每周一算法：A*（A Star）算法

八数码难题

题目描述

在 $3\times 3$ 的棋盘上，摆有八个棋子，每个棋子上标有 $1$ 至 $8$ 的某一数字。棋盘中留有一个空格，空格用 $0$ 来表示。空格周围的棋子可以移到空格中。要求解的问题是：给出一种初始布局（初始状态）和目标布局（为了使题目简单,设目标状态为 $123804765$ ），找到一种最少步骤的移动方法，实现从初始布局到目标布局的转变。

输入格式

输入初始状态，一行九个数字，空格用 $0$ 表示。

输出格式

只有一行，该行只有一个数字，表示从初始状态到目标状态需要的最少移动次数。保证测试数据中无特殊无法到达目标状态数据。

样例 #1

样例输入 #1

283104765

样例输出 #1

提示

样例解释

图中标有 $0$ 的是空格。绿色格子是空格所在位置，橙色格子是下一步可以移动到空格的位置。如图所示，用四步可以达到目标状态。

并且可以证明，不存在更优的策略。

广度优先搜索

算法思想

根据题目描述，输入一个棋盘的初始状态，求从初始状态到目标状态需要的最少移动次数，可以用广度优先搜索求解，基本思想如下：

将初始状态 $\text{start}$ 的移动步数设为 $0$ ，然后将其加入队列
只要队列不为空
- 从队首取出一个状态 $\text{state}$
- 如果 $\text{state}=\text{end}$ 结束状态，则搜索结束，返回到达的 $\text{state}$ 移动步数
- 否则，找到 $\text{state}$ 中字符 $0$ 的位置，向相邻方向进行扩展
  - 如果扩展到一个新的状态，则计算扩展到新状态的步数，并将新状态加入队列

代码实现

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
queue<string> q;
unordered_map<string,int> dis;

int dx[]={-1, 1, 0, 0}, dy[]={0, 0, -1, 1};

int bfs(string start)
{
    string end = "123804765";
    dis[start] = 0;
    q.push(start);
    while(!q.empty())
    {
        string state = q.front(); q.pop();
        int step = dis[state];
        if(state == end) return step;
        int k = state.find('0'); //在当前状态的字符串中找到字符0
        int x = k / 3, y = k % 3; //将字符串中的位置转换为矩阵中的坐标
        for(int i = 0; i < 4; i ++)
        {
            int a = x + dx[i], b = y + dy[i]; 
            if(a < 0 || a >= 3 || b < 0 || b >= 3) continue; //越界
            swap(state[k], state[a * 3 + b]); //将数字字符与0进行交换，转移到新状态
            if(!dis.count(state)) //没有访问过
            { 
                dis[state] = step + 1; //转移到state状态的最小步数
                q.push(state); //入队
            }
            swap(state[k], state[a * 3 + b]); //恢复现场，交换回来，为下次转移做准备
        }
    }
    return -1;
}

int main()
{
    string start;
    char c;
    for(int i = 0; i < 9; i ++)
    {
        cin >> c;
        start += c;
    }
    cout << bfs(start) << endl;
    return 0;
}

A*算法

通过BFS可以发现，对每个状态都可以将 $0$ 向上右下左四个方向进行扩展，在最坏情况下要搜索的状态空间为 $4^9$ ，指数级别，搜索的效率比较低。在这种情况下，可以使用A*算法进行求解。

A*（A Star）算法是一种很常用的路径查找和图形遍历算法，它有较好的性能和准确度。

A*算法通过下面的函数来计算每个状态的优先级：

$f (n) = g (n) + h (n)$
其中：

$f (n)$ 是当前状态 $n$ 的综合优先级。当选择下一个要扩展的状态时，我们总会选取综合优先级最高（值最小）的状态。
$g (n)$ 是状态距离起点（初始状态）的代价
$h (n)$ 是状态 $n$ 距离终点（目标状态）的预计代价，这也就是A*算法的启发函数。

