模型预测控制MPC算法的讲解-案例（C语言代码）

一、模型预测控制MPC的基本原理

1.1 建立模型

1.2 设定目标和约束条件

1.3 求解优化问题

1.4 应用控制输入

1.5 重复优化

二、模型预测控制MPC的特点

三、应用场景

四、应用案例

一个MPC算法的简化版框架：

4.1 案例系统模型

4.2 控制目标和当前状态

4.3 控制策略（最优化）

4.4 控制输入和重复优化

复杂些的模型案例：

模型预测控制的优化问题：

模型预测控制（Model Predictive Control，MPC）是一种高级的控制策略，用于连续或离散时间系统的控制。MPC的核心思想是利用系统的数学模型来预测未来一段时间内的系统行为，然后基于这些预测来优化控制输入，以实现对系统的优化控制。MPC在工业过程控制、汽车动态控制、航空航天和机器人技术等领域有广泛应用。

一、模型预测控制MPC的基本原理

包括以下的步骤：

1.1 建立模型

首先，需要建立一个描述系统动态行为的数学模型。这个模型可以是线性的或非线性的，它用于预测未来一段时间内系统的行为。

1.2 设定目标和约束条件

定义控制问题的目标函数，通常是要最小化的一个性能指标（如跟踪误差、能量消耗等）。同时，明确系统操作的约束条件，包括控制输入的限制、状态变量的限制等。

1.3 求解优化问题

在每个控制周期，基于当前系统状态，预测一定时间范围内的系统行为，并求解一个优化问题。这个问题的目标是：在满足约束的条件下，找到使目标函数值最小化的一系列控制输入。

1.4 应用控制输入

将优化问题的解（即最优控制序列的第一个输入）应用到系统上，然后系统进入下一个控制周期。

1.5 重复优化

在下一个控制周期，根据系统的新状态重新求解优化问题，这个过程不断重复。

通俗解释：

1）建模：MPC首先需要一个数学模型来描述系统如何响应不同的控制输入。就像在棋类游戏中，你需要了解每种棋子的移动规则一样

2）约束条件：接下来，MPC会查看未来一段时间内可能的所有“移动”（即控制输入），并预测这些“移动”将如何影响系统。这一步骤需要考虑到所有可能的限制，比如棋子不能超出棋盘的边界，或者系统的操作不能超过安全限制。

3）优化：然后，MPC从所有可能的“移动”中选择一条路径，这条路径最符合我们的目标（比如，最小化能耗或保持系统在某个状态）。这就像在棋局中选择一系列走法，不仅避免失败，还要尽可能接近胜利。

4）执行操作：一旦选择了最优路径，MPC就会执行第一步“移动”，即应用第一个控制输入到系统上。

5）重复优化：在下一个时间点，MPC会重新查看系统的当前状态，再次执行预测、规划和优化过程。这就是为什么这种方法被称为模型预测控制——它不断预测未来并据此制定控制策略。

二、模型预测控制MPC的特点

预测能力：MPC利用系统的数学模型预测未来的系统行为，这是其区别于传统控制策略的显著特点。
处理约束：MPC能够直接处理控制输入和系统状态的约束，这对于许多实际应用非常重要。
灵活性和适应性：MPC框架允许对不同类型的目标和约束进行编程，适用于多种控制问题。

三、应用场景

汽车动态控制中，MPC可以用于实现高级驾驶辅助系统（ADAS），如自适应巡航控制（ACC）和车道保持辅助（LKA）。通过预测未来车辆的位置和速度，MPC能够计算出最优的加速度或转向角度，以保持车辆在车道中心并与前车保持安全距离。

四、应用案例

一个MPC算法的简化版框架：

4.1 案例系统模型

MPC的核心是系统的数学模型，它描述了系统状态如何随时间和控制输入变化。使用了一个非常简单的线性模型：

x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)

