数据结构之树结构（下）

各种各样的大树

平衡二叉树 (AVL树)

普通二叉树存在的问题

  1. 左子树全部为空，从形式上看，更像一个单链表

  2. 插入速度没有影响

  3. 查询速度明显降低（因为需要依次比较），不能发挥BST的优势，因为每次还需要比较左子树，其查询速度比单链表还慢

  4. 解决方案-平衡二叉树(AVL)

基本介绍

  • 平衡二叉树也叫平衡二叉搜索树(Self-balancing binary search tree)又被称为AVL树，可以保证查询效率较高。
  • 具有以下特点：它是一棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，
    并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。平衡二叉树的常用实现方法有红黑树、
    AVL、替罪羊树、Treap、伸展树等，

应用案例

判断树的高度

// 返回左子树的高度
public int leftHeight() {
    if (left == null) {
        return 0;
    }
    return left.height();
}

// 返回右子树的高度
public int rightHeight() {
    if (right == null) {
        return 0;
    }
    return right.height();
}

// 返回当前结点的高度，以该结点为根结点的树的高度
public int height() {
    return Math.max(left == null ? 0 : left.height(), right == null ? 0 : right.height()) + 1;
}
单旋转（左旋转）

左旋转步骤

  • 前提条件： r i g h t H e i g h t ( ) − l e f t H e i g h t ( ) > 1 rightHeight() - leftHeight() > 1 rightHeight()−leftHeight()>1
  1. 创建一个新的节点newNode(以root 这个值创建)，创建一个新的节点，值等于当前根节点的值，把新节点的左子树设置了当前节点的左子树
    // newNode.left = left
  2. 把新节点的右子树设置为当前节点的右子树的左子树
    // newNode.right =right.left;
  3. 把当前节点的值换为右子节点的值
    // value=right.value;
  4. 把当前节点的右子树设置成当前结点的右子树的右子树
    // right=right.right;
  5. 把当前节点的左子树设置为新节点
    // left=newLeft;
// 左旋转
private void leftRotate() {
    // 1. 创建一个新的节点newNode(以root 这个值创建)
    // 创建一个新的节点，值等于当前根节点的值，把新节点的左子树设置了当前节点的左子树
    Node newNode = new Node(value);
    newNode.left = left;
    // 2.把新节点的右子树设置为当前节点的右子树的左子树
    newNode.right = right.left;
    // 3.把当前节点的值换为右子节点的值
    value = right.value;
    // 4.把当前节点的右子树设置成当前结点的右子树的右子树
    right = right.right;
    // 5.把当前节点的左子树设置为新节点
    left = newNode;
}
单旋转（右旋转）

步骤

  1. 创建一个新的节点newNode(以root 这个值创建），创健一个新的节点，值等于当前根节点的值
  2. 把新节点的右子树设置了当前节点的右子树
    // newNode.right right
  3. 把新节点的左子树设置为当前节点的左子树的右子树
    // newNode.left =left.right;
  4. 把当前节点的值换为左子节点的值
    // value=left.value;
  5. 把当前节点的左子树设置成左子树的左子树
    // left=left.left;
  6. 把当前节点的右子树设置为新节点
    // right=newLeft;
// 右旋转
public void rightRotate() {
    // 1.创建一个新的节点newNode(以root 这个值创建）
    // 创健一个新的节点，值等于当前根节点的值
    Node newNode = new Node(value);
    // 2.把新节点的右子树设置了当前节点的右子树
    newNode.right = right;
    // 3.把新节点的左子树设置为当前节点的左子树的右子树
    newNode.left = left.right;
    // 4.把当前节点的值换为左子节点的值
    value = left.value;
    // 5.把当前节点的左子树设置成左子树的左子树
    left = left.left;
    // 6.把当前节点的右子树设置为新节点
    right = newNode;
}
双旋转

