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DP分析：
优化：
二进制优化
例题：
01背包是每个物品只有一个，完全背包问题是每个物品有无限个。
那么多重背包问题就是 每个物品有有限个。
有 N 种物品和一个容量是 V 的背包。
第 i 种物品最多有 si 件，每件体积是 vi，价值是 wi。
求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。
DP分析：
和完全背包问题很像，暴力算法都是多加一层循环，循环物品的个数。O(n^3)
动态规划DP之背包问题2---完全背包问题-CSDN博客
实现代码：
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=V;j++){
f[i][j] = f[i-1][j];
for(int k=0;k<=s[i]&&k*v[i]<=j;k++)
f[i][j] = Math.max(f[i][j],f[i-1][j-k*v[i]]+k*w[i]);
}
}优化：
不能采用完全背包的优化方式。动态规划DP之背包问题2---完全背包问题-CSDN博客
因为：
多了一个 ，而max是不能减少一个获取到最大值的。
二进制优化
和快速幂的思路方法很像。快速幂（求解原理+例题）-CSDN博客
假如：物品 的数量为
- 暴力做法就是从
枚举到
。
- 使用二进制优化，我们只需要枚举
个数：
，就可以组合出
中的任意一个整数。（相当于二进制表示转化为十进制）
一般性下，如和求出 下需要的数是哪些：
从 到
可以组合成
之间的任何一个数，加上
后可以组成
，其中
。
如何保证第一段 与
之间没有空隙，即
是否大于
。
因为 的取值
保证了：
如果 ，那么就会取
，不是
了。
因此，我们将 ，然后针对分开后的所有物品使用01背包处理方式。时间复杂度降为
。
优化代码：
转换为01背包问题，将 拆后的所有数，分别作为一种物品的数量。
for(int i=1;i<=n;i++){
str = in.readLine().split(" ");
int vi = Integer.parseInt(str[0]); // 物品i的体积
int wi = Integer.parseInt(str[1]); // 物品i的价值
int si = Integer.parseInt(str[2]); // 物品i的数量
// 直接将该物品数目拆分成多个，但是拆分完后的物品数目可以组合成si中的任何一个数目
int k = 1; // 从1开始划分，每次乘23
while(si>=k){ //满足c<2^(k+1) ，即是s大于k，才能划分k个物品出去
v[cnt] = vi*k; // 个数*体积，作为新一个物品
w[cnt] = wi*k;
si -= k; // 减去划分的
k *= 2;
cnt++;
}
if(si!=0){ // 最后剩下的物品，即c
v[cnt] = si*vi;
w[cnt] = si*wi;
cnt++;
}
}
n = cnt;例题：
有 N 种物品和一个容量是 V 的背包。
第 i 种物品最多有 si 件，每件体积是 vi，价值是 wi。
求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。输入格式
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。
接下来有 N 行，每行三个整数 vi,wi,si，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积、价值和数量。
输出格式
输出一个整数，表示最大价值。
数据范围
0<N≤1000
0<V≤2000
0<vi,wi,si≤2000提示：
本题考查多重背包的二进制优化方法。
输入样例
4 5 1 2 3 2 4 1 3 4 3 4 5 2输出样例：
10
import java.io.*;
import java.util.*;
class Main{
static int N = 20010;
static int n,V;
static int[] v = new int[N]; // 体积
static int[] w = new int[N]; // 价值
static int[] s = new int[N]; // 个数
static int[] f = new int[N]; // 二维会超内存
public static void main(String[] args) throws IOException{
BufferedReader in = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
String[] str = in.readLine().split(" ");
n = Integer.parseInt(str[0]);
V = Integer.parseInt(str[1]);
int cnt = 1;
for(int i=1;i<=n;i++){
str = in.readLine().split(" ");
int vi = Integer.parseInt(str[0]);
int wi = Integer.parseInt(str[1]);
int si = Integer.parseInt(str[2]);
// 直接将该物品数目拆分成多个，但是拆分完后的物品数目可以组合成si中的任何一个数目
int k = 1;
while(si>=k){ //满足c<2^(k+1) ，则是s大于k，才能划分k个物品出去
v[cnt] = vi*k;
w[cnt] = wi*k;
si -= k;
k *= 2;
cnt++;
}
if(si!=0){ // 最后剩下的物品
v[cnt] = si*vi;
w[cnt] = si*wi;
cnt++;
}
}
n = cnt;
// 转化为01背包问题
for(int i=1;i<n;i++)
for(int j=V;j>=v[i];j--)
f[j] = Math.max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
System.out.println(f[V]);
}
}
