定义

级数的形式如下：

$$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n=u_1+u_2+u_3+...+u_n+...$$

这个数列的项数是无穷多个，如果取其前n项$S_n=u_1+u_2+...+u_n$，这个$S_n$就叫做部分和

其中$u_n$叫做一般项，可以是常数，也可以是变量。

收敛/发散的定义

若

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n=n$$

则收敛，收敛和为S，即

$$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n=u_1+u_2+u_3+...+u_n+...=S$$

否则称该级数发散。

余项定义

级数余项等于级数减去前n项和

$$r_n=\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n-S_n=u_{n+1}+u_{n+2}+u_{n+3}+...$$

级数与部分和的关系

研究级数的问题可以与部分和的问题相关联，因为$u_n=S_n-S_{n-1}$，另一方面上面的级数收敛，也意味着$S_n$极限存在

绝对收敛与条件收敛

对于(1)是因为$0\le u_n+|u_n|\le 2|u_n|$，使用比较判别法可得

• $|u_n|$收$u_n$必收，是绝对收敛
• $u_n$收$|u_n|$若散，是条件收敛

对于注，$u_n\pm |u_n|$属于“收敛+发散=发散”，其敛散性显然是发散的

敛散性判断的若干方法

口诀

扩$k$倍，仍收敛
敛于$a$+敛于$b$=敛于$a+b$（敛+敛=敛）
敛+散=散
散+散=？（不一定，都有可能）
去掉/加上有限项不改变敛散性
收敛级数加括号后的级数仍收敛且其和不变

几个典型敛散性

注：
(1)中求和起点应该是$n=0$，这是对等比数列求和公式取极限得来的$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$
(2)中使用积分判别法，下式同敛散$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^p}={\int }_1^{+\infty }\frac{1}{x^p}dx$$

$+{\infty }^{负数次方}\to 0$

如果正项级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$ 收敛，那么正项级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n^2$ 也收敛。

级数敛散性及其判定的一般思路

正项级数各项非负

方法一：看必要条件，即${\lim }_{n\to \infty }{u}_n$是否趋于0，不趋于0一定发散，趋于0不一定收敛
方法2：看${\lim }_{n\to \infty }(u_1+u_2+...+u_n)$是否存在，存在则收敛
方法3：分类讨论（正项级数、交错级数）

对于正项级数：

• 收敛的充要条件是$S_n$有界，这意味着$S_n$单增且有上界极限必存在
• 比较判别法：大收小必收，小散大必散（其实还是放缩）（适用于抽象形式）
• 比值判别法（适合带阶乘的）（$\rho =1$要用其他方法）
• 根值判别法（适合含幂的）
  
  
  
  对于交错级数：
• 莱布尼兹准则（通项绝对值单调递减且趋于0）（趋于0一般很好判断，比较不趋于0直接就判断发散了）
• 绝对收敛与条件收敛

例题思路

套定义

抓住“收敛”关键字眼，将题目条件转换成一些式子

若${\lim }_{n\to \infty }n{a}_n=0$且级数${\sum }_{n=1}^{\infty }n(a_n-a_{n-1})$收敛，则级数${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$的敛散性是收敛

${\sum }_{n=1}^{\infty }n(a_n-a_{n-1})$收敛意味着部分和数列极限存在，然后写一下这个发现能相消掉一部分，于是其部分和数列转换为${\lim }_{n\to \infty }[n{a}_n-(a_0+a_1+a_2+...+a_{n-1})]$，然后题目说了${\lim }_{n\to \infty }n{a}_n=0$，则后者${\lim }_{n\to \infty }{a}_0+a_1+a_2+...+a_{n-1}=S_{n-1}=0$这个部分和数列有极限，所以它收敛，得证。

通项不趋于0

$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{n^n}{\sqrt[n]{n}(1+n{)}^n}$$

这个问题就转换为了对通项求极限，发现是个非零常数$\frac{1}{e}$，故发散

观察其部分和

例如对于$$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n=1+2+3+...+n+...$$其$S_n=\frac{n(n+1)}{2}$在$n\to \infty$时$S_n$也趋于无穷，所以发散

反证法

$$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n=\frac{1}{n}$$

若$S_n=S$则亦有$S_{2n}=S$，这时候必然有$$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_{2n}-S_n=0$$

而

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_{2n}-S_n=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}>\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n}+...+\frac{1}{2n}=\frac{1}{2}$$

它不等于0。所以反正完毕，这个不收敛。

---

收×收未必收

反例：$$\underset{n=1}{\overset{\infty }{\lim }}\frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n}}$$

若都是正项级数则收×收=收（属于比较判别法）

放缩+裂项相消

$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}$$

然后$\frac{1}{n^2}<\frac{1}{n(n-1)}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$裂项相消即可

比值审敛

$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(n+1)!}{n!}$$

采用${\lim }_{n\to \infty }\frac{u_{n+1}}{u_n}$的形式，可化简得下式$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n+2}{(n+1{)}^n}\cdot \frac{n^n}{n+1}\cdot \frac{n}{n+1}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n^n}{(n+1{)}^n}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{(1+\frac{1}{n}{)}^n}=\frac{1}{e}<1$$所以收敛

化成P级数

$$\sum _{n=2}^{\infty }\frac{(-1{)}^n\sqrt{n}}{n-1}$$

先看通项绝对值

$$|u_n|=\frac{\sqrt{n}}{n-1}=\frac{\sqrt{n}}{n\cdot (1-\frac{1}{n})}=\frac{1}{\sqrt{n}}\cdot \frac{1}{1-\frac{1}{n}}=\frac{1}{\sqrt{n}}$$

最后一步是由于${\lim }_{n\to \infty }1-\frac{1}{n}=1$
然后这就是P级数了。显然发散，说明不是绝对收敛。考虑条件收敛，使用的方法是莱布尼兹准则，于是问题转换成了求下式成立：

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\sqrt{n}}{n-1}=0$$以及把它设为函数后求导小于0

通项较为复杂的级数判敛

通常如果有预感是发散的话，可以对通项进行变换（包括但不限于通分、泰勒展开等）成几部分加和的形式，然后因为“散+敛=散”判定原函数发散