在单旋转中 (即一次旋转) 就可以将非平衡二叉树转成平衡二叉树，但是在某些情况下，单旋转不能完成平衡二叉树的转换

情况1️⃣

在这里插入图片描述

实现步骤

  1. 当右旋转的条件时

    • 如果它的左子树的右子树高度大于它的左子树的右子树的高度
    • 先对当前这个结点的左节点进行左旋转
    • 再对当前结点进行右旋转

  2. 当左旋转时

    • 如果它的右子树的左子树高度大于它的右子树的右子树的高度
    • 先对当前这个结点的右结点进行右旋转
    • 再对当前结点进行左旋转
/**
 * 添加在Node类的添加结点的方法里边
 * 每添加一个结点就判断一次
*/
// 单旋转
// 当添加完一个结点后，如果：(右子树的高度-左子树的高度) > 1，左旋转
if (rightHeight() - leftHeight() > 1) {
    // 如果它的右子树的左子树高度大于它的右子树的右子树的高度
    if (right != null && right.rightHeight() > right.leftHeight()) {
        // 先对当前这个结点的右结点进行右旋转
        rightRotate();
    }
    leftRotate();  // 左旋转
    return; // 一定要返回，否则会出现其他问题，提高VM处理速度
}
// 当添加完一个结点后，如果：(左子树的高度-右子树的高度) > 1，右旋转
if (leftHeight() - rightHeight() > 1) {
    // 如果它的左子树的右子树高度大于它的左子树的右子树的高度
    if (left != null && left.rightHeight() > left.leftHeight()) {
        // 先对当前这个结点的左节点进行左旋转
        left.leftRotate();
    }
    rightRotate();  // 右旋转
}
总代码
package com.xiaolu.avl;

/**
 * @author 林小鹿
 * @version 1.0
 */
public class AvlTreeDemo {
    public static void main(String[] args) {
//        int[] arr = {4, 3, 6, 5, 7, 8};
//        int[] arr = {10, 12, 8, 9, 7, 6};
        int[] arr = {10, 11, 7, 6, 8, 9};
        AVLTree avlTree = new AVLTree();
        // 添加结点
        for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
            avlTree.add(new Node(arr[i]));
        }

        // 中序遍历
        avlTree.infixOrder();
        System.out.println("平衡处理 (左旋转)~~~");
        System.out.println("树的高度:" + avlTree.getRoot().height()); // 4
        System.out.println("树的左子树高度:" + avlTree.getRoot().leftHeight()); // 1
        System.out.println("树的右子树高度:" + avlTree.getRoot().rightHeight()); // 3
        System.out.println("当前根结点 = " + avlTree.getRoot());

    }
}


// 创建AVLTree
class AVLTree {
    private Node root;

    public Node getRoot() {
        return root;
    }

    // 查找要删除的结点
    public Node search(int value) {
        if (root == null) {
            return null;
        } else {
            return root.search(value);
        }
    }

    // 查找要删除的父结点
    public Node searchParent(int value) {
        if (root == null) {
            return null;
        } else {
            return root.searchParent(value);
        }
    }

    /**
     * 删除node 为根结点的二叉排序树的最小结点的值的同时返回以node 为根结点的二叉排序树的最小结点
     *
     * @param node 传入的结点 (当做二叉排序树的根结点)
     * @return 返回以node 为根结点的二叉排序树的最小结点的值
     */
    public int delRightTreeMin(Node node) {
        Node target = node;
        // 循环的查找左结点，就会找到最小值
        while (target.left != null) {
            target = target.left;
        }
        // 这是target就指向了最小结点
        // 删除最小结点
        delNode(target.value);
        return target.value;
    }

    // 删除结点
    public void delNode(int value) {
        if (root == null) {
            return;
        } else {
            // 找到需要删除的结点 targetNode
            Node targetNode = search(value);
            // 如果没有找到要删除的结点
            if (targetNode == null) {
                return;
            }

            // 如果这颗二叉排序树只有一个结点 (即本身就是父节点)
            if (root.left == null && root.right == null) {
                root = null;
                return;
            }
            // 查询父节点
            Node parent = searchParent(value);
            // 如果待删除的结点是叶子结点
            if (targetNode.left == null && targetNode.right == null) {// 删除叶子结点
                // 判断 targetNode 是父节点的左子结点还是右子节点
                if (parent.left != null && parent.left.value == value) {
                    parent.left = null;
                } else if (parent.right != null && parent.right.value == value) {
                    parent.right = null;
                }
            } else if (targetNode.left != null && targetNode.right != null) {// 删除有两颗子树的结点
                int minVal = delRightTreeMin(targetNode.right);
                targetNode.value = minVal;

            } else {// 删除只有一颗子树的结点
                // 如果要删除的结点有左子结点
                if (targetNode.left != null) {
                    if (parent != null) {
                        // 如果targetNode 是parent 的左子结点
                        if (parent.left.value == value) {
                            parent.left = targetNode.left;
                        } else {// 如果targetNode 是parent 的右子结点
                            parent.right = targetNode.left;
                        }
                    } else {
                        root = targetNode.left;
                    }
                } else {
                    if (parent != null) {
                        // 如果要删除的结点有右子结点
                        if (parent.left.value == value) {// 如果targetNode 是parent 的左子结点
                            parent.left = targetNode.right;
                        } else {// 如果targetNode 是parent 的右子结点
                            parent.right = targetNode.right;
                        }
                    } else {
                        root = targetNode.right;
                    }
                }