算法思想

A*算法与BFS类似，不同之处在于A*算法使用优先队列，选取 $f (n)$ 值最小（优先级最高）的状态作为下一个待扩展的状态。基本思想如下：

将初始状态 $\text{start}$ 的移动步数设为 $0$ ，然后其综合优先级和初始状态加入优先队列
只要队列不为空
- 取出优先队列中综合优先级最高（值最小）的状态 $\text{state}$
- 如果 $\text{state}=\text{end}$ 结束状态，则搜索结束，返回到达的 $\text{state}$ 移动步数
- 否则，找到 $\text{state}$ 中字符 $0$ 的位置，向相邻方向进行扩展
  - 如果扩展到一个新状态，或者到达该状态的步数减少，将状态的综合优先级和状态本身继续加入优先队列

启发函数

从算法的基本思想可以看出来，启发函数会影响A*算法的行为。

在极端情况下，当启发函数 $h (n)$ 为0时，则将由 $g (n)$ 决定状态的优先级，此时算法就退化成了Dijkstra算法。
如果 $h (n)$ 始终小于等于状态 $n$ 到终点的代价，则A*算法保证一定能够找到最短路径。但是当 $h (n)$ 的值越小，算法将遍历越多的状态，也就导致算法越慢。
如果 $h (n)$ 完全等于状态 $n$ 到终点的代价，则A*算法将找到最佳路径，并且速度很快。可惜的是，并非所有场景下都能做到这一点。因为在没有达到终点之前，很难确切算出距离终点还有多远。
如果 $h (n)$ 的值比状态 $n$ 到终点的代价要大，则A*算法不能保证找到最短路径，不过此时会很快。

通过调节启发函数我们可以控制算法的速度和精确度。因为在一些情况，可能未必需要最短路径，而是希望能够尽快找到一个路径即可，这也是A*算法比较灵活的地方。

对于网格形式的图，有以下这些启发函数可以使用：

如果图形中只允许朝上下左右四个方向移动，则可以使用曼哈顿距离（Manhattan distance）。
如果图形中允许朝八个方向移动，则可以使用对角距离。
如果图形中允许朝任何方向移动，则可以使用欧几里得距离（Euclidean distance）。

代码实现

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <unordered_map>
using namespace std;
typedef pair<int, string> PIS;
int dx[4] = {-1, 0, 1, 0}, dy[4] = {0, 1, 0, -1};
//启发函数取当前状态中每个数字与其目标位置的曼哈顿距离之和
int h(string state)
{
    int res = 0;
    for(int i = 0; i < state.size(); i ++)
    {
        if(state[i] != '0')
        {
            int t = state[i] - '1';
            res += abs(i / 3 - t / 3) + abs(i % 3 - t % 3); //累加每个数字到其正确位置的曼哈顿距离
        }
    }
    return res;
}
int bfs(string start)
{
    string end = "123804765";
    priority_queue<PIS, vector<PIS>, greater<PIS>> heap; //小顶堆
    unordered_map<string, int> dis; //记录到达每一种状态的步数
    //g(start)返回起点到终点的预估距离
    heap.push({0 + h(start), start});
    dis[start] = 0;
    while(heap.size())
    {
        PIS t = heap.top(); heap.pop();
        string state = t.second;
        if(state == end) break; //终点第一次出队，搜索结束
        int step = dis[state];
        int k = state.find('0'); //找到0所在位置
        int x = k / 3, y = k % 3; 
        for(int i = 0; i < 4; i ++)
        {
            int a = x + dx[i], b = y + dy[i];
            if(a < 0 || a >= 3 || b < 0 || b >= 3) continue;
            swap(state[x * 3 + y], state[a * 3 + b]); //将0和目标交换
            if(!dis.count(state) || dis[state] > step + 1) //如果扩展到一个新的状态，或者能够缩短到state的距离
            {
                dis[state] = step + 1;
                heap.push({dis[state] + h(state), state}); //将综合优先级和状态加入优先队列
            }
            swap(state[x * 3 + y], state[a * 3 + b]);//恢复现场
        }
    }
    return dis[end];
}
int main()
{
    char c;
    string start;
    for(int i = 0; i < 9; i ++)
    {
        cin >> c;
        start += c;
    }
    cout << bfs(start);
    return 0;
}