Python科学计算系列：数组

正所谓巧妇难为无米之炊，没有数据，也就没法对数据进行分析，从而数值计算也就成了无根之木了。所以，在学习具体的数值计算方法之前，先介绍几种特殊数据的生成方法。

生成序列

在科学计算时，会经常遇到生成序列的需求，比如前面演示差分、累加时就通过arange生成了一组自然数列。并且为了让相邻元素间隔$0.1$，还在后面除以10。然而，arange这个函数，其实是有能力生成间隔为0.1的序列的。

此外，【linspace】也可以生成等差数列，二者区别如下

• linspace(a,b,N) 在$[a,b]$中间生成$N$个值，$N$默认为50
• arange(a,b,delta) 在$[a,b)$之间，以$\delta$为间隔生成值，$\delta$默认为1

所以，若想实现$[0,10)$之间间隔为0.1的等差数列，这两个函数都可以做到，但需注意，linspace函数对两个端点默认是封闭的。

x = np.arange(0,10,0.1)
x = np.linspace(0,9.9,100)
x = np.linspace(0,10,100,endpoint=False)

除了等差数列之外，【logspace】和【geomspace】函数，可生成等比数列，二者区别如下

• logspace(a,b,N,base=c) 在$[c^a,c^b]$ 之间等比生成N个值
• geomspace(a,b,N,base=c) 在$[a,b]$之间，等比生成N个值

base参数可表示对数的底。取$a=1,b=2,N=20$，二者差别如下

绘图代码为

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
x = np.linspace(1,2,20)
y = {"logspace" : np.logspace(1,2,20),
"geomspace" : np.geomspace(1,2,20)}

fig = plt.figure()
for i,key in zip([1,2],y.keys()):
    ax = fig.add_subplot(1,2,i)
    ax.plot(x,y[key],marker="*")
    ax.set_title(key)

plt.show()

创建网格

在三维图的绘制过程中，一般需要$x,y,z$之间的对应关系，但对于图像而言，其$x,y$轴坐标是体现在像素栅格中的，从而图像矩阵中的像素强度，其实表示的是$z$轴的坐标，这种情况下如果想绘制三维散点图，就需要生成图像像素对应的坐标网格。

这种网格形式大致如下，其中$x_v$的$y$轴不变，而$x$轴等差增长，与坐标轴等比例映射，$y_v$同理。

$$x_v=\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 1& 2& 3& 4\\ 1& 2& 3& 4\\ 1& 2& 3& 4\end{array}\right]y_v=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 1& 1& 1& 1\\ 2& 2& 2& 2\\ 3& 3& 3& 3\end{array}\right]$$

【meshgrid】是Python中最常用的坐标网格生成函数，可将输入的$x,y$变量，向$y$轴和$x$轴方向进行扩张。如想生成$x_v,y_v$，方法如下

x = [1,2,3,4]
y = [0,1,2,3]
xv, yv = np.meshgrid(x, y)

【mgrid】比meshgrid更加简单，可以直接通过魔法函数用索引语法来生成坐标网格，

yv, xv = np.mgrid[:4, 1:5]

np.mgrid[1:5]       # [1, 2, 3, 4]
np.mgrid[1:10:5]    # [1, 6]
np.mgrid[1.1:10]    # [1.1, 2.1, 3.1, 4.1, 5.1, 6.1, 7.1, 8.1, 9.1]

如果翻阅源码，会发现mgrid是MGridClass的一个实例，MGridClass则是nd_grid的一个子类，在nd_grid中，实现了__getitem__这个魔法函数，从而支持方括号语法来生成数据。。

【ogrid】的用法与mgrid相同，同样是nd_grid的子类，但生成的数组不同，直接看案例

x,y = ogrid[0:5,0:5]

其中，$x=[0,1,2,3,4{]}^T$，$y=[0,1,2,3,4]$。

如果想干脆一点，只是生成从0开始的等间隔的坐标网格，那么这里最推荐的是【indices】，这个函数只需输入维度，就可以完成网格的创建。

创建特殊数组

numpy提供了一系列函数用以生成特殊数组，列表如下。所有这些函数中，都有一个可选参数dtype，表示创建的数组的数据类型。

类别	函数
指定维度	empty, ones, zeros, full, eye, identity
模仿维度	empty_like, ones_like, zeros_like, full_like
特殊矩阵	diag, diagflat, tri, tril, triu, vander

【empty】生成指定维度的空数组。

【ones】, 【zeros】和【full】生成所有元素都相同的数组，顾名思义，前两者分别是全1和全0的数组，而full可通过参数fill_value来指定填充的数值。

以【_like】为后缀的函数，表示生成一个和输入数组维度相同的数组，例如，np.ones_like(x)等价于np.ones(x.shape)。

np.ones(3)              #生成全1的3x1数组
np.zeros([2,3])         #生成全0的2x3数组
x = np.full([2,4], 5)   #生成元素均为5的2x4数组
y = np.full_like(x, 6)

【eye】和【identity】都是生成对角为1，其他元素为0的矩阵，区别在于，前者只能生成单位矩阵，即方阵；后者则无此要求。【diagflat】和【diag】用于生成对角矩阵，这几种矩阵的区别如下。

【diag】在diagflat基础上，还可以提取对角元素，例如

np.diag(np.ones([3,3])) #提取对角元素 [1., 1., 1.]

【tri(M,N,k)】用于生成M行N列的三角阵，其元素为0或者1，k用于调节$0和$1$的分界线相对于对角线的位置，下图中，红色表示$1$，蓝色表示$0$.

【tril, triu】可用于提取出矩阵的左下和右上的三角阵，其输入参数除了待提取矩阵之外，另一个参数与tri中的k相同，把x设为

x = np.arange(20).reshape(4, 5)

则tril和triu作用在x上的效果分别如下，二者分别把右上角和左下角的值变成了0。

【vander】可通过给定的${\alpha }_i$生成范德蒙德矩阵。对于$m\times (n+1)$的范德蒙德矩阵$V$，其矩阵元可表示为对可表示为$V_{ij}={\alpha }_i^j$，示例如下

x = np.array([1, 2, 3, 5])
V = np.vander(x, increasing=True)

其结果为

$$V=\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& 2& 4& 8\\ 1& 3& 6& 9\\ 1& 5& 25& 125\end{array}\right]$$

随机数组

numpy中提供了【random】模块，可用于随机数组的生成，其中又以【rand】函数最为常用，其使用频次仅次于arange。

一个更加规范的随机数创建过程，往往需要指定随机数种子，以便于复现。

np.random.seed(42)
np.random.rand(2,2)

其返回值如下。

$$\left[\begin{array}{cc}0.37454012& 0.95071431\\ 0.73199394& 0.59865848\end{array}\right]$$

众所周知，我们所调用的随机数，其实是伪随机数，本质是查阅随机数表。而【seed】函数，可以理解为查阅这个表的起始位置，所以这个数指定了，那么后期所有的“随机数”的值也就确定了。

除了numpy之外，Python标准库【random】也提供了随机数表，即可用于随机数的生成，但其输出仅为浮点数，示例如下

import random
random.seed(42)
random.random()
# 0.6394267984578837