            }
        }
    }

    // 添加结点
    public void add(Node node) {
        if (root == null) {
            // 如果root为空则直接让root指向node
            root = node;
        } else {
            root.add(node);
        }
    }

    // 中序遍历
    public void infixOrder() {
        if (root == null) {
            System.out.println("二叉树为空，无法遍历");
        } else {
            root.infixOrder();
        }
    }
}

// 创建Node结点
class Node {
    int value;
    Node left;
    Node right;

    public Node(int value) {
        this.value = value;
    }

    // 返回左子树的高度
    public int leftHeight() {
        if (left == null) {
            return 0;
        }
        return left.height();
    }

    // 返回右子树的高度
    public int rightHeight() {
        if (right == null) {
            return 0;
        }
        return right.height();
    }

    // 返回当前结点的高度，以该结点为根结点的树的高度
    public int height() {
        return Math.max(left == null ? 0 : left.height(), right == null ? 0 : right.height()) + 1;
    }

    // 左旋转
    private void leftRotate() {
        // 1. 创建一个新的节点newNode(以root 这个值创建)
        // 创建一个新的节点，值等于当前根节点的值，把新节点的左子树设置了当前节点的左子树
        Node newNode = new Node(value);
        newNode.left = left;
        // 2.把新节点的右子树设置为当前节点的右子树的左子树
        newNode.right = right.left;
        // 3.把当前节点的值换为右子节点的值
        value = right.value;
        // 4.把当前节点的右子树设置成当前结点的右子树的右子树
        right = right.right;
        // 5.把当前节点的左子树设置为新节点
        left = newNode;
    }

    // 右旋转
    public void rightRotate() {
        // 1.创建一个新的节点newNode(以root 这个值创建）
        // 创健一个新的节点，值等于当前根节点的值
        Node newNode = new Node(value);
        // 2.把新节点的右子树设置了当前节点的右子树
        newNode.right = right;
        // 3.把新节点的左子树设置为当前节点的左子树的右子树
        newNode.left = left.right;
        // 4.把当前节点的值换为左子节点的值
        value = left.value;
        // 5.把当前节点的左子树设置成左子树的左子树
        left = left.left;
        // 6.把当前节点的右子树设置为新节点
        right = newNode;

    }

    /**
     * 查找要删除的结点
     *
     * @param value 待删除的结点的值
     * @return 如果找到则返回该结点，否则返回空
     */
    public Node search(int value) {
        if (value == this.value) {
            return this;
        } else if (value < this.value) {// 如果查找的值小于当前结点，就向左子树递归查找
            if (this.left == null) {// 如果左子树为空
                return null;
            }
            return this.left.search(value);
        } else {// 如果查找的值不小于当前结点，向右子树递归查找
            if (this.right == null) {// 如果右子树为空
                return null;
            }
            return this.right.search(value);
        }
    }

    /**
     * 查找要删除结点的父结点
     *
     * @param value 要找到的结点的值
     * @return 返回的是要删除的结点的父结点，如果没有就返回null
     */
    public Node searchParent(int value) {
        // 如果当前结点就是要删除的结点的父节点，就返回
        if ((this.left != null && this.left.value == value)
                || (this.right != null && this.right.value == value)) {
            return this;
        } else {
            // 如果查找的值小于或大于当前结点的值，并且当前结点的左子节点不为空
            if (value < this.value && this.left != null) {
                return this.left.searchParent(value); // 向左子树递归查找
            } else if (value > this.value && this.right != null) {
                return this.right.searchParent(value); // 向右子树递归查找
            } else {
                return null; // 没有找到父节点
            }
        }
    }

    // 按二叉排序树的形式递归添加结点
    public void add(Node node) {
        if (node == null) {
            return;
        }

        // 判断传入的结点的值与当前子树的根结点的值关系
        if (node.value < this.value) {
            if (this.left == null) {
                this.left = node;
            } else {
                // 递归得向左子树添加 node
                this.left.add(node);
            }
        } else { // 添加的结点的值大于当前结点的值
            if (this.right == null) {
                this.right = node;
            } else {
                // 递归得向右子树添加 node
                this.right.add(node);
            }
        }

