目录

一、树形结构

1.1 概念

1.2 树的性质

1.3 树的表示形式

二、二叉树

2.1 概念

2.2 两种特殊的二叉树

2.3 二叉树的性质

2.4 二叉树的存储

2.5 二叉树的基本操作

2.5.1 二叉树的遍历

2.5.2 二叉树的基本操作

一、树形结构

1.1 概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：

有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点
除根结点外，其余结点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、......、Tm，其中每一个集合Ti (1 <= i <=m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
树是递归定义的

1.2 树的性质

结点的度：一个结点含有子树的个数称为该结点的度；如上图：A的度为6
树的度：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度；如上图：树的度为6
叶子结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点；如上图：B、C、H、I...等节点为叶结点
双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点；如上图：A是B的父结点
孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点；如上图：B是A的孩子结点
根结点：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图：A
结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推

树的高度或深度：树中结点的最大层次；如上图：树的高度为4

1.3 树的表示形式

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法、孩子兄弟表示法等等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

class Node {
    int value; // 树中存储的数据
    Node firstChild; // 第一个孩子引用
    Node nextBrother; // 下一个兄弟引用
}

二、二叉树

2.1 概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合：
1. 或者为空
2. 或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。

从上图可以看出：
1. 二叉树不存在度大于2的结点
2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

2.2 两种特殊的二叉树

1. 满二叉树: 一棵二叉树，如果每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一棵二叉树的层数为K，且结点总数是 $2^k -1$ ，则它就是满二叉树。
2. 完全二叉树: 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从0至n-1的结点一一对应时称之为完全二叉树。要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树

2.3 二叉树的性质

1. 若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有 $2^{i-1}$ (i>0)个结点
2. 若规定只有根结点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是 $2^k -1$ (k>=0)
3. 对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1
4. 具有n个结点的完全二叉树的深度k为 $log_{2}{(n+1)}$ 上取整
5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：

若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，无双亲结点
若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，否则无左孩子
若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，否则无右孩子

2.4 二叉树的存储

二叉树的存储结构分为：顺序存储和类似于链表的链式存储。
二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有二叉和三叉表示方式，具体如下：

// 孩子表示法
class Node {
    int val; // 数据域
    Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
    Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
} 
// 孩子双亲表示法
class Node {
    int val; // 数据域
    Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
    Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
    Node parent; // 当前节点的根节点
}

2.5 二叉树的基本操作

2.5.1 二叉树的遍历

1. 前中后序遍历
学习二叉树结构，最简单的方式就是遍历。所谓遍历(Traversal)是指沿着某条搜索路线，依次对树中每个结点均做一次且仅做一次访问。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题(比如：打印节点内容、节点内容加1)。遍历是二叉树上最重要的操作之一，是二叉树上进行其它运算之基础。

在遍历二叉树时，如果没有进行某种约定，每个人都按照自己的方式遍历，得出的结果就比较混乱，如果按照某种规则进行约定，则每个人对于同一棵树的遍历结果肯定是相同的。如果N代表根节点，L代表根节点的左子树，R代表根节点的右子树，则根据遍历根节点的先后次序有以下遍历方式：

NLR：前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点--->根的左子树--->根的右子树。
LNR：中序遍历(Inorder Traversal)——根的左子树--->根节点--->根的右子树。
LRN：后序遍历(Postorder Traversal)——根的左子树--->根的右子树--->根节点。

下面主要分析前序递归遍历，中序与后序图解类似

前序遍历结果：1 2 3 4 5 6
中序遍历结果：3 2 1 5 4 6
后序遍历结果：3 2 5 6 4 1

2. 层序遍历
层序遍历：除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外，还可以对二叉树进行层序遍历。设二叉树的根节点所在层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第2层上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。

2.5.2 二叉树的基本操作

1.对应的方法

public class MyTree {
    static class TreeNode{
        public int val;
        public TreeNode left;
        public TreeNode right;
        public TreeNode(int val) {
            this.val = val;
        }
    }
    // 获取树中节点的个数
    int size(TreeNode root) {
        return 0;
    }
    // 获取叶子节点的个数
    int getLeafNodeCount(TreeNode root){
        return 0;
    }
    // 子问题思路-求叶子结点个数
    // 获取第K层节点的个数
    int getKLevelNodeCount(TreeNode root,int k){
        return 0;
    }
    // 获取二叉树的高度
    int getHeight(TreeNode root){
        return 0;
    }
    // 检测值为value的元素是否存在
    TreeNode find(TreeNode root, int val){
        return null;
    }
    //层序遍历
    void levelOrder(TreeNode root){
        
