服从复高斯分布的随机向量的模方的分布

已知
$\mathbf{x}\in {\mathbb{C}}^{L\times 1}$
$\mathbf{\mu }\in {\mathbb{C}}^{L\times 1}$
$\mathbf{\Sigma }\in {\mathbb{C}}^{L\times L}$
$\mathbf{x}\sim \mathcal{C}\mathcal{N}(0,\mathbf{\Sigma })$
$\mathbf{a}$为与$\mathbf{x}$无关的常量
则${\chi }_k=|{\mathbf{x}}^H\mathbf{a}{|}^2$的分布PDF为$f_{{\chi }_k}(x)=\frac{e^{\frac{-x}{{\lambda }_k}}}{{\lambda }_k}$，其中${\lambda }_k={\mathbf{a}}^H\mathbf{\Sigma }\mathbf{a}$

推广：

已知
$\mathbf{x}\in {\mathbb{C}}^{L\times 1}$
$\mathbf{\mu }\in {\mathbb{C}}^{L\times 1}$
$\mathbf{\Sigma }\in {\mathbb{C}}^{L\times L}$
$\mathbf{x}\sim \mathcal{C}\mathcal{N}(\mathbf{\mu },\mathbf{\Sigma })$
$\mathbf{a}$与$\mathbf{x}$无关
则$|{\mathbf{x}}^H\mathbf{a}{|}^2$的分布为

问题的源头

$$\mathrm{vec}\left({\mathbf{H}}_{\mathrm{BR}}\right)\sim \mathcal{C}\mathcal{N}\left(0,\frac{N_{\mathrm{t}}M{\rho }_{\mathrm{BR}}}{L}{\mathbf{\Phi }}^H\mathbf{\Phi }\right).$$

${\chi }_k$ 服从指数分布是因为自由度为2的卡方分布是指数分布，它这个相当于是自由度为2的卡方分布, 因为相当于是服从复高斯分布的:实数部分和虚数部分分别相加的和 2个元素相加,自由度为2

$\mathbf{\Phi }$ $L\ast L^2$

${\mathbf{H}}_{\mathrm{BR}}$ $L\ast L$

$$\mathbf{A}\sim \mathcal{C}\mathcal{N}\left(0,\frac{N_{\mathrm{t}}M{\rho }_{\mathrm{BR}}}{L}{\mathbf{\Phi }}^H\mathbf{\Phi }\right).$$

矩阵服从复高斯分布

假设我们有一个复矩阵变量 $\mathbf{X}$，它服从复高斯分布，可以表示为：
$\mathbf{X}\sim \mathcal{C}\mathcal{N}(\mathbf{\mu },\mathbf{\Sigma })$
$\text{ 其中， }\mathcal{C}\mathcal{N}\text{ 表示复高斯分布， }\mathbf{\mu }\text{ 是一个复数均值向量， }\mathbf{\Sigma }\text{ 是一个复数协方差矩阵。 }$
$\text{ 矩阵变量 }X\text{ 的维度为 }m\times n\text{ ，协方差矩阵 }\mathbf{\Sigma }\text{ 的维度为 }mn\times mn\text{ 。 }$

对于复高斯分布的矩阵变量 ($\mathbf{X}$)，其均值向量 ($\mathbf{\mu }$) 的维度应该与矩阵变量 ($\mathbf{X}$) 中的元素数量相匹配。

考虑到 ($\mathbf{X}$) 的维度是 ($m\times n$)，即共有 ($mn$) 个元素，因此 ($\mathbf{\mu }$) 的维度应为 ($mn$)。

这样，($\mathbf{\mu }$) 将是一个 ($mn\times 1$) 的列向量，其中每个元素对应着 ($\mathbf{X}$) 中的一个元素的均值。

在复高斯分布中，协方差矩阵的每个元素代表了对应位置的两个随机变量之间的相关性或者相关强度。具体地说，如果 $\mathbf{X}$ 是一个复高斯分布的矩阵变量，其协方差矩阵为 $\mathbf{\Sigma }$ ，那么 ${\mathbf{\Sigma }}_{i,j}$ 表示了 $\mathbf{X}$ 的第 $i$ 个元素与第 $j$ 个元素之间的相关性。

