压缩感知（Compressed Sensing）的MATLAB仿真实现

在前一篇文章：正交匹配追踪（Orthogonal Matching Pursuit, OMP）的MATLAB实现中，我们介绍了针对稀疏信号进行压缩感知的MATLAB仿真。
本篇我们介绍一下针对的是原始的非稀疏信号，看看如何进行处理。
本文中，我们直接进行了采样处理。

程序仿真

我们使用MATLAB，构造了omp函数实现。

MATLAB程序



clc;
clearvars;

%% 参数设定
lam = 0.37;          % 正则化参数
itrs = 400;          % 最大迭代次数
m = 380;             % 采样数量
sig = 0.5;           % 噪声标准差
n = 1024;            % 原始信号长度
samplingRate = 1/2000; % 采样率
T = (n-1)*samplingRate; % 信号持续时间
t = (0:samplingRate:T)'; % 时间向量

% 1. 构造 (cos+sin) 序列
origSignal = sin(123*pi*t) + cos(456*pi*t)*7;

% 2. 使用 DCT 矩阵作为稀疏基
DCTMatrix = dctmtx(n);

%% ------- 采样过程 开始 -------
% 根据给定随机种子生成测量矩阵
rng(10,'twister'); % 设置随机种子
indices = randperm(n)';
measurementMatrix = DCTMatrix(indices(1:m),:);

% 采样
sampledSignal = origSignal(indices(1:m));

% 生成噪声并加到采样信号上
rng(20); % 设置随机种子
noise = sig * randn(m,1);
sampledNoisySignal = sampledSignal + noise;

% ------- 采样过程 结束 -------

%% ------- 恢复过程 开始 -------
% 使用 OMP 算法进行信号恢复
K=100;
recoveredCoeffs= orthogonal_matching_pursuit(sampledNoisySignal, measurementMatrix, K);

% 将稀疏域中的系数转换回信号空间
recoveredSignal = DCTMatrix' * recoveredCoeffs';
% ------- 恢复过程 结束 -------

%%  ------- 结果可视化 -------

% 可视化原始信号和恢复信号
figure;
plot(t, origSignal, 'b', t, recoveredSignal, 'r');
title('原始与恢复信号对比');
legend('原始 (cos+sin) 信号', 'OMP 重构信号');

% 局部可视化信号对比
timeWinStart = 50 * samplingRate;
timeWinEnd = 100 * samplingRate;
timeWindow = (timeWinStart:samplingRate:timeWinEnd)';
figure;
plot(timeWindow, origSignal(50:100), 'b', timeWindow, recoveredSignal(50:100), 'r', 'linewidth', 1.5);
title('原始与恢复信号对比（局部）');
legend('原始 (cos+sin) 信号', 'OMP 重构信号');



%% 正交匹配追踪（Orthogonal Matching Pursuit, OMP）的MATLAB实现
function reconstructed_signal = orthogonal_matching_pursuit(input_signal, measurementMatrix, items)
% OMP算法实现
% 输入参数：
%   input_signal: 输入信号（实测信号）
%   measurementMatrix: 测量矩阵（恢复矩阵）
%   items: 迭代次数
% 输出参数：
%   reconstructed_signal: 重构信号

signal_length = max(size(measurementMatrix));
atom_num = min(size(measurementMatrix));
reconstructed_signal = zeros(1, signal_length); % 待重构的向量
selected_atoms = []; % 记录选择的原子
residual_signal = input_signal; % 残差信号

for iter = 1:items % 迭代次数
    for idx = 1:signal_length % 遍历字典中的原子
        inner_product(idx) = abs(measurementMatrix(:, idx)' * residual_signal); % 计算投影系数
    end
    [max_val, max_pos] = max(inner_product); % 最大投影系数及位置
    selected_atoms = [selected_atoms, measurementMatrix(:, max_pos)]; % 更新选择的原子
    measurementMatrix(:, max_pos) = zeros(atom_num, 1); % 选中的原子置零
    least_squares_coeff = (selected_atoms' * selected_atoms)^(-1) * selected_atoms' * input_signal; % 最小二乘法，拟合残差
    residual_signal = input_signal - selected_atoms * least_squares_coeff; % 更新残差
    iteration_error(iter) = norm(residual_signal, 2); % 记录迭代误差
    pos_array(iter) = max_pos; % 记录最大投影系数的位置
    if iteration_error(iter) < 1e-6
        break; % 达到误差要求时跳出循环
    end
end

reconstructed_signal(pos_array) = least_squares_coeff; % 重构信号
end

输出图像

输出的图像如下，可以看到，原始信号和恢复信号非常接近。
在这里插入图片描述

放大局部看一下：

在这里插入图片描述

知识点回顾

压缩感知（Compressed Sensing，CS）是一种信号处理技术，它利用信号的稀疏性，可以在远低于奈奎斯特率的采样频率下对信号进行采样和重构。稀疏性是指信号在某个变换域（如傅里叶变换、小波变换等）下的表示只有少数几个非零元素。

OMP算法是压缩感知中用来从少量测量中恢复稀疏信号的一种贪婪算法。简单来说，OMP的工作流程可以通过以下几个步骤描述：

初始化：首先设置残差为观测到的信号，因为一开始没有任何信号被重构，所以残差就是原始信号。同时设定一个空集合来保存选中的基向量。
迭代寻找：在每一次迭代中，算法会在字典（一组基向量的集合，可以理解为一本能表示各种信号的“字典”）中寻找与当前残差最相关（即内积最大）的基向量，并将这个基向量添加到选中的集合中。
更新信号与残差：一旦选中了基向量，算法会使用选中的所有基向量通过最小二乘法求解出当前最好的信号近似，再根据这个近似更新残差。更新残差的过程就是用当前的信号近似去逼近观测信号，并将两者的差值设为新的残差。
终止条件：这个过程会重复进行，直到达到一定的迭代次数（稀疏度）或者残差足够小为止。
信号重构：最终，算法将使用选中的基向量及对应系数来重构出原信号的一个近似，完成信号的恢复过程。

通过OMP算法，即使在只有非常少量观测数据的情况下，也可以恢复出原始的高维稀疏信号，这是压缩感知的核心优势。

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