其中，x(k)是在时间点k的系统状态，u(k)是在时间点k的控制输入，A和B是系统的参数。这个模型假设下一时刻的状态是当前状态和当前控制输入的线性组合。

4.2 控制目标和当前状态

目标状态(x_goal)：这是我们希望系统达到的状态。在MPC中，控制目标可以是保持系统在某个特定状态，或是跟踪一个随时间变化的轨迹。

当前状态(x_current)：这是系统在当前时间点的实际状态。MPC需要实时获取这个信息，以便基于当前状态进行预测和控制。

4.3 控制策略（最优化）

在这个简化的例子中，控制策略被简化为直接计算控制输入u，使得当前状态尽可能地接近目标状态。这通过简单的计算目标状态与当前状态之间的差值来实现：

u=xgoal−xcurrent

这意味着控制输入是尝试消除当前状态与目标状态之间的差异。

4.4 控制输入和重复优化

在main函数中，我们设置了一个循环，模拟连续的控制步骤。在每个步骤中，调用mpc_control函数来更新当前状态，模拟将控制输入应用到系统上并更新系统状态。

#include <stdio.h>
#include <math.h>

// 假设的系统模型，例如简单的线性系统: x(k+1) = Ax(k) + Bu(k)
float A = 1.0; // 系统矩阵
float B = 1.0; // 控制矩阵

// 目标状态和当前状态
float x_goal = 10.0;
float x_current = 0.0;

// 简化的MPC控制函数
void mpc_control(float x_goal, float* x_current) {
    float u = 0.0; // 控制输入
    // 简化的优化过程：直接计算控制输入u，尝试将x_current调整到x_goal
    // 这里假设控制输入u等于状态偏差，仅为示例
    u = x_goal - (*x_current);
    
    // 应用控制输入到系统模型
    *x_current = A * (*x_current) + B * u;
}

int main() {
    int steps = 5; // 控制步骤数量
    for (int i = 0; i < steps; ++i) {
        mpc_control(x_goal, &x_current);
        printf("Step %d: Current state = %f\n", i, x_current);
    }
    return 0;
}

上述的案例中没有最优化求解过程，在实际的应用中，还需要设计求解最优化问题，例如：

复杂些的模型案例：

例如我们的目标是控制一个简单的车辆模型沿直线行驶到目标位置，同时限制其加速度和速度，以确保舒适性和安全性。我们希望车辆最终稳定在目标位置，速度降为零。

1）系统模型

采用离散时间线性模型，其中状态x包括车辆的位置和速度，控制输入u是加速度。

x[k+1]=Ax[k]+Bu[k]

其中，A和B是描述系统动态的矩阵，k是当前时间步。

2）目标函数和约束条件

最小化一个目标函数，该函数考虑了从当前时间步到预测范围内所有时间步的状态与目标状态之间的差异，以及控制输入的变化。

其中，N是预测范围，Q和R是权重矩阵，用于平衡状态误差和控制代价。

约束条件：

加速度和速度的限制可以表示为：

umin≤u[k]≤umax,vmin≤x[2][k]≤vmax

其中，x[2][k]表示状态向量中的速度分量。

3）优化问题求解

在每个时间步，需要求解上述优化问题以确定最优的控制序列。只有序列中的第一个控制输入被应用到系统上，然后整个过程在下一个时间步重复。

例如示例代码如下所示：

// 假设系统模型、目标和约束已经定义

void mpc_control(float* x_current, float* u_optimal) {
    // 定义优化问题
    OptimizationProblem opt_problem;

    // 设置系统模型、目标函数和约束
    defineModel(&opt_problem, A, B);
    defineCostFunction(&opt_problem, Q, R, x_goal);
    defineConstraints(&opt_problem, u_min, u_max, v_min, v_max);

    // 求解优化问题
    solveOptimizationProblem(&opt_problem, x_current, u_optimal);

    // 应用第一个控制输入
    applyControl(u_optimal[0]);
}

int main() {
    // 初始化状态、目标和控制输入
    float x_current[2] = {0.0, 0.0}; // 初始位置和速度
    float u_optimal[N]; // 最优控制序列

    // MPC控制循环
    while (!isGoalReached(x_current)) {
        mpc_control(x_current, u_optimal);
        updateState(x_current, u_optimal[0]);
    }

    return 0;
}