在实际应用中，协方差矩阵可以提供关于变量之间关系的丰富信息。例如，它可以用于衡量两个变量之间的线性相关性，或者描述多维数据集中不同维度之间的相关性模式。

向量服从复高斯分布

如果一个向量服从复高斯分布，其协方差矩阵的维度取决于向量的长度。假设我们有一个长度为 $n$ 的复高斯分布的向量 $\mathbf{x}$ ，那么协方差矩阵的维度将是 $n\times n$ 。

这是因为协方差矩阵需要考虑向量中每对元素之间的关系，而长度为 $n$ 的向量有 $n$ 个元素，因此协方差矩阵的大小为 $n\times n$ 。

杂记

自由度为2的卡方分布才是指数分布

公式(45)里面只有一个随机变量就是${\mathbf{H}}_{BR}$

给他向量化之后, 就是一个复高斯随机分布

通俗说就是实部和虚部都是高斯的

公式(45)的模里面计算出来的就是一个复数

你给这个复数取模值平方, 那不就是实部和虚部的平方和么

由于实部虚部都是高斯, 所以平方和之后就是两个高斯的平方和就是指数分布(自由度为2的卡方分布)

两个高斯分布平方和开根号是瑞丽

瑞丽加上直射链路是莱斯

瑞丽的平方是指数

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需要与上面向量的分布区别开的是：

服从复高斯分布的随机变量的和的平方的分布

在复高斯分布的情况下，将几个服从复高斯分布的变量相加然后取模的平方，结果是服从非中心卡方分布。

具体来说，如果我们有 ($n$) 个服从复高斯分布的变量 ($X_1,X_2,\dots ,X_n$)，每个变量都服从 ($\mathcal{C}\mathcal{N}({\mu }_i,{\sigma }_i^2)$)，并且它们相互独立，那么将它们相加得到一个新的变量 ($Y=X_1+X_2+\dots +X_n$)，然后对 ($Y$) 的模取平方，即 ($|Y{|}^2$)，结果将服从自由度为 ($n$) 的非中心卡方分布，其中非中心参数是所有复高斯分布的平方模的期望值的总和。

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因此下面写的全不对！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！

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给定一个服从复高斯分布 ($\mathbf{x}\sim \mathcal{C}\mathcal{N}(\mathbf{\mu },\mathbf{\Sigma })$) 的随机向量，我们可以使用随机变量的性质来求解 ( $\Vert \mathbf{x}{\Vert }^2$) 的分布。

更具体地说，对于一个服从复高斯分布 ($X\sim \mathcal{C}\mathcal{N}(\mathbf{\mu },\mathbf{\Sigma })$) 的随机向量，其模的平方 ($\Vert X{\Vert }^2$) 的分布是自由度为 ($n$) 的卡方分布，其中 ($n$) 是向量的维度。

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给定一个服从复高斯分布 ($X\sim \mathcal{C}\mathcal{N}(\mathbf{\mu },\mathbf{\Sigma })$) 的随机向量，其模的平方 ($|X{|}^2$) 的分布可以通过复高斯分布的性质来推导。设 ($X=[X_1,X_2,\dots ,X_n]$)，其中 ($X_i$) 是 ($X$) 的第 ($i$) 个元素。

则
[$|X{|}^2={\sum }_{i=1}^n|X_i{|}^2$ ]

每个 ($|X_i{|}^2$) 是服从指数分布的随机变量，其分布为 ($f(x_i)=\frac{1}{{\beta }_i}{e}^{-\frac{x_i}{{\beta }_i}}$)，其中 (${\beta }_i$) 是 ($|X_i{|}^2$) 的均值。

一个复高斯向量 ($\mathbf{x}$) 的模的平方 ($|\mathbf{x}{|}^2$) 的分布也是参数为 ($n$) 的伽马分布。