一、什么是矩阵的秩？
矩阵的秩是线性代数领域中一个非常重要的概念，因为它帮助我们知道是否可以找到方程组的解。矩阵的秩还可以帮助我们了解其向量空间的维数。
矩阵的秩是最高阶非零次数的阶数。矩阵的秩等于其中线性独立的行（或列）的数量。因此，它不能超过其行数和列数。
例如，如果我们考虑 3 × 3 阶单位矩阵，则其所有行（或列）都是线性独立的，因此其秩为 3。
1、示例1
观察下面的矩阵，第二行的元素是第一行元素的3倍。因此，即使有 2 行，秩也只有 1。那列呢？第二列只是第一列的两倍。第三列是第一列的三倍（或第二列的 1.5 倍），因此也不算数。这些列说明秩还是为 1。
2、示例2
观察下面的矩阵，第二行和第一行没有组成关系，因此秩至少为 2。但第三行排呢？它等于第一行和第二行相加，所以不算数。所以即使有 3 行，秩也只有 2。那列呢？第 3 列是第 1 列和第 2 列加在一起。因此，这些列显示秩为 2。
3、示例3
第二行不是由第一行组成的，因此秩至少为 2。第三行，经过多次检查我们发现它是第一行减去第二行的两倍。所以秩只有2。
对于列：在本例中，第 3 列是第 1 列和第 2 列相加。因此，这些列还向我们显示秩是 2。
4、示例4
所有行和列都是独立，所以不管从行来看还是从列来看，秩都是3。事实上，矩阵行秩等于列秩。
二、矩阵的秩的性质
1、矩阵A中线性独立行的最大数量称为A的行秩，A中线性独立列的最大数量称为A的列秩。如果A是一个m × n的矩阵，即A有m行n列，那么显然：
然而，不那么明显的是，对于任何矩阵A，A的行秩= A的列秩；因此，没有理由区分行等级和列等级；公共值简称为矩阵的秩。
2、如果 A 是n 阶非奇异矩阵，则其秩为 nie，ρ (A) = n。
3、如果A是梯形形式，则A的秩=A的非零行数。
4、如果A是正规形式，则A的秩=其中单位矩阵的阶。
5、如果 A 是n 阶奇异矩阵，则 ρ (A) < n。
6、如果 A 是mxn 阶矩形矩阵，则 ρ (A) ≤ 最小值 {m, n}。
7、n 阶单位矩阵的秩就是 n 本身。
8、零矩阵的秩为 0。
三、为什么要计算秩？
秩序可以告诉我们很多关于矩阵的信息。它有助于让我们知道是否有机会解决问题线性方程组：当秩等于变量数量时，我们也许能够找到唯一的解决方案。
1、是否有解
如果我们知道
2 个苹果和 3 个香蕉售价 7 元
3 个苹果和 3 个香蕉售价 9 元
然后我们可以算出，额外的苹果花费 2 元，因此香蕉每根花费 1 元。 （有 2 个变量，秩也是2。）
但如果我们只知道这一点
2 个苹果和 3 个香蕉售价 7 元
4 个苹果和 6 个香蕉售价 14 元
我们就没有办法再进一步了，因为第二行数据只是第一行数据的两倍，并且没有给我们提供新的信息（有 2 个变量，秩只有1）。
2、线性相关
相关分析提供有关两个变量之间线性关系的强度和方向的信息，而简单的线性回归分析则估计线性方程中的参数，该方程可用于根据一个变量预测另一个变量的值。
从上面我们可以看出来c = a + 2b， 因此c线性依赖于a和b，但是a和b是线性无关的。
如果方阵的所有行（或列）都是线性无关的，则称该方阵是满秩的。可以证明这相当于说矩阵是可逆的。
3、数据压缩
从应用的角度来看，矩阵的秩表示矩阵的信息内容。秩越低，“信息含量”越低。因此，如果我们知道矩阵是低秩的，那么我们就可以压缩该矩阵，并可以使用它进行有效的矩阵运算。
四、如何计算矩阵的秩？
1、示例1
2、示例2
五、参考链接
为什么矩阵行秩等于列秩？ - 知乎
行列式 - 知乎
What is the Rank of a Matrix? Formula and Examples
Rank of a Matrix - Definition | How to Find the Rank of the Matrix?
