1.概念

分组背包：

分组背包就是有n组物品，每组物品中只可以选择一个物品。

每个物品都有体积和价值，求总体积不超过m的情况下的价值最大值。

那么我们就可以通过概念来得到状态转移方程：

dp[ j ]=max(dp[ j ],dp[ j -w[ i ][ k ] ]+v[ i ][ k ];

如果现在想不到也不要着急，马上就到了进入本文的重点

2.分组背包的思想以及相关的代码实现

分组背包是有三层循环，

第一层循环是遍历每一组，

第二层循环遍历的是容量，

第三层循环遍历的是组内的每一个成员

相关代码：

	//假设有t组，最大容量为m，s数组中存的是每组有多少成员
    for(int i=1;i<=t;i++)//先遍历组
	{
	     for(int j=m;j>=0;j--)//容量 
		 {
		 	for(int k=1;k<=s[i];k++)//小组中的物品
			{
			 	if(j-w[i][k]>=0)
			 	{
			 		dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i][k]]+v[i][k]);
				 }
			} 
		} 
	} 

3.相关例题

第一题：通天之分组背包

 

题解：就是最基础的分组背包问题，无需多言

AC代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int m,n;
int w[105][1005];//代表第i组的第j个物品的重量
int v[105][1005]; //代表第i组的第j个物品的价值
int s[105];//统计每组中有多少数
int dp[1005];//dp数组容量为j时，所能装最大价值
int t;

int main()
{
	scanf("%d%d",&m,&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		int a,b,c;
		scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
		s[c]++;
		t=max(t,c);
		w[c][s[c]]=a;
		v[c][s[c]]=b;
	}
	for(int i=1;i<=t;i++)//先遍历组
	{
	     for(int j=m;j>=0;j--)//容量 
		 {
		 	for(int k=1;k<=s[i];k++)//小组中的物品
			{
			 	if(j-w[i][k]>=0)
			 	{
			 		dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i][k]]+v[i][k]);
				 }
			} 
		} 
	} 
	printf("%d",dp[m]);
	return 0;
}

 第二题：排兵布阵

 

题解：

我们可以把每个城堡看做一组物品。每个人的兵看成体积，把城堡编号看成价值。

但是难点分组背包是每一个组只能选一个，这里是可以打多个对手。

其实可以发现，假设第i个对手派出的兵<第i+1个对手派出的兵，那么如果我们派出的兵可以打赢i+1个对手派出的兵，那么也肯定能打赢第i个对手。

所以，我们可以把每个城堡分别的对手派出的兵数进行排序。状态转移的时候，把分组背包的枚举哪一个物品改成从小到打枚举哪几个物品，这样就可以转化为分组背包。

请看AC代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
int s,n,m;
int dp[20005];
int a[105][105];
int main()
{
	scanf("%d%d%d",&s,&n,&m);
	for(int i=1;i<=s;i++)
	{
		for(int j=1;j<=n;j++)
		{
			scanf("%d",&a[j][i]);
		}
	}for(int i=1;i<=n;i++)
	sort(a[i]+1,a[i]+s+1);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=m;j>=0;j--)
		{
			for(int k=1;k<=s;k++)
			{
				if(j-2*a[i][k]>0)
				{
					dp[j]=max(dp[j],dp[j-2*a[i][k]-1]+i*k);
				}
			}
		}
	}
	printf("%d",dp[m]);
	return 0;
}