        // 单旋转
        // 当添加完一个结点后，如果：(右子树的高度-左子树的高度) > 1，左旋转
        if (rightHeight() - leftHeight() > 1) {
            // 如果它的右子树的左子树高度大于它的右子树的右子树的高度
            if (right != null && right.leftHeight() > right.rightHeight()) {
                // 先对当前这个结点的右结点进行右旋转
                rightRotate();
            }
            leftRotate();  // 左旋转
            return; // 一定要返回，否则会出现其他问题，提高VM处理速度
        }
        // 当添加完一个结点后，如果：(左子树的高度-右子树的高度) > 1，右旋转
        if (leftHeight() - rightHeight() > 1) {
            // 如果它的左子树的右子树高度大于它的左子树的右子树的高度
            if (left != null && left.rightHeight() > left.leftHeight()) {
                // 先对当前这个结点的左节点进行左旋转
                left.leftRotate();
            }
            rightRotate();  // 右旋转
        }
    }

    // 中序遍历
    public void infixOrder() {
        if (this.left != null) {
            this.left.infixOrder();
        }
        System.out.println(this);
        if (this.right != null) {
            this.right.infixOrder();
        }
    }

    @Override
    public String toString() {
        return "Node[" +
                "value=" + value +
                ']';
    }
}

多路查找树

在这里插入图片描述

二叉树存在的问题

  • 二叉树需要加载到内存的，如果二叉树的节点少，没有什么问题，但是如果二叉树的节点很多（比如1亿)，就存在如下问题

  • 问题1：在构建二叉树时，需要多次进行 I / O I/O I/O 操作海量数据存在数据库或文件中)，节点海量，构建二叉树时，速度有影响

  • 问题2：节点海量，也会造成二叉树的高度很大，会降低操作速度

多叉树

在二叉树中，每个节点有数据项，最多有两个子节点，如果允许每个节点可以有更多的数据项和更多的子节点，就是多叉树（multiway tree）

多叉树通过重新组织节点，减少树的高度，能对二叉树进行优化

2-3树

2-3树是最简单的B-树结构，其他像2-3-4树同理

特点

  • 2-3树的所有叶子节点都在同一层.（只要是B树都满足这个条件）
  • 有两个子节点的节点叫二节点，二节点要么没有子节点，要么有两个子节点
  • 有三个子节点的节点叫三节点，三节点要么没有子节点，要么有三个子节点.
  • 2-3树是由二节点和三节点构成的树。

插入规则：

1）2-3树的所有叶子节点都在同一层.（只要是B树都满足这个条件)
2）有两个子节点的节点叫二节点，二节点要么没有子节点，要么有两个子节点

3）有三个子节点的节点叫三节点，三节点要么没有子节点，要么有三个子节点
4)当按照规则插入一个数到某个节点时，不能满足上面三个要求，就需要拆，先向上拆，如果上层满，则拆本层，拆后仍然需要满足上面3个条件。
5)对于三节点的子树的值大小仍然遵守(BST 二叉排序树)的规则

B树

B-tree，B即Balanced

基本介绍

  • B树的阶：节点的最多子节点个数。比如2-3树的阶是3，2-3-4树的阶是4
  • B树的搜索，从根结点开始，对结点内的关键字（有序）序列进行二分查找，如果命中侧结束，否测进入查询关键字所属范围的儿子结点；重复，直到所对应的儿子指针为空，或已经是叶子结点
  • 关键字集合分布在整颗树中，即叶子节点和非叶子节点都存放数据
  • 搜索有可能在非叶子结点结束
  • 其搜索性能等价于在关键字全集内做一次二分查找

在这里插入图片描述

B+树

B+树是B树的变体，也是一种多路搜索树

基本介绍

  • B+树的搜索与B树也基本相同，区别是B+树只有达到叶子结点才命中（B树可以在非叶子结点命中），其性能也等价于在关键字全集做一次二分查找
  • 所有关键字都出现在叶子结点的链表中（即数据只能在叶子节点【也叫稠密索引】)，且链表中的关键字数据恰好是有序的。
  • 不可能在非叶子结点命中
  • 非叶子结点相当于是叶子结点的索引（稀疏索引）叶子结点相当于是存储（关键字）数据的数据层
  • 更适合文件索引系统
  • B树和B+时各有自己的应用场景，不能说B+完全比B树好，反之亦然

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B*树

B*树是B+树的变体，在B+树的非根和非叶子结点再增加指向兄弟的指正

基本说明

  • B*树定义了非叶子结点关键字个数至少为(2/3)*M，即块的最低使用率为2/3，而B+树的块的最低使用率为B+树的1/2。
  • 从第1个特点我们可以看出，B*树分配新结点的概率比B+树要低，空间使用率更高

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