a.343. 整数拆分
题目链接
给定一个正整数 n ，将其拆分为 k 个 正整数 的和（ k >= 2 ），并使这些整数的乘积最大化。
返回 你可以获得的最大乘积 。
示例 1:
输入: n = 2 输出: 1 解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。
示例 2:
输入: n = 10 输出: 36 解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。
提示:
2 <= n <= 58
思路：动态规划五部曲：
1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i]：分拆数字i，可以得到的最大乘积为dp[i]。
2.确定递推公式
可以想 dp[i]最大乘积是怎么得到的呢？其实可以从1遍历j，然后有两种渠道得到dp[i].
一个是j * (i - j) 直接相乘。
一个是j * dp[i - j]，相当于是拆分(i - j)，继续拆分
即拆成两个数和拆成两个数以上
所以递推公式：dp[i] = max({dp[i], (i - j) * j, dp[i - j] * j});
3.dp的初始化
不少同学应该疑惑，dp[0] dp[1]应该初始化多少呢？
有的题解里会给出dp[0] = 1，dp[1] = 1的初始化，但解释比较牵强，主要还是因为这么初始化可以把题目过了。严格从dp[i]的定义来说，dp[0] dp[1] 就不应该初始化，也就是没有意义的数值，而且题目范围
2 <= n <= 58。这里我只初始化dp[2] = 1，从dp[i]的定义来说，拆分数字2，得到的最大乘积是1，这个没有任何异议！4.确定遍历顺序
确定遍历顺序，先来看看递归公式：dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
dp[i] 是依靠 dp[i - j]的状态，所以遍历i一定是从前向后遍历，先有dp[i - j]再有dp[i]。
所以遍历顺序为：
for (int i = 3; i <= n ; i++) { for (int j = 1; j < i - 1; j++) { dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j)); } }注意 枚举j的时候，是从1开始的。从0开始的话，那么让拆分一个数拆个0，求最大乘积就没有意义了。
j的结束条件是 j < i - 1 ，其实 j < i 也是可以的，不过可以节省一步，例如让j = i - 1，的话，其实在 j = 1的时候，这一步就已经拆出来了，重复计算，所以 j < i - 1
至于 i是从3开始，这样dp[i - j]就是dp[2]正好可以通过我们初始化的数值求出来。
更优化一步，可以这样：
for (int i = 3; i <= n ; i++) { for (int j = 1; j <= i / 2; j++) { dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j)); } }因为拆分一个数n 使之乘积最大，那么一定是拆分成m个近似相同的子数相乘才是最大的。
例如 6 拆成 3 * 3， 10 拆成 3 * 3 * 4。 100的话 也是拆成m个近似数组的子数 相乘才是最大的。只不过我们不知道m究竟是多少而已，但可以明确的是m一定大于等于2，既然m大于等于2，也就是 最差也应该是拆成两个相同的 可能是最大值。
那么 j 遍历，只需要遍历到 n/2 就可以，后面就没有必要遍历了，一定不是最大值。
至于 “拆分一个数n 使之乘积最大，那么一定是拆分成m个近似相同的子数相乘才是最大的” 这个我就不去做数学证明了，感兴趣的同学，可以自己证明。
5.举例推导dp数组
举例当n为10 的时候，dp数组里的数值，如下：
class Solution {
public:
int integerBreak(int n) {
vector<int>dp(n+1);
dp[2]=1;
for(int i=3;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=i/2;j++){
dp[i]=max(dp[i],max(j*(i-j),j*dp[i-j]));
}
}
return dp[n];
}
};b.96.不同的二叉搜索树
题目链接
给你一个整数 n ，求恰由 n 个节点组成且节点值从 1 到 n 互不相同的 二叉搜索树 有多少种？返回满足题意的二叉搜索树的种数。
示例 1：
输入：n = 3 输出：5
示例 2：
输入：n = 1 输出：1
提示：
1 <= n <= 19
先举几个例子，画画图，看看有没有什么规律，如图：
n为1的时候有一棵树，n为2有两棵树，这个是很直观的。
忽略节点具体数值，可以看到 以1为头节点时，右子树有两个节点，这两个节点的布局和n=2时节点布局一致！
当以3为头节点时其左子数有两个节点，该俩节点布局也和n=2时布局一致
当2为头节点时左右子树只有一个节点，布局和n=1时节点类似；
因此有：
dp[3]，就是 元素1为头结点搜索树的数量 + 元素2为头结点搜索树的数量 + 元素3为头结点搜索树的数量
元素1为头结点搜索树的数量 = 右子树有2个元素的搜索树数量 * 左子树有0个元素的搜索树数量
元素2为头结点搜索树的数量 = 右子树有1个元素的搜索树数量 * 左子树有1个元素的搜索树数量
元素3为头结点搜索树的数量 = 右子树有0个元素的搜索树数量 * 左子树有2个元素的搜索树数量
有2个元素的搜索树数量就是dp[2]。
有1个元素的搜索树数量就是dp[1]。
有0个元素的搜索树数量就是dp[0]。
所以dp[3] = dp[2] * dp[0] + dp[1] * dp[1] + dp[0] * dp[2]
如图所示：
此时我们已经找到递推关系了，那么可以用动规五部曲再系统分析一遍。
1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i] ： 1到i为节点组成的二叉搜索树的个数为dp[i]。
也可以理解是i个不同元素节点组成的二叉搜索树的个数为dp[i]
2.确定递推公式
在上面的分析中，其实已经看出其递推关系， dp[i] += dp[以j为头结点左子树节点数量] * dp[以j为头结点右子树节点数量] ，j相当于是头结点的元素，从1遍历到i为止。
所以递推公式：dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]; ，j-1 为j为头结点左子树节点数量，i-j 为以j为头结点右子树节点数量
3.dp数组如何初始化
初始化，只需要初始化dp[0]就可以了，推导的基础，都是dp[0]。
那么dp[0]应该是多少呢？
从定义上来讲，空节点也是一棵二叉树，也是一棵二叉搜索树，这是可以说得通的。
从递归公式上来讲，dp[以j为头结点左子树节点数量] * dp[以j为头结点右子树节点数量] 中以j为头结点左子树节点数量为0，也需要dp[以j为头结点左子树节点数量] = 1， 否则乘法的结果就都变成0了。
4.定遍历顺序
首先一定是遍历节点数，从递归公式：dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]可以看出，节点数为i的状态是依靠 i之前节点数的状态。
那么遍历i里面每一个数作为头结点的状态，用j来遍历。、
5.举例推导dp数组
n为5时候的dp数组状态如图：
class Solution {
public:
int numTrees(int n) {
vector<int>dp(n+1);
dp[0]=1;
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=i;j++){
dp[i]+=dp[j-1]*dp[i-j];
}
}
return dp[n];
}
};参考：代码随想录 (programmercarl.com)