    }
    // 判断一棵树是不是完全二叉树
    boolean isCompleteTree(TreeNode root){
        return false;
    }
}

2.二叉树的递归遍历

    // 前序遍历
    public void preOrder(TreeNode root) {
        if(root == null) return;
        System.out.print(root.val+" ");
        preOrder(root.left);
        preOrder(root.right);
    }

    // 后序遍历
    public void laterOrder(TreeNode root) {
        if(root == null) return;
        preOrder(root.left);
        preOrder(root.right);
        System.out.print(root.val+" ");
    }

    //中序遍历
    public void inOrder(TreeNode root) {
        if(root == null) return;
        preOrder(root.left);
        System.out.print(root.val+" ");
        preOrder(root.right);
    }

3.获取二叉树节点个数

    private static int nodeCount;
    // 获取树中节点的个数
    int size(TreeNode root) {
        if (root == null) {
            return 0;
        }
        nodeCount++;
        size(root.left);//对所有左数递归
        size(root.right);//对所有右数递归
        return nodeCount;
    }

    /**
     * 子问题求解节点个数
     * @param root
     * @return
     */
    int size2(TreeNode root){
        if (root == null) {
            return 0;
        }
        return size(root.left) + size(root.right) + 1;
    }

4.获取二叉树叶子节点的个数

    // 获取叶子节点的个数
    private static int leafSize = 0;
    int getLeafNodeCount(TreeNode root){
        if (root == null) {
            return 0;
        }
        if (root.left == null && root.right == null) {
            leafSize++;
        }
        getLeafNodeCount(root.left);
        getLeafNodeCount(root.right);
        return leafSize;
    }

    // 子问题思路-求叶子结点个数
    int getLeafNodeCount2(TreeNode root){
        if (root == null) {
            return 0;
        }
        if (root.left == null && root.right == null) {
            return 1;
        }
        return getLeafNodeCount2(root.left) + getLeafNodeCount2(root.right);
    }

5.获取第k层节点的个数

    // 获取第K层节点的个数
    int getKLevelNodeCount(TreeNode root,int k){
        if (root == null) {
            return 0;
        }
        if (k == 1) {
            return 1;
        }
        return getKLevelNodeCount(root.left,k-1) + getKLevelNodeCount(root.right, k-1);
    }

6.获取二叉树的高度

    int getHeight(TreeNode root){
        if (root == null) {
            return 0;
        }
        int leftH = getHeight(root.left);
        int rightH = getHeight(root.right);
        //求高度就是求左右两边最大的高度值
        return (leftH > rightH ? leftH : rightH) + 1;
    }

7.层序遍历

利用队列求解该问题

    void levelOrder(TreeNode root){
        Queue<TreeNode> queue = new LinkedList();
        if (root != null) {
            queue.offer(root);
        }
        while (!queue.isEmpty()) {
            TreeNode top = queue.poll();
            System.out.println(top.val);
            if (top.left != null) {
                queue.offer(top.left);
            }
            if (top.right != null) {
                queue.offer(top.right);
            }
        }
    }

8.判断一棵树是不是完全二叉树

    boolean isCompleteTree(TreeNode root){
        //这里利用队列求解这个问题
        Queue<TreeNode> queue = new LinkedList();
        if (root != null) {
            queue.offer(root);
        }
        while (!queue.isEmpty()) {
            TreeNode top = queue.poll();
            if (top != null) {
                //利用队列也可以放入null值来判断
                queue.offer(top.left);
                queue.offer(top.right);
            } else {
                break;
            }
        }
        //如果队列中存在非null的值，说明不是完全二叉树
        while (!queue.isEmpty()) {
            TreeNode top = queue.poll();
            if (top != null) {
                return false;
            }
        }
        return true;
    }