}{r}x=rcos\theta \\ y=rsin\theta \end{array}$$
从笛卡儿坐标转换 $(x,y)$ 到极坐标 $(r,\theta )$:
$$\begin{gathered} r=\sqrt{x^2+y^2} \\ \theta =arctan(y/x) \end{gathered}$$
在极坐标系下，其实是一样的：极坐标的点→霍夫空间的直线，只不过霍夫空间不再是$[k,q]$的参数，而是$(r,\theta )$。

三、直线检测

通过上面的介绍可知，画出$x-y$坐标空间中的点在参数空间中对应的曲线，然后计算参数空间中曲线的交点，就能求得待求的参数。但还有一个问题，当参数空间中的曲线存在多个交点时，如何挑选出最有可能的解呢？
具体计算时，可将参数空间划分为所谓的累加单元$A(\theta ,\rho )$。如图下图所示，对于$x-y$平面的每一个非背景点$(x_k,y_k)$,令$\theta$等于每个可取的细分值，根据$\theta =-x_k\theta +y_k$计算出对应的$\rho$值，每计算出一组$A(\theta ,\rho )$，则令$A(\theta ,\rho )=A(\theta ,\rho )+1$。计算所有结果后，找到$A(\theta ,\rho )$的峰值对应的$\theta$和$\rho$，即可检测直线。$({\theta }_{min},{\theta }_{max})$和$({\rho }_{min},{\rho }_{max})$是期望的参数范围：$0^o\le \theta \le 180^o$和$-D\le \theta \le D$,$D$是图像对角线的长度。$\theta$和$\rho$的细分数量决定了检测结果的精度。

投票过程可以观看下面的GIF,

左边上青色的点代表图像上的像素点，黄色的代表对各个点不同角度搜索。右半边是投票盘，颜色越浅代表票数越多。

四、代码实现

1.hough检测

def lines_detector_hough(img,ThetaDim=None, DistStep=None, threshold=None, halfThetaWindowSize=2,
                         halfDistWindowSize=None):
    '''

    :param img: 经过边缘检测得到的二值图
    :param ThetaDim: hough空间中theta轴的刻度数量(将[0,pi)均分为多少份),反应theta轴的粒度,越大粒度越细
    :param DistStep: hough空间中dist轴的划分粒度,即dist轴的最小单位长度
    :param threshold: 投票表决认定存在直线的起始阈值
    :return: 返回检测出的所有直线的参数(theta,dist)和对应的索引值,
    '''
    row,col= edge.shape
    if ThetaDim == None:
        ThetaDim = 90
    if DistStep == None:
        DistStep = 1
    # 计算距离分段数量
    MaxDist = np.sqrt(row ** 2 + col ** 2)
    DistDim = int(np.ceil(MaxDist / DistStep))

    if halfDistWindowSize == None:
        halfDistWindowSize = int(DistDim /50)

    # 建立投票
    accumulator = np.zeros((ThetaDim, DistDim))  # theta的范围是[0,pi). 在这里将[0,pi)进行了线性映射.类似的,也对Dist轴进行了线性映射
    #
    sinTheta = [np.sin(t * np.pi / ThetaDim) for t in range(ThetaDim)]
    cosTheta = [np.cos(t * np.pi / ThetaDim) for t in range(ThetaDim)]
    #计算距离（rho）
    for i in range(row):
        for j in range(col):
            if not edge[i, j] == 0:
                for k in range(ThetaDim):
                    accumulator[k][int(round((i * cosTheta[k] + j * sinTheta[k]) * DistDim / MaxDist))] += 1
    M = accumulator.max()
#---------------------------------------
    #非极大抑制
    if threshold == None:
        threshold = int(M * 1.369/ 10)
    result = np.array(np.where(accumulator > threshold))  # 阈值化
    #获得对应的索引值
    temp = [[], []]
    for i in range(result.shape[1]):
        eight_neiborhood = accumulator[
                           max(0, result[0, i] - halfThetaWindowSize + 1):min(result[0, i] + halfThetaWindowSize,
                                                                              accumulator.shape[0]),
                           max(0, result[1, i] - halfDistWindowSize + 1):min(result[1, i] + halfDistWindowSize,
                                                                             accumulator.shape[1])]
        if (accumulator[result[0, i], result[1, i]] >= eight_neiborhood).all():
            temp[0].append(result[0, i])
            temp[1].append(result[1, i])
    #记录原图所检测的坐标点（x,y）
    result_temp= np.array(temp)
#-------------------------------------------------------------
    result = result_temp.astype(np.float64)
    result[0] = result[0] * np.pi / ThetaDim
    result[1] = result[1] * MaxDist / DistDim
    return result,result_temp

2.画直线代码

def drawLines(lines, edge, color=(255, 0, 0), err=3):

    '''
    :param lines: 检测后的直线参数
    :param edge: 原图
    :param color: 直线的颜色
    :param err:检测的可接受的误差值
    :return: 无
    '''

    if len(edge.shape) == 2:
        result = np.dstack((edge, edge, edge))
    else:
        result = edge
    Cos = np.cos(lines[0])
    Sin = np.sin(lines[0])

    for i in range(edge.shape[0]):
        for j in range(edge.shape[1]):
            e = np.abs(lines[1] - i * Cos - j * Sin)
            if (e < err).any():
                result[i, j] = color
    plt.imshow(result, cmap='gray')
    plt.axis('off')
    plt.show()

3.画hough空间代码

def data_img(data):

    '''
    :param data: 直线上含有的点（x,y）
    :return: 输出hough空间图像
    '''

    fig = plt.figure()  # 新建画布
    ax = axisartist.Subplot(fig, 111)  # 使用axisartist.Subplot方法创建一个绘图区对象ax
    fig.add_axes(ax)
    ax.axis[:].set_visible(False)  # 隐藏原来的实线矩形
    ax.axis["x"] = ax.new_floating_axis(0, 0, axis_direction="bottom")  # 添加x轴
    ax.axis["y"] = ax.new_floating_axis(1, 0, axis_direction="bottom")  # 添加y轴
    ax.axis["x"].set_axisline_style("->", size=1.0)  # 给x坐标轴加箭头
    ax.axis["y"].set_axisline_style("->", size=1.0)  # 给y坐标轴加箭头
    t = np.arange(-np.pi / 2, np.pi / 2, 0.1)
    ax.annotate(text='x', xy=(2 * math.pi, 0), xytext=(2 * math.pi, 0.1))  # 标注x轴
    ax.annotate(text='y', xy=(0, 1.0), xytext=(-0.5, 1.0))  # 标注y轴
    for i in range(data.shape[1]):
        rho = data[0][i] * np.cos(t) + data[1][i] * np.sin(t)
        plt.plot(t, rho)
    plt.show()

4.检测结果

点击这里可以下载检测图片
全部代码可见本人GitHub仓库,如果代码有用，please click star
hough检测之前需要canny算子检测基础的边缘，点击这里可以查看有关canny算法相关内容

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